专题08 数列【文科】（解析版）

专题08 数列

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】若各项均为正数的数列满足，则使得不等式成立的最大正整数n的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】各项均为正数的数列满足，可得，

则数列是公比为4的等比数列，

又，，即，

，可得，

由不等式成立，

得，

，即，可得最大正整数的值为7．

故选：C．

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等差数列的前项和为，，与的等差中项为2，则的值为（    ）

A．6 B．-2 C．-2或6 D．2或6

【答案】C

【解析】

设公差为，则由得，

解得或，

时，，

时，．

故选：C．

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】设为数列的前n项和，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由，

当时，，得；

当时，，即.

当n为偶数时，，所以（为正奇数），

当n为奇数时，，所以（为正偶数），

所以，所以，

所以，所以.

因为.

故选：A

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

成等差数列，，即，解得或（舍去），，故选C.

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知数列为等差数列，.若，则（    ）

A．671 B．672 C．2013 D．2014

【答案】B

【解析】

设公差为d，

由，

得，

则由，

解得.

故选：B.

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【解析】

设第n天募捐到元，则数列是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和．因为，所以至少需要8天可完成募捐目标．

故选：C

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为

【答案】BD

【解析】

由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；

，则，可得，B选项正确；

，

当或时，最小，C选项错误；

令，可得，解得或.

，所以，满足时的最小值为，D选项正确.

故选：BD.

三、填空题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.

【答案】-2

【解析】

因为等比数列的前n项和，

当时；；

当时，，

所以①，

.又成等差数列，

所以，即②

.由①②解得，

所以.

故答案为：-2

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列的前项和为，且满足：，，，则______.

【答案】

【解析】

因为，所以

两式相减，得，即，

又当时，，，，

所以，满足，，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以

故答案为：

四、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知数列是递增的等差数列，，且满足是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）设数列的公差为d，由题意可得即

由于，解得

所以.     

（2）记数列的前n项和为，

由（1）知，

则.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0，Sn2＝an+12﹣λSn+1，其中λ为常数.

（1）证明：Sn+1＝2Sn+λ；

（2）是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，λ＝1

【解析】

（1）证明：∵an+1＝Sn+1﹣Sn，，

∴，

∴Sn+1（Sn+1﹣2Sn﹣λ）＝0，

∴an＞0，∴Sn+1＞0，

∴Sn+1﹣2Sn﹣λ＝0；

∴Sn+1 ＝ 2Sn+λ

（2）解：∵Sn+1＝2Sn+λ，Sn＝2Sn﹣1+λ（n≥2），

相减得：an+1＝2an（n≥2），∴{an}从第二项起成等比数列，

∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，

∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，

∴an，

若使{an}是等比数列

则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，

∴λ＝1经检验得符合题意.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，

（1）判断的关系并给出证明.

（2）若，设，的前n项和为，证明.

甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.

【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）补充的条件为，

的关系为成等差数列.

证明如下：

若则，

，

，

可得，因此成等差数列.

（2）证明：由，可得，

解得

，

则，

，

上面两式相减可得.

整理可得，

因为，所以.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知等比数列的前n项和为，满足，且.

（1）求及；

（2）记，求数列的前2n项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

解：（1）设等比数列的公比为q.

由，得，①

由，得，②

由①②解得，，

，.

（2）由（1）可得，

设，则，

.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知等差数列的前项和为，且满足， .

（1）求的通项公式；

（2）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)设等差数列的公差为，由，得，

则有，所以，故 .

(2)由(1)知，，则，

所以

.

6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，

得，

∴，

所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，

所以，即.

（2）

,

，

两式相减得:

，

∴，

因为不等式对一切恒成立，

所以，对一切恒成立，

因为单调递增，

若为偶数，则，对一切恒成立，∴；

若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴

综上：.

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知在公比为2的等比数列中，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）因为数列的公比q为2，

所以．

因为成等差数列，

所以，

解得，所以．           

（2）由（1）可得

所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以

．