专题10 计数原理、二项式定理、概率与统计【理科】（解析版）

这是一份专题10 计数原理、二项式定理、概率与统计【理科】（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题10 计数原理、二项式定理、概率与统计
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知，，，设，，，，，，若随机变量满足：则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
，
，，距，比距较近，
所以，
同理，
故，
故选：B.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②.

则下列说法错误的是（ ）
A．抽取的样本容量为120
B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050
C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则
D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500
【答案】C
【解析】
抽取的样本容量为，故A正确；
该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为，故B正确；
根据题意，创新素质类课程的满意率为，，故C错误；
该校学生中选择学科拓展类课程的人数为，故D正确.
故选：C.
3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为“格点”，如果一个多边形的每一个顶点都在格点上，则称该多边形为“格点多边形”.1899年奥地利数学家匹克（Pick）对格点多边形面积计算提出匹克定理，设格点多边形内部含有个格点，边界上含有个格点，则该格点多边形的面积.在矩形内随机取一点，此点取自格点多边形内的概率为（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题图可得格点多边形内的格点数为10，边界上的格点数为5，故该格点多边形的面积，矩形的面积为20，故在矩形内随机取一点，此点取自格点多边形内的概率为.
故选：D
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，，则，
.
故选：B.
5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为（ ）
A．19 B．38 C．55 D．65
【答案】D
【解析】
至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，
所以不同选派方案种数为．
故选：D
6. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为，且检测次数的数学期望为20，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
若合并检测，检测次数取值为1，21，
对应的概率分别为，，
数学期望为，
由，解得．
故选：A.
7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（ ）
A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二
【答案】C
【解析】
，
故它除以7的余数为，
故经过7天后还是星期日，那么经过天后是星期一，
故选：C．
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．14700 B．16800 C．27300 D．50400
【答案】B
【解析】
将其余的7个团队分成5个组，然后再分配给各技术路线.
第一类方案：按3，1，1，1，1分组，先从7个队中选择3个队，然后全排，有种.第二类方案：按2，2，1，1，1分组，先分组再分配，共有种.
综上，由分类加法计数原理知，共有16800种分配方案.
故选：B
9. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：
你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选）
A．体育类如：羽毛球、足球、毽球等
B．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等
C．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等
D．文化类如：公关演讲、书法、文学社等
E.其他

由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（ ）
A．500，28.8° B．250，28.6° C．500，28.6° D．250，28.8°
【答案】A
【解析】
解：设接受调查的学生的总人数为x，
由调查结果条形图可知选择A的人数为300，
通过调查结果的扇形统计图可知：选择A的人数比例为15%，
所以，解得，
而选择D的人数为：，
扇形统计图中E的圆心角度数为：.
故选：A.
10. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即），那么，现有运算，则m的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】D
【解析】
因为，
所以，
所以，
即，
故选：D．
11. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，
第n次由甲掷有两种情况：
一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；
二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．
这两种情况是互斥的，所以，即，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．
故选：A
二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（ ）

A．到2050年已经退休的人数将超过
B．2050年中国46~55岁的人数比16~25岁的人数多
C．2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍
D．若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为
【答案】AC
【解析】
由饼状图知2050年中国将有约的人已经退休，所以选项A正确；
设46~55岁的人数为人，16~25岁的人数为人，则46~55岁的人数比16~25岁的人数多，所以选项B错误；
25岁以上未退休的人口数占，已退休人口数占，所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以选项C正确；
年龄在36~45岁之间的概率为．从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在36~45岁之间的概率为，所以选项D错误，
故选：AC．
三、填空题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：
A地：中位数为2，极差为5； B地：总体平均数为2，众数为2；
C地：总体平均数为1，总体方差大于0； D地：总体平均数为2，总体方差为3.
则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_______(填A、B、C、D)
【答案】AD
【解析】
对于地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为，满足每天新增疑似病例不超过7人，故地符合；
对于地，若过去10日分别为，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故地不符合；
对于地，若过去10日分别为，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故地不符合；
对于地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立.故满足每天新增疑似病例不超过7人，故地符合.
故答案为：.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】的二项展开式中，常数项为___________.
【答案】15
【解析】
二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以的二项展开式中，常数项为，
故答案为：15.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】国际高峰论坛组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为__________．
【答案】198
【解析】
由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式．
故答案为：198.
4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为______．
【答案】
【解析】
随机地填涂了至少一个选项共有种涂法，
得分的涂法为3种，
故他能得分的概率为．
5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺，起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹每道工序所需的时间（单位：h）如下：
原料时间工序
原料A
原料B
原料C
上漆
9
16
10
描绘花纹
15
8
14
则完成这三件原料的描金工作最少需要 ___________．
【答案】46
【解析】
甲应尽快让乙开始描绘，
甲先对原料A上漆需要9小时，
然后乙用15小时对原料A描绘花纹，其中在这15小时描绘花纹的过程中，甲用10小时对原料C上漆，用5小时对原料B上漆，
然后甲再对C进行11小时的上漆，此时乙对原料C描绘花纹11小时，还剩3小时完成原料C的描绘，完成后再对原料B描绘花纹8小时.
所以完成这三件原料的描金工作最少需要小时.
故答案为：46.
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩.若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为___________.
【答案】70
【解析】
由题意20).
又所以200，
所以
故答案为：70
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________.
【答案】
【解析】
可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以.
故答案为：
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为___________．
【答案】48
【解析】
按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有种，乙第三个到达有种，乙第四个到达有种，乙最后到达有种，所以不同的情况种数为．
故答案为：48
四、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
（1）某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式.
（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性.
【答案】（1）；（2）当时，系统可靠性不变；当，系统可靠性降低，当，系统可靠性提高.
【解析】
解：（1）个元件中，恰好个正常工作的概率为，恰好有个元件正常工作的概率为，……，恰好个元件正常工作的概率为，故.
（2）当有个元件时，考虑前个元件，为使系统正常工作，前个元件中至少有个元件正常工作.
①前个元件中恰有个元件，它的概率为，此时后两个必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为.
②前个元件中恰好有个正常工作，它的概率为，此时后两个元件至少有一个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为
.
③前个元件中至少有个元件正常工作，它的概率为，
此时系统一定正常工作.
故.
所以

.
故当时，，系统可靠性不变；当，，系统可靠性降低，当，，系统可靠性提高.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】型口罩，指可以对空气动力学直径物理直径为的颗粒的过滤效率达到以上的口罩.疫情发生后，全国型口罩市场供应紧缺.某医疗科技有限公司立即扩大产能，在原来生产线的基础上，增设生产线，为疫情防控一线供应医用口罩.为了监控口罩生产线的生产过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取口罩检测过滤效率.公司规定过滤效率大于的产品为一等品，并根据检验员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价.下面是该检验员某一天抽取的个口罩的过滤效率值：
生产线口罩过滤效率
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
过滤效率
0.958
0.967
0.964
0.976
0.956
0.973
0.965
0.968
0.972
0.973
生产线口罩过滤效率
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
过滤效率
0.978
0.982
0.974
0.966
0.976
0.982
0.977
0.974
0.976
0.972
（1）根据检验员抽测的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把提认为生产线与所生产的产品为一等品有关？
生产线
产品是一等品
产品不是一等品
总计








总计



（2）将检验员抽测产品中一等品的频率视为概率，从、两条生产线生产的产品中各抽取件，设为其中一等品的件数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.









【答案】（1）有，理由见解析；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）由题意得列联表
生产线
产品是一等品
产品是一等品
总计








总计



所以的观测值，
所以有的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关；
（2）从生产线随机抽取的只口罩中，过滤效率大于的产品有只，
从生产线随机抽取的只口罩中，过滤效率大于的产品有只，
所以可以据此推断，生产线生产的产品是一等品的概率为，
生产线生产的产品是一等品的概率为.
随机变量的所有可能取值为、、，
，，
，
所以的分布列为
X



P



.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200

若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.
附2：参考数据：，.
【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）（ii）证明见解析；.
【解析】
（1）由已知可得：，
，
又因为，，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；
；
；
；
的分布列为：









所以.
（ii）（法一）由，，
两式相加得：.
因为，
所以，，
代入等式得，即
所以，
因为，，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率
.
（法二）由题知：，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率.
4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：
制造电子产品的件数






工人数
1
3
11

4
1

（1）若去掉内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在的人数的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）
（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．
附：若，则，．
【答案】（1），；（2）30．
【解析】
（1）设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为，
则，
设样本中去掉内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为，
则，
依题可得，即，
解得，，
所以件数在的人数的取值范围为，；
（2）因为，所以，，
所以，，
因为，
所以
所以，
所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为．
5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】甲，乙，丙三人组建团队参加学校元旦游园活动中的投篮比赛，比赛规则：①按照甲､乙､丙的顺序进行投篮，每人至多投篮两次；②选手投篮时，如果第一次投中，记1分，并再投篮一次，若第二次命中，则再记2分，第二次没有命中，则记0分；如果第一次没有投中，记0分，换下一个选手进行投篮.甲､乙､丙投篮的命中率分别为0.6，0.5，0.7.
（1）求甲､乙､丙三人一共投篮5次的概率；
（2）设甲､乙､丙三人得分总和，若，则该团队无奖品；若，则该团队获得20元的奖品；若，则该团队获得50元的奖品；若，则该团队获得200元的奖品.求该团队获得奖品价值的期望.
【答案】（1）0.44；（2）.
【解析】
（1）记“甲第一次投篮命中”为，“甲第二次投篮命中”为，“乙第一次投篮命中”为，“乙第二次投篮命中”为，“丙第一次投篮命中”为，“丙第二次投篮命中”为.三人一共投篮5次，则有一人第一次没有投中，即概率，
，
，
.
，故三人一共投篮5次的概率为0.44.
（2）甲，乙，丙三人得分总和的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，9.
，
，
，
，
.
故，，，.
则该团队获得奖品价值的期望.
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】国务院办公厅印发了《关于防止耕地“非粮化”稳定粮食生产的意见》，意见指出要切实稳定粮食生产，牢牢守住国家粮食安全的生命线.为了切实落实好稻谷､小麦､玉米三大谷物种植情况，某乡镇抽样调查了村庄部分耕地(包含永久农田和一般耕地)的使用情况，其中永久农田100亩，三大谷物的种植面积为90亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为10亩；一般耕地50亩，三大谷物的种植面积为30亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为20亩.
（1）以频率代替概率，求村庄每亩耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率；
（2）上级有关部门要恪促落实整个乡镇三大谷物的种植情况，现从本乡镇抽测5个村庄，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为村庄每亩耕地(永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率.若抽测的村庄三大谷物的种植情况符合要求，则为本乡镇记1分，若不符合要求，记-1分.表示本乡镇的总积分，求的分布列及数学期望；
（3）目前在农村的劳动力大部分是中老年人，调查中发现，80位中老年劳动力中有65人种植三大谷物，其余种植棉､油､蔬菜等农作物；20位青壮年劳动力中有15人种植需要技术和体力，短期收益大的棉､油､蔬菜等农作物，其余种植三大谷物.请完成下表，并判断是否有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关？
劳动力年龄层次
种植情况
合计
种植三大谷物
种植棉，油，蔬菜等

中老年劳动力



青壮年劳动力



合计



附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）表格答案见解析，有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.
【解析】
解：（1）设事件为“耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物”，
则.
所以村庄每亩耕地种植三大谷物的概率为
（2）由（1）知，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为
由题意知的所有可能取值为
则，





则该乡镇的总积分的分布列为

-5
-3
-1
1
3
5








（3）
劳动力年龄层次
种植情况
合
计
种植三大谷物
种植棉､油､蔬菜等
中老年劳动力
65
15
80
青壮年劳动力
5
15
20
合计
70
30
100
的观测值
因为
所以有的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关.
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占，而务农户中对新政策满意的占.

满意
不满意
总计
非务农


100
务农



总计



（1）完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？
（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.
附表：

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式：，其中.
【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.
【解析】
解：（1）根据已知数据得到如下列联表：

满意
不满意
总计
非务农
70
30
100
务农
50
50
100
总计
120
80
200
根据列联表中的数据，得到
的观测值，
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.
（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是.
由题意知，
，
，
，
，
，
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P






.
8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．
（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；
（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
解：用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，．
由题意可知，互相独立，
且．
（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，
故三位同学恰好选择不同组合的概率．
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
所以，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3
P




所以．