初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试复习练习题

这是一份初中人教版第二十一章 一元二次方程综合与测试复习练习题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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概念定义:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程一般形式: 解方程解法直接开平方法配方法 根的判别式Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔ Δ<0⇔方程没有实数根 *方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系:x1＋x2＝ ,x1x2＝ 列方程解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答
中考演练
一、选择题
1.[凉山州中考]一元二次方程x2＝2x的根为( )
A.x＝0B.x＝2
C.x＝0或x＝2D.x＝0或x＝－2
2.[黑龙江中考]已知2＋3是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根,则实数m的值是( )
A.0B.1
C.－3D.－1
3.[聊城中考]用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0,配方正确的是( )
A.x-342＝1716B.x-342＝12
C.x-322＝134D.x-322＝114
4.[张家界中考]已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根,则该等腰三角形的底边长为( )
A.2B.4
C.8D.2或4
5.[巴中中考]关于x的一元二次方程x2＋(2a－3)x＋a2＋1＝0有两个实数根,则a的最大整数解是( )
A.1B.－1
C.－2D.0
6.[衢州中考]某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的月平均增长率为x,根据题意可得方程( )
A.180(1－x)2＝461B.180(1＋x)2＝461
C.368(1－x)2＝442D.368(1＋x)2＝442
7.(南通中考)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=-9B.(x+4)2=-7
C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7
8.(丹东中考)等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,则k的值是( )
A.8B.9C.8或9D.12
9.(恩施中考)某商店销售富硒农产品,今年1月开始盈利,2月份盈利240000元,4月份盈利290400元,且从2月份到4月份,每月盈利的平均增长率相同,则每月盈利的平均增长率是( )
A.8%B.9%C.10%D.11%
10.(遵义中考)一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2-2的值是( )
A.10B.9C.8D.7
11.(内江中考)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是( )
A.16B.12
C.14D.12或16
12.(广西中考)扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为( )
A.(30-x)(20-x)=34×20×30
B.(30-2x)(20-x)=14×20×30
C.30x+2×20x=14×20×30
D.(30-2x)(20-x)=34×20×30
二、填空题
13.[毕节中考]关于x的一元二次方程(k＋2)x2＋6x＋k2＋k－2＝0有一个根是0,则k的值是 .
14.[德州中考]菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2－9x＋20＝0的一个根,则该菱形的周长为 .
15.(十堰中考)对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= .
16.(广元中考)若关于x的一元二次方程ax2-x-14=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第 象限.
17.(宁夏中考)你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法呢!以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14为例加以说明.数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x+x+5)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×14+52,据此易得x=2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中,能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是 .(只填序号)
三、解答题
18.(绥化中考)已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
19.(大连中考改编)某村2017年的人均收入为20000元,2019年的人均收入为24200元.
(1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率.
(2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2020年该村的人均收入是多少元?
20.(玉林中考)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用“场内+农户”养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点?
21.(1)[安徽中考]解方程:(x－1)2＝4;
(2)[南京中考]解方程:x2－2x－3＝0;
(3)[徐州中考]解方程:2x2－5x＋3＝0.
22.[南充中考]已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得等式1x1＋1x2＝k－2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
23.[湘西州中考]某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新型冠状病毒肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率.
(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?
24.[襄阳中考]改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16 m、宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2,则小路的宽应为多少?
25.[安顺中考]安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
26.(2020·黄石)已知：关于x的一元二次方程x2＋eq \r(m)x－2＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程的两根为x1，x2，且满足(x1－x2)2－17＝0，求m的值．
27. (2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
28.(2020·宜昌)资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司)．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(2,9)；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(3,7)，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：
(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；
(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
达标练习
一、选择题
1.已知两个关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和cx2＋bx＋a＝0,其中a,b,c是常数,且a＋c＝0.如果x＝2是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根,那么下列各数中,一定是方程cx2＋bx＋a＝0的根的是( )
A.±2B.－12
C.2D.－2
2.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+x+a2-a-5=0的一个根是-1,则a的值为( )
A.3B.-3
C.±3D.-1
3.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( )
A.-4或2B.-2或4
C.4D.2
4.已知a,b,m,n为互不相等的实数,且(a+m)(a+n)=4,(b+m)(b+n)=4,则ab-mn的值( )
A.4B.2C.-4D.-2
5. (中考·盐城)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
6. (2019·烟台)当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．(2019·聊城)若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为( )
A．k≥0 B．k≥0且k≠2
C．k≥eq \f(3,2) D．k≥eq \f(3,2)且k≠2二、填空题
8.若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程,则m＝ .
9.已知m是方程x2－3x＋1＝0的一个根,则(m－3)2＋(m＋2)(m－2)的值为 .
10.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝2,x2＝－1(a,b,m均为常数,且a≠0),则a(2x＋m－1)2＋b＝0的解是 .
11.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.如果x1＋x2－x1x2<－1,且k为负整数,则k的值为 .
12.已知实数x满足(x2－x)2－2(x2－x)－3＝0,则代数式x2－x＋2021的值为 .
13.(2019·资阳)a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是________．
三、解答题
14.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.
(1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？
15.已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
16.按要求,解下列方程:
(1)x2－2x－5＝0(配方法);
(2)3(x－2)2＝x(x－2)(因式分解法);
(3)(t－2)(3t－5)＝1(公式法).
17.用十字相乘法解方程:
(1)x2－3x－4＝0; (2)5x2－3x＝x＋1.
18.已知m是方程x2-3x-1=0的一个根,求代数式4m2-12m+2021的值.
19.已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-4)=a2,其中a为常数.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)当|a-2|=0时,求此方程的根.
20.当a是什么整数时,关于x的一元二次方程x2-4ax+4a2-4a-5=0与ax2-4x+4=0的根都是整数?
21.为了提高学生的学习兴趣,某班举行学生自编题目练习活动,各个学习兴趣小组内的同学都要送给小组内其他同学一道题目,且题目各不相同.若某个数学兴趣小组内共送了462道题目,那么该数学兴趣小组的人数是多少?
22.如图1,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15米.一面利用旧墙,其余三面用篱笆围成,篱笆总长为24米.
(1)若围成的花圃面积为40平方米,求BC的长.
(2)如图2,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,且围成的花圃面积为50平方米,请你判断能否成功围成花圃?如果能,求BC的长;如果不能,请说明理由.
23.关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)如果m是符合条件的最大整数,且(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0与x2＋nx－1＝0有一个相同的根,求此时的n值.
24.如图,甲、乙两人分别从正方形花坛ABCD的顶点B,C同时出发,甲由B点向C点运动,乙由C点向D点运动,甲的速度为2米/分钟,乙的速度为1米/分钟.若正方形花坛的周长为40米,问几分钟后,两人相距210米?
25.某经销商销售一种成本价为10元/千克的商品,已知售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的售价不得高于18元/千克.在销售过程中发现销量y(千克)与售价x(元/千克)之间满足一次函数关系,对应关系如下表所示.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)若该经销商想要使这种商品平均每天的销售利润为168元,则售价应定为多少元?
x
12
14
15
17
y
36
32
30
26
26.阅读材料:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.例如,解一元三次方程x3＋x2－2x＝0,可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0,解方程x＝0和x2＋x－2＝0,可得方程x3＋x2－2x＝0的解.
(1)问题:方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0,x2＝ ,x3＝ ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解.
27.有一道古算题:有执长竿入城门者,横执之多六尺,竖执之多三尺,有老父至,教他斜竿对两角,不多不少刚抵足,借问竿长多少数?
大意如下:某人拿着长竹竿进城门,横着拿竿多六尺,竖着拿竿多三尺,有一个经验丰富的老者,教他斜着拿竹竿进城门,竹竿刚好就是城门斜对角线的长度,正好可以进城,问竹竿长多少尺?(城门为矩形)
请解答上述问题.
参考答案
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概念定义:只含有 1 个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程一般形式: ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 解方程解法直接开平方法配方法 公式法 因式分解法 根的判别式Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔ 方程有两个相等的实数根 Δ<0⇔方程没有实数根 *方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系:x1＋x2＝ -ba ,x1x2＝ ca 列方程解应用题的步骤:审、设、列、解、验、答
中考演练
一、选择题
1.[凉山州中考]一元二次方程x2＝2x的根为(C)
A.x＝0B.x＝2
C.x＝0或x＝2D.x＝0或x＝－2
2.[黑龙江中考]已知2＋3是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根,则实数m的值是(B)
A.0B.1
C.－3D.－1
3.[聊城中考]用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0,配方正确的是(A)
A.x-342＝1716B.x-342＝12
C.x-322＝134D.x-322＝114
4.[张家界中考]已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根,则该等腰三角形的底边长为(A)
A.2B.4
C.8D.2或4
5.[巴中中考]关于x的一元二次方程x2＋(2a－3)x＋a2＋1＝0有两个实数根,则a的最大整数解是(D)
A.1B.－1
C.－2D.0
6.[衢州中考]某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的月平均增长率为x,根据题意可得方程(B)
A.180(1－x)2＝461B.180(1＋x)2＝461
C.368(1－x)2＝442D.368(1＋x)2＝442
7.(南通中考)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( D )
A.(x+4)2=-9B.(x+4)2=-7
C.(x+4)2=25D.(x+4)2=7
8.(丹东中考)等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根,则k的值是( B )
A.8B.9C.8或9D.12
9.(恩施中考)某商店销售富硒农产品,今年1月开始盈利,2月份盈利240000元,4月份盈利290400元,且从2月份到4月份,每月盈利的平均增长率相同,则每月盈利的平均增长率是( C )
A.8%B.9%C.10%D.11%
10.(遵义中考)一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为x1,x2,则x12+3x2+x1x2-2的值是( D )
A.10B.9C.8D.7
11.(内江中考)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-8x+15=0的一根,则此三角形的周长是( A )
A.16B.12
C.14D.12或16
12.(广西中考)扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为( D )
A.(30-x)(20-x)=34×20×30
B.(30-2x)(20-x)=14×20×30
C.30x+2×20x=14×20×30
D.(30-2x)(20-x)=34×20×30
二、填空题
13.[毕节中考]关于x的一元二次方程(k＋2)x2＋6x＋k2＋k－2＝0有一个根是0,则k的值是 1 .
14.[德州中考]菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2－9x＋20＝0的一个根,则该菱形的周长为 20 .
15.(十堰中考)对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= -3或4 .
16.(广元中考)若关于x的一元二次方程ax2-x-14=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则点P(a+1,-a-3)在第 四 象限.
17.(宁夏中考)你知道吗,对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法呢!以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14为例加以说明.数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x+x+5)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×14+52,据此易得x=2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中,能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是 ② .(只填序号)
三、解答题
18.(绥化中考)已知关于x的方程kx2-3x+1=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2=4时,求k的值.
解:(1)当k=0时,原方程为-3x+1=0,
解得x=13,∴k=0符合题意;
当k≠0时,原方程为一元二次方程,∵该一元二次方程有实数根,∴Δ=(-3)2-4×k×1≥0,解得k≤94.
综上所述,k的取值范围为k≤94.
(2)由题意得x1+x2=3k,x1x2=1k.
∵x1+x2+x1x2=4,
∴3k+1k=4,解得k=1.
经检验,k=1是分式方程的解,且符合题意,∴k的值为1.
19.(大连中考改编)某村2017年的人均收入为20000元,2019年的人均收入为24200元.
(1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率.
(2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2020年该村的人均收入是多少元?
解:(1)设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,
根据题意,得20000(1+x)2=24200,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:预测2020年该村的人均收入是26620元.
20.(玉林中考)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策,今年起采用“场内+农户”养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点?
解:(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x.
根据题意,得2.5(1+x)2=3.6,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),
答:该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.
(2)设再增加y个销售点.
根据题意,得3.6+0.32y≥3.6×(1+20%),解得y≥94.
答:至少再增加3个销售点.
21.(1)[安徽中考]解方程:(x－1)2＝4;
解:两边直接开平方,得x－1＝±2,
解得x1＝3,x2＝－1.
(2)[南京中考]解方程:x2－2x－3＝0;
解:整理,得(x－3)(x＋1)＝0,
解得x1＝3,x2＝－1.
(3)[徐州中考]解方程:2x2－5x＋3＝0.
解:整理,得(2x－3)(x－1)＝0,
解得x1＝32,x2＝1.
22.[南充中考]已知x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使得等式1x1＋1x2＝k－2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根,
∴Δ＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0,解得k≤－1.
(2)∵x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根,
∴x1＋x2＝2,x1x2＝k＋2.
∵1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k＋2＝k－2,
∴(k＋2)(k－2)＝2,解得k1＝－6,k2＝6.
又∵k≤－1,∴k＝－6,
∴当k＝－6时,等式1x1＋1x2＝k－2成立.
23.[湘西州中考]某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新型冠状病毒肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率.
(2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?
解:(1)设口罩日产量的月平均增长率为x.
根据题意,得20000(1＋x)2＝24200,
解得x1＝－2.1(舍去),x2＝0.1＝10%.
答:口罩日产量的月平均增长率为10%.
(2)24200(1＋0.1)＝26620(个).
答:预计4月份平均日产量为26620个.
24.[襄阳中考]改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(AD)16 m、宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2,则小路的宽应为多少?
解:设小路的宽应为x m.
根据题意,得(16－2x)(9－x)＝112,
解得x1＝1,x2＝16(不符合题意,舍去).
答:小路的宽应为1 m.
25.[安顺中考]安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售.为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
解:(1)y与x之间的函数关系式为y＝10x＋100.
(2)由题意得(60－40－x)(10x＋100)＝2090,
整理,得x2－10x＋9＝0,解得x1＝1,x2＝9.
∵让顾客得到更大的实惠,∴x＝9.
答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.
26.(2020·黄石)已知：关于x的一元二次方程x2＋eq \r(m)x－2＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
解：∵关于x的一元二次方程x2＋eq \r(m)x－2＝0有两个实数根，
∴Δ＝(eq \r(m))2－4×1×(－2)＝m＋8≥0，且m≥0，
解得m≥0.
(2)设方程的两根为x1，x2，且满足(x1－x2)2－17＝0，求m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2＋eq \r(m)x－2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝－eq \r(m)，x1·x2＝－2.
∵(x1－x2)2－17＝(x1＋x2)2－4x1·x2－17＝0，
∴m＋8－17＝0，解得m＝9.
27. (2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
解：450＋450×12%＝504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
解：设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x.
依题意，得350(1＋x)2＝504，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.
28.(2020·宜昌)资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司)．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(2,9)；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，
A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为eq \f(3,7)，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：
(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；
解：(答案不唯一)求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比．
去年下半年公共营销区域面积为eq \f(2,9)m＝eq \f(2,9)×3n＝eq \f(2,3)n，
故去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比为 eq \f(2,3)n∶n＝eq \f(2,3).
(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
解：依题意有eq \f(3,7)×3n(1＋x%)＝[3n(1＋x%)＋n(1＋4x%)－eq \f(3,7)×3n(1＋x%)][3n×eq \f(2,9)÷(3n＋n－eq \f(2,3)n)＋x%]，
化简得100(x%)2＋45x%－13＝0，
解得x%＝20%或x%＝－65%(舍去)．
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，
故今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×(1＋20%)＋an×(1＋4×20%)＝7.2na，
去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n＋an＝5.5na.
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为5.5na∶7.2na＝eq \f(55,72) .
达标练习
一、选择题
1.已知两个关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0和cx2＋bx＋a＝0,其中a,b,c是常数,且a＋c＝0.如果x＝2是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根,那么下列各数中,一定是方程cx2＋bx＋a＝0的根的是(D)
A.±2B.－12
C.2D.－2
2.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+x+a2-a-5=0的一个根是-1,则a的值为( B )
A.3B.-3
C.±3D.-1
3.已知(m2+n2)(m2+n2+2)-8=0,则m2+n2的值为( D )
A.-4或2B.-2或4
C.4D.2
4.已知a,b,m,n为互不相等的实数,且(a+m)(a+n)=4,(b+m)(b+n)=4,则ab-mn的值( C )
A.4B.2C.-4D.-2
5. (中考·盐城)已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为( B )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
6. (2019·烟台)当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为( A )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．(2019·聊城)若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为( D )
A．k≥0 B．k≥0且k≠2
C．k≥eq \f(3,2) D．k≥eq \f(3,2)且k≠2
二、填空题
8.若关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程,则m＝ 2 .
9.已知m是方程x2－3x＋1＝0的一个根,则(m－3)2＋(m＋2)(m－2)的值为 3 .
10.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝2,x2＝－1(a,b,m均为常数,且a≠0),则a(2x＋m－1)2＋b＝0的解是 x1＝32,x2＝0 .
11.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数解是x1和x2.如果x1＋x2－x1x2<－1,且k为负整数,则k的值为 －1 .
12.已知实数x满足(x2－x)2－2(x2－x)－3＝0,则代数式x2－x＋2021的值为 2024 .
13.(2019·资阳)a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是___8_____．
三、解答题
14.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.
(1)当m为何值时，该方程是一元一次方程？
解：由题意，得
①当m＋2＝0，即m＝－2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程；
②当m＝±1时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程；
③当m＝0时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元一次方程．
(2)当m为何值时，该方程是一元二次方程？
解：由题意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
故当m＝2时，(m＋2)x|m|＋2x－1＝0是一元二次方程．
15.已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，
∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2.
∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝2×2＋1＝5.
16.按要求,解下列方程:
(1)x2－2x－5＝0(配方法);
解:配方,得x2－2x＋1＝5＋1,
即(x－1)2＝6,
解得x1＝1＋6,x2＝1－6.
(2)3(x－2)2＝x(x－2)(因式分解法);
解:移项,得3(x－2)2－x(x－2)＝0,
即(x－2)[3(x－2)－x]＝0,
解得x1＝2,x2＝3.
(3)(t－2)(3t－5)＝1(公式法).
解:整理,得3t2－11t＋9＝0,
b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13,
t＝-b±b2-4ac2a＝11±132×3,
解得t1＝11＋136,t2＝11-136.
17.用十字相乘法解方程:
(1)x2－3x－4＝0; (2)5x2－3x＝x＋1.
解: (1)十字相乘如下图:
∴(x＋1)(x－4)＝0,
解得x1＝－1,x2＝4.
解: (2)整理得5x2－4x－1＝0,
十字相乘如下图
∴(x－1)(5x＋1)＝0,
解得x1＝1,x2＝－15.
18.已知m是方程x2-3x-1=0的一个根,求代数式4m2-12m+2021的值.
解:∵m为一元二次方程x2-3x-1=0的一个根,∴m2-3m-1=0,即m2-3m=1,∴4m2-12m+2020=4(m2-3m)+2020=4×1+2021=2025.
19.已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-4)=a2,其中a为常数.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;
(2)当|a-2|=0时,求此方程的根.
解:(1)原方程可整理为x2-5x+4-a2=0,
Δ=25-4(4-a2)=4a2+9>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵|a-2|=0,∴a=2,
原方程可整理为x2-5x=0,解得x1=0,x2=5.
20.当a是什么整数时,关于x的一元二次方程x2-4ax+4a2-4a-5=0与ax2-4x+4=0的根都是整数?
解:由题意得a≠0,且这两个方程都有Δ≥0,∴Δ1=(-4a)2-4×1×(4a2-4a-5)≥0,a≥-54;Δ2=16-4×a×4=16-16a≥0,解得a≤1,∴-54≤a≤1.
∵a≠0且a是整数,∴a=-1或a=1.
①当a=-1时,方程x2-4ax+4a2-4a-5=0为x2+4x+3=0,方程的解是x1=-1,x2=-3.方程ax2-4x+4=0为-x2-4x+4=0,此时方程的解不是整数;
②当a=1时,方程x2-4ax+4a2-4a-5=0为x2-4x-5=0,方程的解是x1=5,x2=-1.方程ax2-4x+4=0为x2-4x+4=0,方程的解是x1=x2=2.
综上所述,当a=1时,两方程的根都是整数.
21.为了提高学生的学习兴趣,某班举行学生自编题目练习活动,各个学习兴趣小组内的同学都要送给小组内其他同学一道题目,且题目各不相同.若某个数学兴趣小组内共送了462道题目,那么该数学兴趣小组的人数是多少?
解:设该数学兴趣小组的人数是x.
根据题意,得x(x-1)=462,解得x=22或x=-21(不合题意,舍去).
答:该数学兴趣小组的人数是22.
22.如图1,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15米.一面利用旧墙,其余三面用篱笆围成,篱笆总长为24米.
(1)若围成的花圃面积为40平方米,求BC的长.
(2)如图2,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,且围成的花圃面积为50平方米,请你判断能否成功围成花圃?如果能,求BC的长;如果不能,请说明理由.
解:(1)设BC的长为x米,则AB的长为24-x2米.
根据题意,得x·24-x2=40,整理,得x2-24x+80=0,
解得x1=4,x2=20(不合题意,舍去),∴BC的长为4米.
(2)不能围成.
理由:设BC的长为y米,则AB的长为24-y3米.
根据题意,得y·24-y3=50,整理,得y2-24y+150=0.
∵Δ=(-24)2-4×1×150=-24<0,∴该方程无实数根,
∴不能围成面积为50平方米的花圃.
23.关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)如果m是符合条件的最大整数,且(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0与x2＋nx－1＝0有一个相同的根,求此时的n值.
解:(1)依题意有m-1≠0,Δ＝4m2-4(m-1)(m＋4)≥0,
解得m≤43且m≠1,
故m的取值范围是m≤43且m≠1.
(2)由(1)可知m＝0,
∴(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0化为－x2＋4＝0,
解得x1＝2,x2＝－2.
∵(m－1)x2－2mx＋m＋4＝0与x2＋nx－1＝0有一个相同的根,
∴当x1＝2时,4＋2n－1＝0,解得n＝－32,
当x2＝－2时,4－2n－1＝0,解得n＝32,
综上所述,n值为－32或32.
24.如图,甲、乙两人分别从正方形花坛ABCD的顶点B,C同时出发,甲由B点向C点运动,乙由C点向D点运动,甲的速度为2米/分钟,乙的速度为1米/分钟.若正方形花坛的周长为40米,问几分钟后,两人相距210米?
解:设x分钟后甲运动到F点,乙运动到E点,两人相距210米(如图),
∴FC＝x米,EC＝(10－2x)米,
在Rt△EFC中,得x2＋(10－2x)2＝(210)2,
解得x1＝2,x2＝6(舍去).
答:2分钟后,两人相距210米.
25.某经销商销售一种成本价为10元/千克的商品,已知售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的售价不得高于18元/千克.在销售过程中发现销量y(千克)与售价x(元/千克)之间满足一次函数关系,对应关系如下表所示.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)若该经销商想要使这种商品平均每天的销售利润为168元,则售价应定为多少元?
解:(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.
代入数据,得12k＋b＝36,14k＋b＝32,解得k＝-2,b＝60.
经验证y与x的之间的函数解析式为y＝－2x＋60,
且x的取值范围为10≤x≤18.
(2)根据题意,得(x－10)(－2x＋60)＝168,
解得x1＝16,x2＝24(舍去).
答:售价应定为16元/千克.
26.阅读材料:各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.例如,解一元三次方程x3＋x2－2x＝0,可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0,解方程x＝0和x2＋x－2＝0,可得方程x3＋x2－2x＝0的解.
(1)问题:方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0,x2＝ －2 ,x3＝ 1 ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解.
解:(2)2x＋3＝x,
方程的两边同时平方,得2x＋3＝x2,即x2－2x－3＝0,
∴(x－3)·(x＋1)＝0,解得x1＝3,x2＝－1.
当x＝－1时,2x＋3＝1≠－1,∴x＝－1不是原方程的解,
∴方程2x＋3＝x的解是x＝3.
27.有一道古算题:有执长竿入城门者,横执之多六尺,竖执之多三尺,有老父至,教他斜竿对两角,不多不少刚抵足,借问竿长多少数?
大意如下:某人拿着长竹竿进城门,横着拿竿多六尺,竖着拿竿多三尺,有一个经验丰富的老者,教他斜着拿竹竿进城门,竹竿刚好就是城门斜对角线的长度,正好可以进城,问竹竿长多少尺?(城门为矩形)
请解答上述问题.
解:设竹竿的长为x尺,由题意可知城门的宽为(x－6)尺,长为(x－3)尺,斜对角线为x尺,
则有(x－6)2＋(x－3)2＝x2,
整理,得x2－18x＋45＝0,
解得x1＝15,x2＝3(不合题意,舍去).
答:竹竿长15尺.x
12
14
15
17
y
36
32
30
26