专题09 不等式、线性规划、推理与新定义【理科】（解析版）

专题09 不等式、线性规划、推理与新定义

一、单选题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（    ）

A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养

C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强

【答案】D

【解析】

A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

B：乙的数据分析优于数学建模素养；故B正确；

C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确；

D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误.

故选：D.

2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】若变量，满足约束条件则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.

由图易知，当直线过点时，z最大，最大值为1.     故选：C.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设实数x，y满足不等式组，若z＝ax+y的最大值为1，则a＝（    ）

A． B． C．﹣2 D．2

【答案】D

【解析】作出实数x，y满足不等式组的可行域如图：

可知A（﹣1，3），B（﹣4，0），O（0，0），

将目标函数z＝ax+y转化为：，平移直线，

当0＜a≤3或﹣1≤a＜0时，直线经过A（﹣1，3），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a＝2，

当a＞3时，直线经过O（0，0），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，无解，

当a＜﹣1时，直线经过B（﹣4，0），在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值为1，解得a（舍去），

当a＝0时，目标函数z＝ax+y取得最大值为3，不符合题意．

故选：D．

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，，，且，则的近似值为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

.

故选：D.

5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】数列、、、、、、、、、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中，偶数的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第项为偶数，由于，所以前项中偶数的个数为．故选：B.

6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（    ）

A．11 B．13 C．15 D．17

【答案】C

【解析】

对于A选项，图中，用“与”可以测量；

对于B选项，图中，用“与”可以测量；

对于D选项，图中，用“与”可以测量.

图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为.

故选：C

7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足，则点Z所在区域的面积（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设复数，又

由，则

所以复数对应的点在以为圆心，1为内圆半径，2为外圆半径的圆环内.

所以点Z所在区域的面积为

故选：C

8. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知实数满足，当取最小值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，即，因为，

所以，所以，

所以，

令，

，

因为，所以当时，，当时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值，

故选：A.

9. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以对任意恒成立，转化为对恒成立，

令，则，所以对恒成立，即对恒成立，

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，所以实数的取值范围为．故选：A．

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】设，，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为2

C．的最小值为 D．

【答案】BCD

【解析】

因为，，且，

A，当且仅当，即时，取等号，故错误；

B. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；

C. ，当且仅当，即时，取等号，故正确；

D. ，
，

，故正确；

故选：BCD

2. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【解析】

A项，若时，成立，显然不成立，错误；

B项，满足，但 ，错误；

C项，若，则，

可得，所以，正确；

D项，为单调增函数，若，则，正确；

故选：CD．

3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】（多选题）已知数列满足，其前项和为，且，则下列说法正确的是（    ）

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．有最大值

【答案】BCD

【解析】

当，由已知条件可得，

所以，

，则，

所以，，，

由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，此时取得最大值.

故选：BCD.

三、填空题

1. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知实数，且满足，则，，的大小关系是______．

【答案】

【解析】由，得．

设，则，

当时，，

在区间上单调递增，

故，即

所以．

故答案为：

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在中，，，分别是内角，，的对边，其中，，为线段的中点，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

因为，所以当且仅当时，

等号成立，所以

故答案为：

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】若实数x，y满足则的最小值为__________.

【答案】

【解析】由约束条件作出

由，得，

作直线，将直线l平移经过M点时在y轴上的截距最小，此时取最小值.

联立 解得：代入可得：

故答案为：