高中数学高考专题13 不等式选讲（解析版）

这是一份高中数学高考专题13 不等式选讲（解析版），共20页。试卷主要包含了已知函数，已知不等式的解集为，已知，且满足.，已知函数.等内容，欢迎下载使用。
专题13 不等式选讲1．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）若对任意的成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用绝对值不等式求解；（2）等价于对任意的成立，即，解绝对值不等式即得解.【详解】（1），当且仅当，即时取等.所以函数的最小值；（2）由题得对任意的成立，所以对任意的成立，因为，所以所以，所以，所以，所以.所以实数的取值范围是.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分段讨论得出函数的解析式，由此可建立不等式组，解之可得答案.（2）由（1）可作出函数的图象，根据图象可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题可得，因为，所以或或，即或或，所以，所以不等式的解集为.（2）因为存在，使得，所以，由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，由函数的图象可知，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数．（1）解不等式的解集；（2）设的最小值为，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得，可得出，进而可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时.综上，不等式的解集为；（2）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，则，故，所以，，所以，，当且仅当时取等号，故的最小值为．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式即可求出不等式的解集，从而求出，的值；（2）利用柯西不等式的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）由，得，解得，所以，．（2）由（1）得，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为4．5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，且满足.（1）证明：；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知转化利用基本不等式可求解；（2）利用基本不等式可证明.【详解】（1）因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以；（2），，所以，所以，即，当且仅当等号成立.6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若对任意成立，求实数的最大值．【答案】（1）；（2）1．【分析】(1)根据题意，讨论去绝对值即可求解；(2)由题意得，，结合绝对值的三角不等式即可求出，进而可得实数的最大值．【详解】(1)当时，，此时不等式为，∴或或，解得或，即所求不等式解集为．(2)∵，∴，又对任意成立，∴，∴，∴所求实数的最大值为1．7．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））已知函数．（1）解不等式f(x)>3；（2）对于x1，x2R，使得f(x1)>g(x2)成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）通过讨论的范围得到关于的不等式组，解出即可；（2）依题意即，所以求出和，得到关于的不等式，解出即可．【详解】解：（1）由或或，解得或，∴的解集为．（2）因为所以函数图象如下所示：所以当时，；当且仅当时成立，即．由题意，得，即，即，∴，解得．∴的取值范围是．8．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为t，若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由，得到，分类讨论，即可求解；（2）由绝对值三角不等式，求得，得到，即，要证，只需证，结合比较法，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，因为，即，可得或或，解得x无实根或或，综上可得，不等式的解集为.（2）由，当且仅当，且，即时取等号，所以，即，要证，只需证，即证，.又，所以，所以，即，所以.9．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数(1)求不等式的解集；(2)当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据零点分段讨论法进行分类讨论解不等式；(2)利用绝对值不等式的性质求出当取最小值时的取值范围，并对式子进行变形，从而可求正实数的取值范围.【详解】(1)由不等式，可得，可化为或或，解，得或或，综上知不等式的解集为.(2)因为，当且仅当，即时，等号成立.故当时，，法一：当取最小值时，，即，所以，即，解得，故所求m的取值范围.法二：因为，所以，所以，所以，即，所以，故所求m的取值范围10．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知函数.（1）当时，解不等式；（2）记关于的不等式的解集为，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分类讨论去绝对值符号，然后解不等式即可；（2）首先根据的范围，确定，，然后解不等式得到.，进而根据集合的包含关系得到不等式组，解不等式组即可.【详解】解：（1）当时，，原不等式可化为，或或，解得或或，∴原不等式的解集为.（2）若的解集包含，即当时，恒成立，由于在上，，，∴，，∴，等价于，即，，∴.由于当时该不等式恒成立，∴且，∴，即的取值范围为.11．（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数，当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将所求不等式变形为，解此不等式即可得解；（2）利用三角不等式可得，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）当时，.由，得，整理得，解得，因此不等式的解集为；（2）当时,.所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解；当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.12．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设函数的最大值为m．（1）作出函数的图像；（2）若，求的最大值．【答案】（1）图像见详解；（2）【分析】（1）去绝对值将函数写成分段函数的形式，接着画出函数图像即可；（2）由（1）知，接着利用基本不等式求的最大值即可.【详解】（1），作出函数的图像如下：（2）由（1）可知：函数的最大值为，所以,当且仅当时等号成立，所以，即，所以的最大值为.13．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数.（1）解不等式.（2）已知，，的最大值，，求的最小值.【答案】（1）或；（2）最小值为.【分析】（1）分，和三种情况解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式求出的最大值为，从而得，所以，化简后利用基本不等式求解即可【详解】解：（1）函数，当时，不等式即为，解得，所以；当时，不等式即为，解得，所以；当时，不等式即为，解得，所以.综上所述，不等式的解集为或；（2），所以的最大值为，则，故，当且仅当且，即时取等号，故的最小值为.14．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数.（1）当时，画出函数的图象；（2）若不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）答案见解析；（2）4或.【分析】（1）由，将函数解析式写成分段的形式，直接作图，即可得出结果；（2）先由题中条件，将不等式化为，讨论和两种情况，根据不等式的解集，即可得出结果.【详解】（1）当时，在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示.（2）因为不等式的解集为，当时，，所以原不等式可化为，即，得得当，即时，，解得；当，即时，，解得所以实数的值为4或.【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法：（1）基本性质法：为正实数，，或；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于或型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.15．（2021·全国高三其他模拟）已知函数.（1）若，画出函数的图象，并求出的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）图象见解析；最小值为-2，无最大值；（2）.【分析】（1）代入，得可作出图像和得到最值；（2）由已知得恒成立，再根据绝对值不等式得，解之可得答案．【详解】解：（1）若，则则函数的图象如图所示，由图像可知的最小值为-2，无最大值.（2）由恒成立，得恒成立，因为，所以，即，解得，故的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及不等式成立的问题，关键在于运用含绝对值不等式的性质以及分类讨论的思想.