（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（40）第六章不等式、推理与证明第三讲简单的线性规划（含解析）

 [练案40]第三讲　简单的线性规划

A组基础巩固

一、单选题

1．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　C　)

A．3　 B．　

C．2　 D．

[解析]　平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面积为|AB|·|AC|＝××＝2，故选C.

[方法总结]　求平面区域的面积的方法

平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确判断平面区域的形状，如果形状不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类讨论．

2．(2020·黑龙江省大庆市模拟)设x，y满足约束条件，则z＝2x－3y的最小值是(　B　)

A．－7　 B．－6　

C．－5　 D．－3

[解析]　作出可行域：

并作出直线l0：2x－3y＝0，平移l0

到经过点E(3,4)时，目标函数z＝2x－3y，

取得最小值为：zmin＝2×3－3×4＝－6.故选B.

3．(2020·河北省唐山市模拟)若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　C　)

A．1　 B．2　

C．7　 D．8

[解析]　作出线性约束条件的可行域，如图示：

由，解得A(2,3)，

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，

显然直线过A(2,3)时，z最大，最大值是7，故选C.

4．(2020·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x，y满足则x2＋y2的最小值是(　B　)

A．　 B．2　

C．4　 D．8

[解析]　画出可行域如下图所示，x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线x＋y－2＝0的距离＝，其平方为2.故x2＋y2的最小值为2.故选B.

5．(2018·天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　C　)

A．6　 B．19　

C．21　 D．45

[解析]　由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．

作出直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当经过点A(2,3)时，z取最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.

6．(2020·福建龙岩质检)已知实数x，y满足不等式组，则x－y的取值范围为(　B　)

A．[－2，＋∞)　　 B．[－1，＋∞)

C．(－∞，2]　　 D．[－2,2]

[解析]　设z＝x－y，则y＝x－z，

作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图：

平移直线y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点A(－1,0)时，直线y＝x－z的截距最大，

此时z最小，最小值z＝－1－0＝－1，

继续向下平移直线y＝x－z，z值越来越大，

∴x－y的取值范围为[－1，＋∞)故选B.

7．(2020·河北省张家口市、沧州市联考)若x，y变量满足，则使z＝x＋2y取得最小值的最优解为(　C　)

A．(－3，－1)　　 B．(－，)

C．(2，－1)　　 D．(－，)

[解析]　绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y＝－x＋z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，

联立直线方程：，

可得点的坐标为B(2，－1)．选择C.

8．(2020·河北省衡水中学调研)已知x、y满足约束条件，则|3x＋4y－12|的最小值为(　A　)

A．5　 B．12　

C．6　 D．4

[解析]　根据约束条件画出可行域，如图所示，

令z＝3x＋4y－12，转化为斜截式为y＝－x＋，

即斜率为－的一簇平行线，

是其在y轴的纵截距，

直线过O(0,0)时，其纵截距最小；

过B(1,1)时，其纵截距最大，

即－12≤z≤－5，所以5≤|z|≤12，

即|z|min＝5，故选A项．

9．(2020·安徽黄山模拟)已知实数x，y满足，则的取值范围是(　A　)

A．[，]　 B．[，]　

C．[，]　 D．[，2)

[解析]　画出x，y满足的可行域，如下图：

由，解得B(2,0)，

由，解得，

C(，)，可看作定点A(－1，－1)与动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B时，取最小值为，当动点P在C时，取最大值为＝，

故≤≤，故答案为A.

二、多选题

10．若原点O和点P(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值可以是(　BC　)

A．0　 B．　

C．1　 D．2

[解析]　由题意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故选B、C.

11．(2020·广东调研改编)若x，y满足约束条件且z＝ax＋y的最大值为2a＋6，则a的取值可以是(　ACD　)

A．1　 B．－2　

C．－1　 D．0

[解析]　作出约束条件表示的可行域，如图所示．因为z＝ax＋y的最大值为2a＋6，所以z＝ax＋y在点A(2,6)处取得最大值，则－a≤1，即a≥－1.故选A、C、D.

三、填空题

12．(2018·课标全国Ⅲ，15)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是__3__.

[解析]　本题考查简单的线性规划．解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示．

z＝x＋y可化为y＝－3x＋3z.

求z的最大值可转化为求直线y＝－3x＋3z纵截距的最大值，显然当直线y＝－3x＋3z过A(2,3)时，纵截距最大，故zmax＝2＋×3＝3.

解法二：画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2,3)，(2，－7)，(－2,1)，将三点坐标代入，可知zmax＝2＋×3＝3.

13．(2018·北京，13)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是__3__.

[解析]　由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分．

设z＝2y－x，则y＝x＋z，由得A(1,2)．

由图可知，当直线y＝x＋z过A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝3.

14．(2020·广西桂林、贺州、崇左联合调研)某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足则该学校今年计划招聘的教师人数最大值为__10__.

[解析]　设z＝x＋y，作出不等式组对应的平面区域如图：

由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大，但此时最大值取不到，由图象当直线经过整点E(5,5)时，z＝x＋y取得最大值，代入目标函数z＝x＋y得z＝5＋5＝10，即目标函数z＝x＋y的最大值为10，故答案为10.

15．(2020·海南五校模拟)已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为__13__.

[解析]　画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.

B组能力提升

1．设x，y满足约束条件向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，则满足a⊥b的实数m的最小值为(　B　)

A．　 B．－　

C．　 D．－

[解析]　由向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，

根据约束条件画出可行域，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，

当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，

由解得A(，)，

则实数m的最小值为－2×＋＝－.故选B.

2．(2020·广东省中山市第一中学模拟)已知实数x，y满足则的取值范围是(　B　)

A．[，11]　　 B．[，11]

C．[3,11]　　 D．[1,11]

[解析]　＝1＋2×，表示动点P(x，y)，

与定点M(－1，－1)，

连线斜率k的两倍加1，

由图可知，当点P在A(0,4)点处时，k最大，

最大值为11；

当点P在B(3,0)点处时，k最小，

最小值为；

从而的取值范围是[，11]．

3．(2020·河北唐山一中质检)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　B　)

A．　 B．　

C．1　 D．2

[解析]　画出所表示的区域，作直线z＝2x＋y与直线x＝1交于点A(1，－1)，则点A必在直线y＝a(x－3)上，∴－1＝a(1－3)，∴a＝，故选B.

4．(2020·湛江模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝()2x＋y的最大值为　　.

[解析]　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．

要求解目标函数z＝()2x＋y的最大值，只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，

结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1,1)处取得最小值z′min＝2＋1＝3，

则目标函数z＝()2x＋y的最大值为()3＝.

5．(2020·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中，记，表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P＝　　.

[解析]　根据不等式组得到可行域为：图中染色部分，满足3x0－y0≥1的是黑色部分，

在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P即为黑色部分的面积除以总的染色面积．

P＝＝.

6．(2020·宁夏银川模拟)已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝2x＋ay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是__(－∞，2)__.

[解析]　作出不等式组对应的平面区域，如图所示，

若a＝0，则目标函数z＝2x，

即为此时函数在A(3,4)时取得最大值，不满足条件，

当a≠0，由z＝2x＋ay，得y＝－x＋，

若a>0，目标函数斜率－<0，此时平移y＝－x＋得y＝－x＋在点A(3,4)处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件，

若a<0，目标函数斜率－ >0，要使得目标函数z＝2x＋ay仅在点A(3,4)处取得最小值，

则－<kAB＝1，即a<－2.