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人教版八年级数学上册知识点整理（完整版）
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这是一份人教版八年级数学上册知识点整理（完整版），共13页。主要包含了三角形的有关概念，三角形的分类，与三角形有关的线段，与三角形有关的角，多边形及其内角和，证明几何命题的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
一、三角形的有关概念
（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（二）基本元素
1、三个顶点：点A、点B、点C
2、三个内角：∠A、∠B、∠C
3、三条边
（1）表示方法
①线段AB、AC、BC
②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c
（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）
①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。；
②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b③判断三条线段能否组成三角形，只需判断“两条较短的线段之和大于第三条”即可。
4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。
（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。
二、三角形的分类
（一）按边分类
1、三边都不相等的三角形
2、等腰三角形
（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
（二）按角分类
1、锐角三角形：三个内角都是锐角。
2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。
3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。
三、与三角形有关的线段
（一）三角形的高
1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。
2、三角形高的画法
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，记作AD⊥BC于点D。
3、几何语言
（1）AD是三角形的边BC上的高。
（2）AD⊥BC于点D。
4、三角形三条高的位置
（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。
（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。
（3）钝角三角形：有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部。三条高所在直线交于三角形外一点。
（二）三角形的中线
1、定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线。
2、三角形中线的画法
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
3、几何语言
（1）AD是△ABC的边BC上的中线。
（2）点D是边BC的中点。
（3）BD=CD=12BC。
4、三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内。
5、重要推论（AD是△ABC的边BC上的中线）
（1）S∆ABD=S∆ACD，三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。
（2）三角形任意一边的中线把三角形分割成的两个小三角形周长的差C∆ACD−C∆ABD=AC−AB。
（三）三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、几何语言
（1）AD是△ABC的角平分线，
（2）AD平分∠BAC，交BC于点D，
（3）∠BAD=∠CAD= 12 ∠BAC.
2、三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
四、与三角形有关的角
（一）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
（二）三角形内角和定理的证明：利用平行线的性质。
（二）三角形的外角
1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如∠CBD是△ABC的外角。
2、三角形的每个顶点处都有且只有2个外角，这两个外角互为对顶角，三角形共有6个外角。
3、三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4、三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和。
定理：三角形的外角和为360°。
5、三角形（多边形）的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角，一个三角形共有六个外角。
（三）直角三角形的性质和判定
1、表示方法：直角三角形可以用符号"Rt△"表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
2、判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、性质：直角三角形的两个锐角互余。
五、多边形及其内角和
（一）多边形的相关概念
1、多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，如果一个多边形由n（n是不小于3的任意整数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。
2、正多边形∶各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
3、基本元素
（1）边：组成多边形的各条线段。
（2）顶点：相邻两条边的公共端点。
（3）内角：多边形相邻两边组成的角。
（4）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
（5）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
3、多边形的分类（本节只讨论凸多边形）
定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形。
4、多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°。
（1）推理过程：从n边形的一个顶点引出（n一3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n-2）×180°。
（2）推论
①n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。
②任意多边形的内角和均为180°的整数倍。
5、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。
推理过程：多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，所以多边形的外角和等于n×180°-（n-2)×180°=360°。
第十二章 全等三角形
一、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
二、全等三角形的有关概念
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
四、三角形全等的判定
（一）三角形全等的基本事实
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
（二）三角形全等的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
（三）两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能判定全等。
（四）直角三角形全等的判定方法∶斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
五、角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
（三）角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
（四）重要拓展
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
六、证明几何命题的一般步骤
（一）明确命题中的已知和求证。
（二）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（三）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
第十三章 轴对称
一、轴对称
（一）轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
注：（1）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至有无数条。
（2）轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
（1）区别：轴对称图形是一个形状特殊的图形；轴对称是两个图形之间的特殊关系。
（2）联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
（二）线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3、判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4、重要拓展：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。
5、轴对称和轴对称图形的性质
（1）轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，成轴对称的两个图形也全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称。
（4）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在一条直线上）或相交于一点，如果相交，交点一定在对称轴上。
6、尺规作图
（1）作线段的垂直平分线（已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线）
（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线（已知：直线AB和AB外一点C；求作：AB的垂线，使它经过点C）
（3）作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
依据：如果—个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。
（三）画轴对称图形
1、轴对称变换
（1）概念：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
（2）性质
①新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。
②连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2、画轴对称图形
（1）找：在原图形上找特殊点（如线段端点、图形的顶点）,在直角坐标系中则需要先计算出特殊点的对称点的坐标。
（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点。
（3）连：按原图的顺序依次连接各对称点。
2、坐标系中画轴对称图形的方法
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，﹣y），其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（﹣x，y），其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（3）点（x，y）关于直线x=a对称的点的坐标是（2a﹣x，y），点（x，y）关于直线y=a对称的点的坐标是（x，2a﹣y）。
（4）点（x，y）关于直线y=x对称的点的坐标是（y，x）。
（5）点（x，y）关于直线y=-x对称的点的坐标是（﹣y，﹣x）。
二、等腰三角形
（一）性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成"三线合一"）。
3、等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。
（二）判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）。
（三）特殊的等腰三角形：等边三角形
1、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
2、判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、课题学习：最短路径问题
（一）两点一线型
1、点在直线异侧（在直线l上求一点 P，使PA+PB的值最小）
2、点在直线同侧（将军饮马问题：在直线上l求一点 P，使PA+PB 的值最小。）
（二）两线一点型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使△PMN的周长最小。)
（三）两点两线型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使四边形PQMN的周长最小。)
（四）造桥选址问题（已知两点A、B，直线m∥n，在直线 m、n 上分别取点 M、N，使 MN 上m，且AM+MN+BN 的值最小。）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、幂的运算
（一）同底数幂的乘法
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示： am⋅an=am+n（m、n都是正整数）；
同理： am⋅an⋅ap=am+n+p（m、n、p都为正整数）
3、同底数幂的乘法的性质可以逆用，即am+n=am⋅an（m，n都是正整数）。
4、在幂的运算中，经常用到以下变形：
（二）幂的乘方
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示： (am)n=amn（m、n都是正整数）；
同理：[(am)n]p=amnp（m、n、p都为正整数）
3、幂的乘方的性质可以逆用，即amn=(am)n（m，n都是正整数）。
（三）积的乘法
1、积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、推导：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
3、性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示： (ab)n=anbn（n为正整数）；
同理：(abc)n=anbncn（n为正整数）
4、积的乘方的性质可以逆用，即anbn=(ab)n（n为正整数）。
（四）同底数幂的除法
1、推导：计算am÷an (a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n)，
因为am−n⋅an=am（幂的乘方的逆运算），所以am÷an=am−n。
2、性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号表示：am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）
同理：am÷an÷ap=am−n−p （a≠0， m，n，p都是正整数， 并且m>n+p）
3、同底数幂的除法的性质可以逆用，即am−n=am÷an，（a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）。
（五）零指数幂
1、推导：当公式am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）中的m=n时，计算am÷am= am−m=a0，因为am÷am=1，所以a0=1（a≠0）。
性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2a2⋅3ab=(2×3)(a2⋅a)⋅b=6a3b（结果仍为单项式）
（二）单项式与多项式相乘
单项式乘多项式法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：p（a+b+c）=pa＋pb+pc（p，a，b，c都是单项式）。
注意，1、多项式中的每一项都包括它前面的符号。
2、单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（三）多项式与多项式相乘
多项式乘法法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式）
注意：1、多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。
2、多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项，一定要及时合并同类项。
3、(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq，其中p、q是常数。此公式的特点是（1）两个因式含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项系数都是1；（2）乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项等于两个因式中常数项的积。
（四）乘法公式
1、平方差公式
（1）平方差公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(a+b)(a−b)=a2−b2
（3）平方差公式的特点
①等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式
（1）完全平方公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
（3）完全平方公式的特点
①两个公式的等号左边都是一个二次项的完全平方，两者仅有一个“符号”不同。
②两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。
3、添括号法则
（1）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号。
（2）如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
字母表示：①a+b+c=a+(b+c)
②a−b−c=a−(b+c)
三、整式的除法
（一）单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
4a2b÷(2a)=(4÷2)(a2÷a)⋅b=2ab
（二）多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用式子表示：（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m（a，b，m分别是单项式且m≠0）
（三）多项式除以多项式（不做研究）。
四、因式分解
（一）概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。.
因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，并且必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（二）因式分解与整式乘法：因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形。
（三）因式分解的方法
1、用提公因式法分解因式
（1）公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）公因式的确定（为保证一个多项式各项不含有公因式，提取公因式要提取各项的最大公因式）。
①确定公因式的系数
a、当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
b、当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
②确定相同字母∶公因式应取多项式各项中相同的字母（可以是单项式，也可以是多项式）。
③确定公因式中相同字母的指数∶取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数。
④、确定公因式∶由步骤（1）～（3）写出多项式的公因式。
（3）提取公因式法
①概念：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
②提取公因式的依据是乘法分配律的逆用。
2、公式法
概念：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)
（2）完全平方公式
（3）pq公式（十字相乘法）：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
第十五章分式
一、分式的概念与性质
（一）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB，叫做分式。
注意：1、判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本来“面目”是否符合分式的概念。2、分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号的作用。
（二）分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即B≠0时，分式AB才有意义。
（三）分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（四）分式的基本性质
1、内容：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变。
3、分式的基本性质是分式变形的理论依据，运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形，只是改变了分式的形式，不改变分式值的大小，但要注意变形后分式的取值范围可能有所改变。
二、分式的变形（依据：分式的基本性质）
（一）分式的约分
1、概念：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、确定公因式的方法
（1）若分式的分子、分母都是单项式，则公因式是分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积。
（2）若分子或分母中含有多项式，应先分解因式，再确定公因式。
（3）最简分式∶分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
（二）分式的通分
1、概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2、最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫做最简公分母。
3、确定最简公分母的一般方法
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积。
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母。
三、分式的运算
（一）分式的乘除
1、分式乘法
①分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②符号表示：ab⋅cd=a⋅cb⋅d；
2、分式除法
①分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
②符号表示：ab÷cd=ab×dc=a⋅cb⋅d；
3、分式的乘方
①分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方。
②用符号表示：(ab)n=anbn
③分式的乘方的符号确定
a、正数的任何次幂都是正数。
b、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（二）分式的加减
1、分式的加减法法则
（1）同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母分式的加减法法则∶异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
（三）分式的混合运算顺序
1、先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2、若有括号，则先算括号里面的。
3、同级运算，按从左到右的顺序进行计算。
4、运算结果应化为最简分式或整式。
四、整数指数幂
（一）正整数指数幂
（二）0指数幂
（三）负整数指数幂
1、推导：当公式am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数）中的m=3，n=5时，计算a3÷a5= a3−5=a−2，因为a3÷a5=a2a5=1a2，所以a−2=1a2（a≠0）。
2、符号表示：一般地，当n是正整数时a−n=1an（a≠0），这就是说 a−n是an的倒数。
3、负整数指数幂的三个常用结论
（1）an与a−n互为倒数；
（2）(ab)−n=bnan；
（3）a−nb−m=bman。
4、科学计数法
1、用科学计数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a× 10−n的形式，其中1≤a<10，n是正整数。
2、确定n的方法：小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几。
四、分式方程
（一）概念：分母中含未知数的方程。
（二）解分式方程的一般步骤
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
（2）解这个整式方程。
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（4）写出原分式方程的解。
（三）分式方程的增根
1、概念：将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为０，则这个解叫做原分式方程的增根。
2、产生原因：分式方程本身就隐含着分母不为０的条件，当把分式方程转化为整方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为０。
（四）含字母的分式方程
概念：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程。
含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件。
（五）列分式方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）检、（6）答。
如图所示，∠FCA+∠DAB+∠EBC=360°
凸多边形
凹多边形
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
在△CAB与△C′AB中
CA=C′A
AB=AB
∠B=∠B
△CAB与△C′AB不全等。
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；
直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，
∴直线l是线段AB的垂直平分线。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上；
∴PA=PB。
已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
∵AC=BC，直线l经过点C；
∴直线l是线段AB的垂直平分线
在△ABC中；
∵直线 MN，EF，PQ分别垂直平分线段 BC，AB，AC；
∴ 直线 MN，EF，PQ相交于点 O，且OA= OB= OC。
依据（三角形全等的条件SSS）
①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
②作直线CD，CD就是所求作的直线。
①任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
③分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。
如图，两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2−b2。
S3=a(a﹣b)
S2=b(a﹣b)
a2−b2=S3+S2=a(a﹣b)+b(a﹣b)=(a+b)(a−b)
边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b) 2，它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，即(a+b)2=a2+2ab+b2。
边长为(a-b) 的正方形的面积是(a−b) 2，它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
，即(a−b)2=a2−b2−2(a−b）b=a2−2ab+b2。
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
通分：a2x2y与b3xyz
通分：x3a−3b与x−y(a−b)2
解方程：3x=2x−1
解：方程两边同乘x(x﹣1)，的3(x-1)=2x；
解得x=3；
检验：当x=3时，x(x﹣1)≠0；
所以原方程的解为x=3.
一、三角形的有关概念
（一）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（二）基本元素
1、三个顶点：点A、点B、点C
2、三个内角：∠A、∠B、∠C
3、三条边
（1）表示方法
①线段AB、AC、BC
②a（∠A所对的边BC用a表示）、b、c
（2）三角形的三边关系（依据：两点之间线段最短）
①三角形两边之和大于第三边，数学语言：a+b>c，a+c>b，b+c>a。；
②三角形两边之差小于第三边，数学语言：a−b
4、三角形的表示方法：顶点是A、B、C的三角形，记作∆ABC，读作“三角形ABC”。
（三）三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了。
二、三角形的分类
（一）按边分类
1、三边都不相等的三角形
2、等腰三角形
（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（2）等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
（二）按角分类
1、锐角三角形：三个内角都是锐角。
2、直角三角形：有一个内角是直角的三角形。
3、钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。
三、与三角形有关的线段
（一）三角形的高
1、定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高。
2、三角形高的画法
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，记作AD⊥BC于点D。
3、几何语言
（1）AD是三角形的边BC上的高。
（2）AD⊥BC于点D。
4、三角形三条高的位置
（1）锐角三角形：三条高及其交点都在三角形内部。
（2）直角三角形：有两条高与两条直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高交于三角形的直角顶点。
（3）钝角三角形：有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部。三条高所在直线交于三角形外一点。
（二）三角形的中线
1、定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线。
2、三角形中线的画法
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
3、几何语言
（1）AD是△ABC的边BC上的中线。
（2）点D是边BC的中点。
（3）BD=CD=12BC。
4、三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内。
5、重要推论（AD是△ABC的边BC上的中线）
（1）S∆ABD=S∆ACD，三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。
（2）三角形任意一边的中线把三角形分割成的两个小三角形周长的差C∆ACD−C∆ABD=AC−AB。
（三）三角形的角平分线
1、定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、几何语言
（1）AD是△ABC的角平分线，
（2）AD平分∠BAC，交BC于点D，
（3）∠BAD=∠CAD= 12 ∠BAC.
2、三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
四、与三角形有关的角
（一）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
（二）三角形内角和定理的证明：利用平行线的性质。
（二）三角形的外角
1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如∠CBD是△ABC的外角。
2、三角形的每个顶点处都有且只有2个外角，这两个外角互为对顶角，三角形共有6个外角。
3、三角形内角和定理的推论（三角形外角的性质）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
4、三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和。
定理：三角形的外角和为360°。
5、三角形（多边形）的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角，一个三角形共有六个外角。
（三）直角三角形的性质和判定
1、表示方法：直角三角形可以用符号"Rt△"表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
2、判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、性质：直角三角形的两个锐角互余。
五、多边形及其内角和
（一）多边形的相关概念
1、多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，如果一个多边形由n（n是不小于3的任意整数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。
2、正多边形∶各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
3、基本元素
（1）边：组成多边形的各条线段。
（2）顶点：相邻两条边的公共端点。
（3）内角：多边形相邻两边组成的角。
（4）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
（5）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
3、多边形的分类（本节只讨论凸多边形）
定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形。
4、多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°。
（1）推理过程：从n边形的一个顶点引出（n一3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n-2）×180°。
（2）推论
①n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。
②任意多边形的内角和均为180°的整数倍。
5、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。
推理过程：多边形的每个内角与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，所以多边形的外角和等于n×180°-（n-2)×180°=360°。
第十二章 全等三角形
一、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
二、全等三角形的有关概念
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
四、三角形全等的判定
（一）三角形全等的基本事实
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
（二）三角形全等的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
（三）两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能判定全等。
（四）直角三角形全等的判定方法∶斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
五、角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
（三）角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
（四）重要拓展
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
六、证明几何命题的一般步骤
（一）明确命题中的已知和求证。
（二）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（三）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
第十三章 轴对称
一、轴对称
（一）轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
注：（1）一个轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条，甚至有无数条。
（2）轴对称图形的对称轴通常画成直线、虚线。
2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3、轴对称图形与轴对称的区别和联系
（1）区别：轴对称图形是一个形状特殊的图形；轴对称是两个图形之间的特殊关系。
（2）联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
（二）线段的垂直平分线
1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3、判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4、重要拓展：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。
5、轴对称和轴对称图形的性质
（1）轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，成轴对称的两个图形也全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称。
（4）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在一条直线上）或相交于一点，如果相交，交点一定在对称轴上。
6、尺规作图
（1）作线段的垂直平分线（已知：线段AB；求作：线段AB的垂直平分线）
（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线（已知：直线AB和AB外一点C；求作：AB的垂线，使它经过点C）
（3）作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴
依据：如果—个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：作出对应点所连线段的垂直平分线.
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。
（三）画轴对称图形
1、轴对称变换
（1）概念：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
（2）性质
①新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点。
②连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2、画轴对称图形
（1）找：在原图形上找特殊点（如线段端点、图形的顶点）,在直角坐标系中则需要先计算出特殊点的对称点的坐标。
（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点。
（3）连：按原图的顺序依次连接各对称点。
2、坐标系中画轴对称图形的方法
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，﹣y），其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（﹣x，y），其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（3）点（x，y）关于直线x=a对称的点的坐标是（2a﹣x，y），点（x，y）关于直线y=a对称的点的坐标是（x，2a﹣y）。
（4）点（x，y）关于直线y=x对称的点的坐标是（y，x）。
（5）点（x，y）关于直线y=-x对称的点的坐标是（﹣y，﹣x）。
二、等腰三角形
（一）性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成"等边对等角"）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成"三线合一"）。
3、等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。
（二）判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成"等角对等边"）。
（三）特殊的等腰三角形：等边三角形
1、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
2、判定
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3、含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
三、课题学习：最短路径问题
（一）两点一线型
1、点在直线异侧（在直线l上求一点 P，使PA+PB的值最小）
2、点在直线同侧（将军饮马问题：在直线上l求一点 P，使PA+PB 的值最小。）
（二）两线一点型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使△PMN的周长最小。)
（三）两点两线型（在直线l1,l2上分别求点 M、N，使四边形PQMN的周长最小。)
（四）造桥选址问题（已知两点A、B，直线m∥n，在直线 m、n 上分别取点 M、N，使 MN 上m，且AM+MN+BN 的值最小。）
第十四章 整式的乘法与因式分解
一、幂的运算
（一）同底数幂的乘法
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
符号表示： am⋅an=am+n（m、n都是正整数）；
同理： am⋅an⋅ap=am+n+p（m、n、p都为正整数）
3、同底数幂的乘法的性质可以逆用，即am+n=am⋅an（m，n都是正整数）。
4、在幂的运算中，经常用到以下变形：
（二）幂的乘方
1、推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2、性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号表示： (am)n=amn（m、n都是正整数）；
同理：[(am)n]p=amnp（m、n、p都为正整数）
3、幂的乘方的性质可以逆用，即amn=(am)n（m，n都是正整数）。
（三）积的乘法
1、积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、推导：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
3、性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
符号表示： (ab)n=anbn（n为正整数）；
同理：(abc)n=anbncn（n为正整数）
4、积的乘方的性质可以逆用，即anbn=(ab)n（n为正整数）。
（四）同底数幂的除法
1、推导：计算am÷an (a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n)，
因为am−n⋅an=am（幂的乘方的逆运算），所以am÷an=am−n。
2、性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
符号表示：am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）
同理：am÷an÷ap=am−n−p （a≠0， m，n，p都是正整数， 并且m>n+p）
3、同底数幂的除法的性质可以逆用，即am−n=am÷an，（a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）。
（五）零指数幂
1、推导：当公式am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数， 并且m>n）中的m=n时，计算am÷am= am−m=a0，因为am÷am=1，所以a0=1（a≠0）。
性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2a2⋅3ab=(2×3)(a2⋅a)⋅b=6a3b（结果仍为单项式）
（二）单项式与多项式相乘
单项式乘多项式法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：p（a+b+c）=pa＋pb+pc（p，a，b，c都是单项式）。
注意，1、多项式中的每一项都包括它前面的符号。
2、单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（三）多项式与多项式相乘
多项式乘法法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别是单项式）
注意：1、多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏。
2、多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项，一定要及时合并同类项。
3、(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq，其中p、q是常数。此公式的特点是（1）两个因式含有一个相同的字母，都是一次二项式，并且一次项系数都是1；（2）乘积是二次三项式，二次项系数是1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项等于两个因式中常数项的积。
（四）乘法公式
1、平方差公式
（1）平方差公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
(a+b)(a−b)=a2−b2
（3）平方差公式的特点
①等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
②等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式
（1）完全平方公式的证明
（2）语言叙述∶两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
（3）完全平方公式的特点
①两个公式的等号左边都是一个二次项的完全平方，两者仅有一个“符号”不同。
②两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同。
3、添括号法则
（1）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号。
（2）如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
字母表示：①a+b+c=a+(b+c)
②a−b−c=a−(b+c)
三、整式的除法
（一）单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
4a2b÷(2a)=(4÷2)(a2÷a)⋅b=2ab
（二）多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
用式子表示：（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m（a，b，m分别是单项式且m≠0）
（三）多项式除以多项式（不做研究）。
四、因式分解
（一）概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。.
因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，并且必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（二）因式分解与整式乘法：因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形。
（三）因式分解的方法
1、用提公因式法分解因式
（1）公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）公因式的确定（为保证一个多项式各项不含有公因式，提取公因式要提取各项的最大公因式）。
①确定公因式的系数
a、当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
b、当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
②确定相同字母∶公因式应取多项式各项中相同的字母（可以是单项式，也可以是多项式）。
③确定公因式中相同字母的指数∶取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数。
④、确定公因式∶由步骤（1）～（3）写出多项式的公因式。
（3）提取公因式法
①概念：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
②提取公因式的依据是乘法分配律的逆用。
2、公式法
概念：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)
（2）完全平方公式
（3）pq公式（十字相乘法）：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
第十五章分式
一、分式的概念与性质
（一）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB，叫做分式。
注意：1、判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本来“面目”是否符合分式的概念。2、分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号的作用。
（二）分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即B≠0时，分式AB才有意义。
（三）分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（四）分式的基本性质
1、内容：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变。
3、分式的基本性质是分式变形的理论依据，运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形，只是改变了分式的形式，不改变分式值的大小，但要注意变形后分式的取值范围可能有所改变。
二、分式的变形（依据：分式的基本性质）
（一）分式的约分
1、概念：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2、确定公因式的方法
（1）若分式的分子、分母都是单项式，则公因式是分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积。
（2）若分子或分母中含有多项式，应先分解因式，再确定公因式。
（3）最简分式∶分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式
（二）分式的通分
1、概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2、最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫做最简公分母。
3、确定最简公分母的一般方法
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积。
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母。
三、分式的运算
（一）分式的乘除
1、分式乘法
①分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②符号表示：ab⋅cd=a⋅cb⋅d；
2、分式除法
①分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
②符号表示：ab÷cd=ab×dc=a⋅cb⋅d；
3、分式的乘方
①分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方。
②用符号表示：(ab)n=anbn
③分式的乘方的符号确定
a、正数的任何次幂都是正数。
b、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（二）分式的加减
1、分式的加减法法则
（1）同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母分式的加减法法则∶异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
（三）分式的混合运算顺序
1、先算乘方，再算乘除，最后算加减。
2、若有括号，则先算括号里面的。
3、同级运算，按从左到右的顺序进行计算。
4、运算结果应化为最简分式或整式。
四、整数指数幂
（一）正整数指数幂
（二）0指数幂
（三）负整数指数幂
1、推导：当公式am÷an=am−n （a≠0， m，n都是正整数）中的m=3，n=5时，计算a3÷a5= a3−5=a−2，因为a3÷a5=a2a5=1a2，所以a−2=1a2（a≠0）。
2、符号表示：一般地，当n是正整数时a−n=1an（a≠0），这就是说 a−n是an的倒数。
3、负整数指数幂的三个常用结论
（1）an与a−n互为倒数；
（2）(ab)−n=bnan；
（3）a−nb−m=bman。
4、科学计数法
1、用科学计数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a× 10−n的形式，其中1≤a<10，n是正整数。
2、确定n的方法：小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几。
四、分式方程
（一）概念：分母中含未知数的方程。
（二）解分式方程的一般步骤
（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
（2）解这个整式方程。
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（4）写出原分式方程的解。
（三）分式方程的增根
1、概念：将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为０，则这个解叫做原分式方程的增根。
2、产生原因：分式方程本身就隐含着分母不为０的条件，当把分式方程转化为整方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为０。
（四）含字母的分式方程
概念：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程。
含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件。
（五）列分式方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）检、（6）答。
如图所示，∠FCA+∠DAB+∠EBC=360°
凸多边形
凹多边形
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
在△CAB与△C′AB中
CA=C′A
AB=AB
∠B=∠B
△CAB与△C′AB不全等。
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；
直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，
∴直线l是线段AB的垂直平分线。
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上；
∴PA=PB。
已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
∵AC=BC，直线l经过点C；
∴直线l是线段AB的垂直平分线
在△ABC中；
∵直线 MN，EF，PQ分别垂直平分线段 BC，AB，AC；
∴ 直线 MN，EF，PQ相交于点 O，且OA= OB= OC。
依据（三角形全等的条件SSS）
①分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；
②作直线CD，CD就是所求作的直线。
①任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
③分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线。
如图，两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2−b2。
S3=a(a﹣b)
S2=b(a﹣b)
a2−b2=S3+S2=a(a﹣b)+b(a﹣b)=(a+b)(a−b)
边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b) 2，它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，即(a+b)2=a2+2ab+b2。
边长为(a-b) 的正方形的面积是(a−b) 2，它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
，即(a−b)2=a2−b2−2(a−b）b=a2−2ab+b2。
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
通分：a2x2y与b3xyz
通分：x3a−3b与x−y(a−b)2
解方程：3x=2x−1
解：方程两边同乘x(x﹣1)，的3(x-1)=2x；
解得x=3；
检验：当x=3时，x(x﹣1)≠0；
所以原方程的解为x=3.
