专题13 不等式与参数方程【文科】（解析版）

专题13 不等式与参数方程

一、参数方程

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（，t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲线C交于M，N两点，求.

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）由，化简可得，，所以，

所以直线l的直角坐标方程为.     

（2）由曲线C的参数方程为（，t为参数），可得曲线C的普通方程为，

显然曲线C是焦点在x轴上的抛物线，直线l与x轴的交点坐标为，

所以此点为抛物线C的焦点.

所以抛物线C的标准方程为.

设直线l的参数方程为

与抛物线C的方程联立，可得，设点A，B对应的参数分别为，

所以，

所以.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在直角坐标系xOy中，，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(，)

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）已知曲线C与直线l交于A，B两点，若，求直线l的直角坐标方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）由曲线C的参数方程(为参数)，

得曲线C的普通方程为，

得，

即曲线C的极坐标方程为.

（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程，

得，

设，，

，，

又，，

所以，

即，因为，

所以或，

所以直线的直角坐标方程为.

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

（1）求C的极坐标方程；

（2）若直线l过点，且与C交于两点，点P恰好为线段的中点求直线l的斜率及.

【答案】（1）；（2）直线l的斜率为；.

【解析】

（1）由题意，得曲线C的直角坐标方程为，

即，

所以C的极坐标方程为.

（2）设直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），

代入曲线C的直角坐标方程，

得.

设点对应的参数分别为，

因为点P恰好为线段的中点，

所以，

即，

所以直线l的斜率为.

又，

所以.

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．

（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；

（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当面积最大时，求直线l的直角坐标方程．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

解：（1）由得，

所以圆C的普通方程为，

即，，

所以圆C的极坐标方程为，

（2）点的直角坐标为，圆：的圆心为，半径为，

，当时，面积最大，

此时圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，即，

综上，直线l的直角坐标方程为或

二、不等式

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）因为，所以，所以不等式可以化简为.

当时，不等式等价为，

所以；

当时，不等式等价为，解得，所以；

当时，不等式等价为，解得，所以.

综上所述，该不等式的解集为.

（2）由题意得当时，恒成立，

即恒成立.

当时，，故成立；

当时，显然不成立；

当时，，

则转化为，故恒成立，

所以，则.

综上，实数a的取值范围是.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，已知，求的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知不等式，得，

当时，不等式为，解得，所以；

当时，不等式为，解得，所以；

当时，不等式为，解得，此时无解.

综上，原不等式的解集为.

（2）因为，

所以，

又，

则，所以的最大值为.

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）当时，

当时，，解得；

当时，不等式无解；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

（2）由题意知，，

所以.

记，

则，

当时，，

则，

又当时，，

所以，

所以，

所以实数m的取值范围为.

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】设函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）由题意得  ，

当时，令，解得；

当时，令，解得．     

综上所述，的解集为．     

（2）由（1）得

当，，即，此时，应有解得；     

当时，，即，此时，应有解得．     

综上所述，实数a的取值范围是．