2019-2020学年天津四中九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津四中九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在平面直角坐标系中，点 P1,2 关于原点对称的点的坐标是
A. −1,−2B. −1,2C. 1,−2D. 2,1

2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，已知抛物线与 x 轴的一个交点 A1,0，对称轴是直线 x=−1，则该抛物线与 x 轴的另一交点坐标是
A. −3,0B. −2,0C. x=−3D. x=−2

4. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC．若 AEAC=34，AD=9，则 AB 等于
A. 10B. 11C. 12D. 16

5. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 外一点，过点 C 作 ⊙O 的切线，切点为 B，连接 AC 交 ⊙O 于 D，∠C=38∘．点 E 在 AB 右侧的半圆上运动（不与 A，B 重合），则 ∠AED 的大小是
A. 19∘B. 38∘C. 52∘D. 76∘

6. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片是轴对称图形的概率为
A. 12B. 14C. 34D. 1

7. 已知 ab=23，则代数式 a+bb 的值为
A. 52B. 53C. 23D. 32

8. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为
A. 12 个单位B. 10 个单位C. 4 个单位D. 15 个单位

9. 如果一个正多边形的中心角为 72∘，那么这个多边形的边数是
A. 4B. 5C. 6D. 7

10. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，如果它的一个外角 ∠DCE=64∘，那么 ∠BOD=
A. 128∘B. 100∘C. 64∘D. 32∘

11. 如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值为
A. 2B. 3C. 4D. 5

12. 如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠B=60∘，M 为 AB 的中点．动点 P 在菱形的边上从点 B 出发，沿 B→C→D 的方向运动，到达点 D 时停止．连接 MP，设点 P 运动的路程为 x，MP2=y，则表示 y 与 x 的函数关系的图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆，若要求另外三个顶点 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 r 的取值范围是 ．

14. 如图，把 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 44∘，得到 Rt△ABʹCʹ，点 Cʹ 恰好落在边 AB 上，连接 BBʹ，则 ∠BBʹCʹ= ．

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 顶点的横、 纵坐标都是整数．若 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 是位似图形，则位似中心的坐标是 ．

16. 请写出一个开口向上，对称轴为直线 x=2，且与 y 轴的交点坐标为 0,3 的抛物线的解析式 ．

17. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端在 CB，CD 上滑动，当 CM= 时，△AED 与以 M，N，C 为顶点的三角形相似．

18. 如图，以扇形 AOB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为 2,0，若抛物线 y=12x2+k 与扇形 AOB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知二次函数 y=2x2−4x−6．
（1）用配方法将 y=2x2−4x−6 化成 y=ax−h2+k 的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
（2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减少?
（3）求以函数图象与两坐标轴交点为顶点的三角形的面积．

20. 在初三综合素质评定结束后，为了了解等级的评定情况，现对初三某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．
（1）调查发现评定等级为合格的男生有 2 人，女生有 1 人，则全班共有 名学生．
（2）补全女生等级评定的折线统计图．
（3）根据调查情况，该班班主任从评定等级为合格和 A 的学生中各选 1 名学生进行交流，请用树形图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．

21. 如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分 ∠DBC 且交 CD 边于点 E，将 △BCE 绕点 C 顺时针旋转到 △DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若 EG⋅BG=4，求 BE 的长．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN，使 ∠BCM=2∠A．
（1）判断直线 MN 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 OA=4，∠BCM=60∘，求图中阴影部分的面积．

23. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x1≤x≤90 天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元?请直接写出结果．

24. 把两个直角边长均为 6 的等腰直角三角板 ABC 和 EFG 叠放在一起（如图①），使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合．现将三角板 EFG 绕 O 点顺时针旋转（旋转角 α 满足条件：0∘<α<90∘），四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）探究：在上述旋转过程中，BH 与 CK 的数量关系以及四边形 CHGK 的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；
（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接 HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使 △GKH 的面积恰好等于 △ABC 面积的 512?若存在，求出此时 BH 的长度；若不存在，说明理由．

25. 如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处．分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O，D，C 三点．
（1）求 AD 的长及抛物线的解析式；
（2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P，Q，C 为顶点的三角形与 △ADE 相似?
答案
第一部分
1. A
2. B【解析】A，C中的两个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B中的图形是中心对称图形，D中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图．
3. A
4. C
5. B
6. A
7. B
8. B
9. B
10. A
11. B
12. B
第二部分
13. 3【解析】连接 BD．
在矩形 ABCD 中，
因为 AB=4，AD=3，
所以 BD=42+32=5．
因为 A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，
所以 314. 22∘
15. 8,0
16. y=x2−4x+3（答案不唯一）.
17. 55 或 255
18. −2第三部分
19. （1） 因为
y=2x2−4x−6=2x2−2x+1−1−6=2x−12−8,
所以对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 1,−8．
（2） 由（1）知，当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小．
（3） 在 y=2x2−4x−6 中，当 x=0 时，y=−6，
所以抛物线与 y 轴的交点为 0,−6，
当 y=0 时，有 2x2−4x−6=0，
解得：x=−1 或 x=3，
所以抛物线与 x 轴的交点为 −1,0 和 3,0，
则以函数图象与两坐标轴交点为顶点的三角形的面积为 12×4×6=12．
20. （1） 50
（2） 根据题意得：
女生评级 3A 的学生数是：50×16%−3=8−3=5（人），
女生评级 4A 的学生数是：50×50%−10=25−10=15（人），
如图：
（3） 列表如下：
∵ 共有 12 种等可能的结果数，其中一名男生和一名女生的共有 7 种，
∴ P=712，
答：选中一名男生和一名女生的概率为 712．
21. （1） ∵ 将 △BCE 绕点 C 顺时针旋转到 △DCF 的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵ BE 平分 ∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠DBE，
∵∠DGE=∠BGD，
∴△BDG∽△DEG．
（2） ∵△BDG∽△DEG，
∴∠BDG=∠DEG=∠BEC=∠F，BGDG=DGEG．
∴DG2=EG⋅BG=4，
∴DG=2．
∵BE 平分 ∠DBC，∠BDG=∠F，
∴DF=2DG=4，
∵△DCF≌△BCE，
∴BE=DF=4．
22. （1）
如图：MN 是 ⊙O 切线．
理由：连接 OC．
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∵ ∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴ ∠BCM=∠BOC，
∵ ∠B=90∘，
∴ ∠BOC+∠BCO=90∘，
∴ ∠BCM+∠BCO=90∘，
∴ OC⊥MN，
∴ MN 是 ⊙O 切线．
（2） 由（1）可知 ∠BOC=∠BCM=60∘，
∴ ∠AOC=120∘，
在 Rt△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30∘，
∴ BO=12OC=2，BC=23
∴ S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π⋅42360−12×4×23=16π3−43．
23. （1） 当 1≤x<50 时，y=200−2xx+40−30=−2x2+180x+2000，
当 50≤x≤90 时，
y=200−2x90−30=−120x+12000，
综上所述：y=−2x2+180x+20001≤x<50−120x+1200050≤x≤90．
（2） 当 1≤x<50 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为 x=45，
当 x=45 时，y最大=−2×452+180×45+2000=6050，
当 50≤x≤90 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x=50 时，y最大=6000，
综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元．
（3） 共 41 天每天销售利润不低于 4800 元．
【解析】当 1≤x<50 时，y=−2x2+180x+2000≥4800，解得 20≤x≤70，
因此利润不低于 4800 元的天数是 20≤x<50，共 30 天；
当 50≤x≤90 时，y=−120x+12000≥4800，解得 x≤60，
因此利润不低于 4800 元的天数是 50≤x≤60，共 11 天，
所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元．
24. （1） BH 与 CK 的数量关系：BH=CK，
四边形 CHGK 的面积的变化情况：四边形 CHGK 的面积不变，始终等于 △ACB 面积的一半，等于 9．
（2） 假设存在使 △GKH 的面积恰好等于 △ABC 面积的 512 的位置．
设 BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB−BH=6−x，
∴ S△CHK=12CH×CK=3x−12x2，
∴
S△GHK=S四边形CKGH−S△CKH=9−3x−12x2=12x2−3x+9,
∵ △GKH 的面积恰好等于 △ABC 面积的 512，
∴ 12x2−3x+9=512×12×6×6，
解得 x1=3+6，x2=3−6（经检验，均符合题意）．
∴ 存在使 △GKH 的面积恰好等于 △ABC 面积的 512 的位置，此时 BH 的长度为 3±6．
25. （1） ∵ 四边形 ABCO 为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90∘，AB=CO=8，AO=BC=10．
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，
∴∠B=∠DEC=90∘，EC=BC=10，ED=BD．
∴ 在 Rt△COE 中，
由勾股定理得 EO=6．
∴AE=10−6=4．
设 AD=x，则 BD=DE=8−x，
在 Rt△AED 中，
由勾股定理得 x2+42=8−x2，
解得，x=3．
∴AD=3．
∴ 点 D−3,10，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 O0,0，
∴c=0．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D−3,10，C−8,0，
将 C，D 代入得 9a−3b=10,64a−8b=0,
解得 a=−23,b=−163.
∴ 抛物线的解析式为：y=−23x2−163x．
（2） ∵∠DEA+∠OEC=90∘，∠OCE+∠OEC=90∘，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10−2t，
① 当 ∠PQC=∠DAE=90∘ 时，△ADE∽△QPC，
∴CQEA=CPED，即 t4=10−2t5，
解得 t=4013；
② 当 ∠QPC=∠DAE=90∘ 时，△ADE∽△PQC，
∴PCAE=CQED，即 10−2t4=t5，
解得 t=257，
综上所述，当 t=4013 或 t=257 时，以 P 、 Q 、 C 为顶点的三角形与 △ADE 相似．