数学必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程教案及反思

3.4.1函数与方程（函数的零点）

教学目标：1.能够根据二次函数的图象与判别式点的符号判断相应的一元二次方程根的存在性及其个数；

2.了解函数零点与方程的根的关系，能够判断函数的零点所在的大致区间；

3.体验并理解函数方程互相转化及数形结合的思想

教学重点：理解函数零点的概念，会判断零点所在的区间及其个数

教学难点：零点的存在性定理

教学过程：

一、复习   

 1.如何判断一元二次方程的实数根的个数？

板书：

       ，

       ，

       ， 不存在

2.观察下列函数图象，说出交点的横坐标坐标。你是怎么验证你的判断的？

    答：，只要方程即可

二、构建数学

 1.函数零点的概念

  质疑：在函数图象上称为什么？

在内称为什么？

在函数中称为什么？

板书：是抛物线与x轴交点的横坐标

      是方程的实数解

      是函数值等于0的x的值

   比较三者的称呼：横坐标，实数根，函数值等于0时的x的值，显然需要赋予新的名称——零点（板书课题）

 2.求二次函数的零点

问1：是不是只有函数有零点？

答：当然不是，二次函数的零点就是的实数根

板书：的零点

       ，

       ，

       ， 不存在

问2：是不是只有二次函数才有零点？

板书：函数的零点就是的值为零时的实数x的值，

也就是的实数根。

例1 求下列函数的零点

  （1）；（2）；（3）；（4）

  解：（1）；（2）0,4；（3）无零点；（4）1,2

  目的：1.熟悉感知函数零点的求解；2.感受零点的表示方法；

3.判断函数的零点的个数 

 问3：是否可以不解方程，也能判断函数的零点个数？

答：可以，比如二次函数的零点。

例2  求证：二次函数有两个不同的零点

思路1：因为的零点就是方程=0的实数根，因此判断零点个数就是判断方程的实数根的个数。对于二次函数只需要利用判别式即可判断一元二次方程的实数根的个数：因为，所以方程有两个不相等的实数根，因此，二次函数有两个不同的零点。

思路2：函数零点又是函数图象与x轴交点横坐标，所以判断函数零点个数或者研究方程实数根个数，都可以借助函数图象来研究：因为的图象开口向上，且，因此，二次函数有两个不同的零点。

思路3：除了根据函数图像的最低点外，我们还可以根据其它特殊点，完全可以判断图像与x轴交点的情况：因为的图象开口向上，且，因此，二次函数有两个不同的零点。

上述思路1、2学生都可以直接想出来，但是思路需要教师启发。挖掘思路3的目的是向零点存在性定理过渡，让学生感知零点的存在性的判断的合理性。

4. 判断函数在某区间上存在零点

问4：本例中，我们还可以进一步选更多的函数值，如，但是不能选，因为它不能限制图象与x轴相交。值得注意的是与恰好说明了什么？区间之间存在零点。

例3 判断函数在区间上是否存在零点。

【解析】（法1）方程的实数根式，其中

所以 函数在区间上存在零点

（法2）因为，，

而二次函数在区间上的图象不间断，

所以函数在区间上一定穿过x轴，

即函数在区间上存在零点

问4：上述解法2中，仅有，是否足以说明零点存在？你能举出反例吗？（目的：强调函数图象不间断）

答：否，如下图1，函数在区间上不连续、跳跃的，它与x轴无交点，那么，虽然有，但该函数在区间上无零点。可见，本题二次函数在区间上的图象不间断，是很有必要的。

问5：为什么要强调是图象在上，而不是是不间断？你能举出反例吗？（强调仅仅不间断是不足的）

答：如图（2），虽然有，但该函数在区间上无零点。可见，函数图象必须是区间上一直不间断。

问6：哪些函数图象在一个连续区间上可能会间断？

答：如分段函数。

5.函数零点的存在性定理

问7：上述讨论，是否可以作为一个结论使用？你能归纳总结这个结论吗？

答：当然能。

板书：函数零点的存在性定理

若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．

问8：这个定理主要条件是什么？能否判断存在几个零点？

答：条件是:（1）在区间[a，b]上；（2）图象不间断：（3）f (a)·f (b)＜0.

    结论是:  在区间(a，b)上存在零点，但不确定有几个，至少存在一个零点。

练习1：判断下列函数是否有零点？并说明理由

函数零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。

变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零）

不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）

三、应用数学

例4．求证： 函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．

解： 因为

且函数的图象在区间上不间断，

所以函数f(x) 在区间(－2，－1)上存在零点

目的：完善解题过程，紧扣定理，强调“函数的图象在区间上不间断”的重要性。

四 、课堂小结

   1．什么是零点？零点时点还是数？

   2．函数零点的存在性定理

练习

1．函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______  ．

2．函数在区间上存在零点，求实数的取值范围

3．函数在区间上存在零点，求实数的取值范围

4．函数的零点是，且求实数的取值范围

5．函数的零点是，且求实数的取值范围

6．若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，求实数a的取值范围；

7．已知函数，求函数的零点.

8．求函数的零点.

    9．求函数的零点.

10 已知函数y=ax2＋2x－1恰有一零点，求实数a的取值范围．

11.已知方程ax2＋2x－1＝0在(0，1)内恰有一实数根 ，求实数a的取值范围．

12.若关于x的方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有恰一根在(0，1)内，试确定实数m 的范围．

  13．若二次函数f(x)＝a x2－2x＋a2－1有一个零点大于0，另一个零点小于0，求实数a的取值范围

14．若关于x的方程的两个实数根满足，求实数的取值范围

15．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．

   （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

   （Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．