专题09 不等式、线性规划、推理与证明【文科】（解析版）

专题09 不等式、线性规划、推理与证明

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数的图象恒过点，若对于任意的正数m，n，不等式恒成立，则实数A的最大值为（    ）

A．9 B． C．7 D．

【答案】A

【解析】

由函数的图象过定点，可得，且，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：A.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】2020年初开始，在非洲､印度､巴基斯坦等地，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，短短几个月，蝗虫数量便增长了8000倍，从而引发了蝗灾，世界各地防治蝗虫形势非常严竣!假定在不采取防治措施的情况下，蝗虫的日增长率为5%，按此日增长率计算，现有100只沙漠蝗虫，若经过t天后，其数量超过了只，但不超过只，则t的值可能为(参考数据：，，，)（    ）

A．190 B．200 C．220 D．270

【答案】C

【解析】

由已知可得，

两边取对数得，

所以，

且，对照各选项，只有C符合.

故选：C.

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设，由托勒密定理知，，

所以.

又因为，，

所以四边形的面积为.

故选：B.

4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】

假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；

假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；

假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；

假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求；

综上，优秀者为甲．

故选：A

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】

设左、右焦点分别为，以线段的中点为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则．

设曲线上任意一点，则，化简得该卡西尼卵形线的方程为，显然其对称中心为．

由得，所以，所以，所以．当且仅当时等号成立，

所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．

故选：B.

二、填空题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值为________.

【答案】3

【解析】

根据约束条件画出可行域，如下图，

可得，，.

的几何意义是过可行域内点与的直线OP的斜率，

显然，当点P与点B重合时，z取得最大值，

故z的最大值为3.

故答案为：3.

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】若实数满足则的最小值为_____.

【答案】1

【解析】

由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.

令，则.作出直线，将直线l平移经过点M时在y轴上的截距最小，由得，所以的最小值为1.

故答案为：1.

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】若x，y满足约束条件则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

所以当目标函数过直线的交点时，

z取最小值，所以．

故答案为：