专题69 极坐标与参数方程（解析版）学案

这是一份专题69 极坐标与参数方程（解析版）学案，共18页。学案主要包含了热点聚焦与扩展，经典例题，思路导引，专家解读，精选精练等内容，欢迎下载使用。
专题69  极坐标与参数方程【热点聚焦与扩展】极坐标与参数方程是高考选考内容之一，在知识上结合解析几何，考查学生曲线方程的转化能力，以及解析几何的初步技能，考查数学式子变形能力、运算求解能力、数形结合思想、逻辑推理能力等.题目难度不大，但需要学生能够快速熟练的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.（一）极坐标：1、极坐标系的建立：以平面上一点为中心（作为极点），由此点引出一条射线，称为极轴，这样就建立了一个极坐标系2、点坐标的刻画：用一组有序实数对确定平面上点的位置，其中代表该点到极点的距离，而表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： 3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴重合，则同一个点可具备极坐标和直角坐标，那么两种坐标间的转化公式为：，由点组成的直角坐标方程与极坐标方程也可按照此法则进行转化，例如：极坐标方程（在转化成时要设法构造 ，然后进行整体代换即可）（二）参数方程：1、如果曲线中的变量均可以写成关于参数的函数，那么就称为该曲线的参数方程，其中称为参数2、参数方程与一般方程的转化：消参法（1）代入消参： （2）整体消参：，由可得： （3）平方消参：利用消去参数例如： 3、常见图形的参数方程：（1）圆：的参数方程为：，其中为参数，其几何含义为该圆的圆心角（2）椭圆：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为椭圆的离心角（3）双曲线：的参数方程为，其中为参数，其几何含义为双曲线的离心角（4）抛物线：的参数方程为，其中为参数（5）直线：过，倾斜角为的直线参数方程为，其中代表该点与的距离注：对于极坐标与参数方程等问题，通常的处理手段是将方程均转化为直角坐标系下的一般方程，然后利用传统的解析几何知识求解【经典例题】例1．【2020年高考全国Ⅰ卷文理数21】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）．【思路导引】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；（2）当时，，曲线的参数方程化为为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解．【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），两式平方相加得，∴曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．（2）当时，曲线的参数方程为（为参数），∴，曲线的参数方程化为为参数），两式相加得曲线方程为，得，平方得，曲线的极坐标方程为，曲线直角坐标方程为，联立方程，整理得，解得或（舍去），，公共点的直角坐标为．【专家解读】本题考查了参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查转化与化归思想，考查数学运算学科素养，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围．例2．【2020年高考全国Ⅱ卷文理数21】 已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）．（1）将的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【答案】（1）；；（2）．【思路导引】（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程．【解析】（1）由得的普通方程为：，由得：，两式作差可得的普通方程为：．（2）由得：，即。设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为．【专家解读】本题考查了极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养，合理消元是解题的关系．例3．【2020年高考全国Ⅲ卷文理数22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于两点． （1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】（1）；（2）【思路导引】（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即．令，则，解得或（舍），则，即．。（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．由可得，直线的极坐标方程为．【专家解读】本题考查了极坐标与参数方程的综合应用，考查利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，考查转化与化归思想，考查数学运算学科素养．例4．【2020年高考江苏卷22】在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．【答案】（1）（2）【思路导引】（1）将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【解析】（1）（2）当时；当时（舍）；即所求交点坐标为当【专家解读】本题考查了极坐标方程及其应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．例5．（2020·云南高三三模）在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）依题意：圆的半径，所以，圆的标准方程为：，得，由，，，得的极坐标方程为，由，得的普通方程为；（2）由（1）知的极坐标方程为，的普通方程为，将代入得，.设，则到的距离（其中）,，当时，等号成立，.例6．（2020·湖南师大附中高三三模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．（1）直接写出曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，即，∴．（2）由曲线的参数方程知其普通方程为，它是以为圆心，2为半径的圆，∵是曲线上的动点，是曲线上的动点，∴，设，则，∴时，，∴．例7．（2020·固原市五原中学高三三模）若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线的参数方程为(为参数)，，当直线与曲线相交于，两点，求.【答案】（1）曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线；（2）.【解析】（1）∵，∴，∴曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线.（2）直线的参数方程可化为，代入得.则，，因为在直线上，所以， ∴.例8．（2020·云南曲靖一中高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）：，所以，曲线的直角坐标方程是.点的极坐标为，化为直角坐标得（2）将直线的参数方程代入中，整理得，，此方程有不等实数根.直线经过定点.设有向线段，与实数，对应，则，就是上述方程的两个实根，.已知是线段的中点，对应于参数取值，所以. 【精选精练】1．（2020·四川省武胜烈面中学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（    ）A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．【答案】D【解析】对曲线的方程消参可得：，即，，作图如下：若直线与曲线在第一象限内相切时，设其斜率为，设直线与曲线在第一象限的切点为，且因为，，故可得，则，即，解得（舍去）.故此时切点坐标为，对应直线的斜率.当直线过点时，设其斜率为，故可得.数形结合可知，当直线与曲线C在第一象限内有两个交点时，斜率的取值范围为，即为.故选：.2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高三三模）已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（　　）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】因为，所以， ，即。圆心为（1，-2），半径，因为点O到圆上的最大距离，等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D。3．（2020·土默特左旗第一中学高三三模）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为曲线的方程为，两边同时乘以，可得，所以曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为，因为，所以当为直角时的面积最大，此时到直线的距离 ，因为直线与轴交于，所以，于是，所以，故选D。4．（2020·广西钦州·高三三模）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，曲线与均过原点，设点为原点，点的极坐标为，联立曲线与的坐标方程，解得，因此，，故选：B.5．（2020·武邑宏达学校高三三模）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：曲线的直角坐标方程为，即故点在平面直角坐标系的坐标为点坐标为则极坐标为故选6．（2020·临泽县第一中学高三三模）在极坐标系中，两条曲线，的交点为，则（  ）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】联立极坐标方程：可得：，，利用勾股定理可得.故选C. 7．（2020·云南昆明一中高三三模）已知平面直角坐标系中，将曲线（为参数）绕原点逆时针旋转得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线分别与曲线，交于异于点的，两点，求.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为曲线表示以为圆心，2为半径的圆，其直角坐标方程为，所以，将曲线绕原点逆时针旋转后得到以为圆心，2为半径的圆，所以其普通方程为，即，所以，曲线的极坐标方程为. （2）由（1）得曲线的极坐标方程为，将分别代入曲线，的极坐标方程得：，.所以，.8．（2020·甘肃兰州一中高三三模）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.9．（2020·湖南长沙·高三三模）已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，在极坐标系(以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴)中，曲线的方程为，曲线，交于，两点，其中定点.（1）若，求的值；（2）若，，成等比数列，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵曲线的方程为，∴，即.∴曲线的直角坐标方程为，又已知，∴曲线的直角坐标方程为.将曲线的参数方程(为参数)，与联立，得，由于，∴设方程两根为，，则，，∴.（2）将曲线的参数方程(为参数)，与联立，得，由于，∴设方程两根为，，则，，且，，又，，成等比数列，∴，得，则，即.∴，得，解得，又，∴，∴当，，成等比数列时，得值为.10．（2020·山西大同一中高三三模）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，(为参数).将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设点的极坐标为.（1）求曲极坐标方程；（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）曲线的普通方程为，由，得到代入曲线的普通方程得到的极坐极方程为（2）点的直角坐标为，直线的参数方程为代入中，可得．11．（2020·贵州遵义·高三三模）已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，且与曲线交于两点，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， ， 曲线的极坐标方程为.（2）直线的参数方程为 代入的方程得 ， 设直线与曲线交于点，对应参数分别为，易知>0， ，即.12．（2020·吉林长春外国语学校高三三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）由，消去参数可得：.由，可得，即，整理可得.（2）由题意判断点是直线上的点，设、两点所对应的参数分别为， 将 代入，可得，其中，，，所以.