人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时作业

利用基本不等式证明不等式2

1.已知两正数a，b满足，求证：

2.已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝1．求证：．

3．已知a，b∈（0，+∞），a+b＝1．求证：．

4.⑴ 已知是互不相等的正数，求证：．

⑵ 已知：，求证：．

5.若，且，求证：．

6.已知，求证：．

7.已知，且、、是正数，求证：.

参考答案：

1.【答案】

【解析】

试题分析：由知

∴

……………………………………………（10分）

当且仅当时取等号，此时………………………………………（12分）

考点：均值不等式

点评：在应用均值不等式时注意前提条件：

  2. 证明  ∵a、b、c∈R+，且a+b+c＝1，

    ∴

    ≥3+2+2+2＝9．

    当且仅当时等号成立．

 3. 证明  ∵a＞0，b＞0，a+b＝1，

∴，，∴．

∵，∴．

∴

．

∴．

    当且仅当时，等号成立．

4.解析：⑴ ∵是互不相等的正数，∴．∴．

同理可得：．

三个同向不等式相加，得．

⑵ ∵，∴，即，

同理：，

三个同向不等式相加得，∴．

5.解析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“”连乘而来，而．

∵，又，，，

∴，即．同理，，

∴，当且仅当时，等号成立．

（注：证明不等式可以不说明等号取到的条件）

6.解析：法一（换元法）

∵，∴，

设，

则，原不等式转化为：，即证：，

∵，故原不等式成立．

法二：

∵，∴，

∴，

∴．

注：求最值时，一般都尽量避免用两次均值，以防等号不能同时取到，对本题的情况一般都会先展开再用一次均值．但在证明不等式时，对等号是否取到没有要求，故可以直接用两次均值不等式得到结论．

7.【答案】用基本不等式证明

【解析】

试题分析：左边=                  

.

考点：不等式

点评：本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．