专题13 不等式与参数方程【理科】（解析版）

专题13 不等式与参数方程

一、解答题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的两点，且，求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）曲线的参数方程为（为参数，），

消去参数得曲线的普通方程为，

将代入得，

或，包含，

的极坐标方程为；

（2）射线与曲线，分别交于异于原点的两点，

设的极坐标方程为，

则，

依题意，

又，

或.

2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设不等式的解集为，若求的取值范围

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

解：（Ⅰ）当时，即

当，解得，

当 ，解得，

当 ， 解得，

故不等式解集为或，即不等式的解集为

（Ⅱ）若则原不等式在上恒成立，

即，

即，

即

即，所以 ， 解得

故满足条件的的取值范围是

3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线，公共点的直角坐标.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意知，曲线的极坐标方程为，

即，

所以曲线的直角坐标方程为.           

（2）曲线的参数方程为

所以曲线的直角坐标方程为.           

由解得或           

所以曲线公共点的直角坐标为.

4. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若实数、满足，试比较与的大小，并说明理由.

【答案】（1）；（2），理由见解析.

【解析】

（1）当时，，解得，此时；

当时，，不等式无解；

当时，，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为；

（2）设点，因为，所以点在直线上.

设，则.

由绝对值三角不等式可得，所以，，

所以.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为．

（1）求曲线和的极坐标方程；

（2）当时，若射线l与曲线和圆分别交于异于点O的M、N两点，且，求的面积．

【答案】（1）曲线的极坐标方程：，曲线的极坐标方程：；（2）．

【解析】

解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，

可得曲线的普通方程为：，又，，

代入可得，

∴曲线的极坐标方程：；

由圆的方程为，得，

∴，得曲线的极坐标方程：；

（2）∵，∴，

即，

整理得，且，

解得：，，，

点到l的距离，

∴的面积为：

．

6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】函数，其中，，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为3，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）解：当时，不等式，

即，即．

当时，化为，解得；

当时，化为，此时无解；

当时，化为，解得．

综上可得，不等式的解集为：．

（2）解：由绝对值三角不等式得

．

当且仅当时取等号，

由基本不等式得，，，

三式相加得，

整理即得，

当且仅当时，等号成立．

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.

（1）若，求的普通方程；

（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若与相切，求实数a的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），消去，

所以；

（2）曲线的参数方程为（为参数），

消去可得，

所以曲线是圆心为，半径为2的圆，

曲线的极坐标方程为，可化为，

若与相切，则的圆心到的距离等于的半径，

即，

解得：或.

8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于x的方程有实数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）原不等式等价于

或或

解得或或，

所以不等式的解集为.

（2）因为，

方程有解，

关于x的方程有实数解，

只需，

解得或.

所以实数k的取值范围为或.

9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线上存在点P到曲线的距离为1，求b的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由（为参数），

消去参数，得曲线的普通方程为．     

由，得，     

令，

得，

所以曲线的直角坐标方程为．     

（2）设，

因为点P到直线的距离为1，

所以，

化简得 ①．           

若关于的方程①有解，则曲线上存在点P到曲线的距离为1，

所以 ②或③

由②得，

由③得，           

所以b的取值范围为．

10. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，的最小值为1，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）解：由题意得，

当时，原不等式可化为，

解得，故；           

当时，原不等式可化为，

解得，故；     

当时，原不等式可化为，

解得，故．           

综上，不等式的解集为．           

（2）证明：因为，且，           

所以，

当且仅当或时等号成立，

故原不等式得证．