初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题习题

人教版2021年八年级上册13.4课题学习 最短路径问题 课时练习

一．选择题

1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（　　）

A．B． C．D．

2．如图，∠AOB＝60°，点M为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　）

A．120° B．60° C．30° D．90°

3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）

A．B．C．D．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

5．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（　　）

A．B． C．D．

7．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）

A．86° B．54° C．88° D．90°

二．填空题

8．如图的4×4的正方形网格中，有A、B、C、D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选　 　点（C或D）．

9．如图∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是　   　．

10．如图，锐角△ABC的边AC＝6，△ABC的面积为15，AD平分∠BAC交BC于D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　．

11．小镇A与B在公路同侧，如图，A到公路的距离为45里，要在公路边建一个货站，及货站到A、B的两条乡道，经计算，两条乡道总长最短可为140里，此时两条乡道的夹角为120°，则B到公路的距离为　   　里．

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是　   　．

三．解答题

13．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP+PQ+QN最短．

14．如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．

（1）直接写出点B的坐标为　         　；

（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；

（3）∠OAP＝　         　度．

15．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：

（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；

（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；

（3）四边形BCC1B1的面积为　   　．

16．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．

解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′，

因为∠ACB＝90°（已知），

所以 　       　（垂直的定义），

所以PB＝　       　（线段垂直平分线的性质），

所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），

所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．

在△ABC和△AB′C中，

因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，　       　，

所以△ABC≌△AB′C（理由：　       　），

所以SABB′＝S△ABC+　       　＝2S△ABC（全等三角形面积相等），

因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，

又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，

所以 　       　（同一三角形面积相等），

所以B′D＝，

所以 　       　．

17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．

（1）若∠ABC＝70°，则∠AMN的度数是　    　．

（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

18．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．