专题13 不等式与参数方程【理科】（解析版）

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专题13 不等式与参数方程一、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数，），消去参数得曲线的普通方程为，将代入得，或，包含，的极坐标方程为；（2）射线与曲线，分别交于异于原点的两点，设的极坐标方程为，则，依题意，又，或.2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设不等式的解集为，若求的取值范围【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）当时，即当，解得，当 ，解得，当 ， 解得，故不等式解集为或，即不等式的解集为（Ⅱ）若则原不等式在上恒成立，即，即，即 即，所以 ， 解得故满足条件的的取值范围是3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求曲线，公共点的直角坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为.            （2）曲线的参数方程为所以曲线的直角坐标方程为.            由解得或            所以曲线公共点的直角坐标为.4. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若实数、满足，试比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2），理由见解析.【解析】（1）当时，，解得，此时；当时，，不等式无解；当时，，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）设点，因为，所以点在直线上.设，则. 由绝对值三角不等式可得，所以，，所以.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l的极坐标方程为．（1）求曲线和的极坐标方程；（2）当时，若射线l与曲线和圆分别交于异于点O的M、N两点，且，求的面积．【答案】（1）曲线的极坐标方程：，曲线的极坐标方程：；（2）．【解析】解：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得曲线的普通方程为：，又，，代入可得，∴曲线的极坐标方程：；由圆的方程为，得，∴，得曲线的极坐标方程：；（2）∵，∴，即，整理得，且，解得：，，，点到l的距离，∴的面积为：．6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】函数，其中，，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为3，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：当时，不等式， 即，即．当时，化为，解得；当时，化为，此时无解；当时，化为，解得．综上可得，不等式的解集为：．（2）解：由绝对值三角不等式得．当且仅当时取等号，由基本不等式得，，，三式相加得，整理即得，当且仅当时，等号成立．7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.（1）若，求的普通方程；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若与相切，求实数a的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）当时，曲线的参数方程为（为参数），消去，所以；（2）曲线的参数方程为（为参数），消去可得，所以曲线是圆心为，半径为2的圆，曲线的极坐标方程为，可化为，若与相切，则的圆心到的距离等于的半径，即，解得：或.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）原不等式等价于或或解得或或，所以不等式的解集为.（2）因为，方程有解，关于x的方程有实数解，只需，解得或.所以实数k的取值范围为或.9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上存在点P到曲线的距离为1，求b的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为．      由，得，      令，得，所以曲线的直角坐标方程为．      （2）设，因为点P到直线的距离为1，所以，化简得 ①．            若关于的方程①有解，则曲线上存在点P到曲线的距离为1，所以 ②或③由②得，由③得，            所以b的取值范围为．10. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，的最小值为1，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题意得，当时，原不等式可化为，解得，故；            当时，原不等式可化为，解得，故；      当时，原不等式可化为，解得，故．            综上，不等式的解集为．            （2）证明：因为，且，            所以，当且仅当或时等号成立，故原不等式得证．