2020-2021学年2.2 基本不等式综合训练题

利用基本不等式证明不等式1

1.已知，求证：（1），（2）.

2.已知，求证：.

3.证明下列不等式:

（Ⅰ）设，求证：；

（Ⅱ）设，求证：三数，，中至少有一个不小于2.

4.已知:，

(1)求证:；   (2)求的最小值.

参考答案:

1.证明:（1）。

  （2）提示：

2.提示：，

3.【答案】（Ⅰ）利用分析法证明即可，（Ⅱ）利用反证法证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证法一：要证：

即证：

即证：

即证：

由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证            5’

证法二：要证：

即证：

由基本不等式，可得上式成立，故原不等式得证.         5’

（Ⅱ）三数，，都小于2，因为（）+（）+（）=，所以矛盾，故假设不成立即原命题成立

考点：本题考查了不等式的证明

点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论．

4.【答案】(1) ，所以，所以，，从而有2+ ，即:，所以原不等式成立 (2)8

【解析】

试题分析：(1)证明:因为所以，所以

所以，从而有2+

即:

即:，所以原不等式成立.

（2）……2分

即当且仅当时等号成立

即当时，

的最小值为8.          2分

考点：均值不等式求最值

点评：由均值不等式求最值时要满足一正二定三相等，一，都是正实数，二，当和为定值时，积取最值，当积为定值时，和为定值，三，当且仅当时等号成立取得最值