2019-2020学年天津市和平区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市和平区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一个不透明的盒子中装有 2 个红球和 1 个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是
A. 摸到红球是必然事件
B. 摸到白球是不可能事件
C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等
D. 摸到红球比摸到白球的可能性大

2. 两地的实际距离是 2000 m，在地图上量得这两地的距离为 2 cm，这幅地图的比例尺是
A. 1:1000000B. 1:100000C. 1:2000D. 1:1000

3. 如图，将 △AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 45∘ 后得到 △AʹOBʹ，若 ∠AOB=10∘，则 ∠AOBʹ 的度数是
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 40∘

4. 对于二次函数 y=2x+1x−3，下列说法正确的是
A. 图象的开口向下
B. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小
C. 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线 x=−1

5. 将抛物线 y=x2−2x+2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是
A. −2,3B. −1,4C. 3,4D. 4,3

6. 一个不透明的袋子装有 3 个小球，分别标有数字 1，3，5，它们除数字不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为 6 的概率是
A. 16B. 29C. 13D. 23

7. 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的边心距为
A. 23B. 4C. 33D. 123

8. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A6,6，B8,2，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 12 后得到线段 CD，则点 B 的对应点 D 的坐标为
A. 3,3B. 1,4C. 3,1D. 4,1

9. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AD 是 ∠BAC 的平分线，交 BC 于点 M，交 ⊙O 于点 D，则图中相似三角形共有
A. 2 对B. 4 对C. 6 对D. 8 对

10. 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 A，AC，CD 是 ⊙O 的两条弦，且 CD∥AB，若 ⊙O 的半径为 52，CD=4，则弦 AC 的长为
A. 25B. 32C. 4D. 23

11. 如图，点 A1，A2，B1，B2，C1，C2 分别为 △ABC 的边 BC，CA，AB 的三等分点，若 △ABC 的周长为 l，则六边形 A1A2B1B2C1C2 的周长为
A. 2lB. 23lC. 33lD. 13l

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 −1,0 和点 0,−3，且顶点在第四象限．设 P=a+b+c，则 P 的取值范围是
A. −3
二、填空题（共6小题；共30分）
13. 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 2,4，则代数式 4a+2b 的值为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=6，D，E 分别在 AB，AC 上，将 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 Aʹ 处，若 Aʹ 为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为 ．

15. 如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径，∠P=50∘，则 ∠BAC= ．

16. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共 100 个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数比白球个数的 2 倍少 5 个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 310，则从袋中摸出一个球是白球的概率是 ．

17. 如图，点 D，E，F 分别在正三角形 ABC 的三边上，且 △DEF 也是正三角形，若 △ABC 的边长为 a，△DEF 的边长为 b，则 △AEF 的内切圆半径为 ．

18. 已知 △ABC，△EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点．
（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ；
（Ⅱ）如图②，直线 AG，FC 相交于点 M，当 △EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. （1）解方程 x−2x−3=0；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围．

20. 已知四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接 OC，OA，AC．
（1）如图①．求 ∠OCA 的度数；
（2）如图②，连接 OB，OB 与 AC 相交于点 E，若 ∠COB=90∘，OC=23，求 BC 的长和阴影部分的面积．

21. 已知，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 延长线交于点 P．
（1）如图 1，若 ∠COB=2∠PCB，求证：直线 PC 是 ⊙O 的切线；
（2）如图 2，若点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，MN⋅MC=36，求 BM 的值．

22. 如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 25 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的长为 40 米，若要围成的养鸡场的面积为 180 平方米，求养鸡场的长、宽各为多少米，设与墙平行的一边长为 x 米．
（1）填空：（用含 x 的代数式表示）另一边长为 米；
（2）列出方程，并求出问题的解．

23. 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系．
（1）根据题意，填空：①顶点 C 的坐标为 ；② B 点的坐标为 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关系 h=−1128t−192+80≤t≤40，且当点 C 到水面的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行?

24. 在 △ABC 中，∠ACB=30∘，将 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 △A1BC1．
（1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求 ∠CC1A1 的度数；
（2）已知 AB=6，BC=8，
① 如图 2，连接 AA1，CC1，若 △CBC1 的面积为 16，求 △ABA1 的面积；
② 如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中，点 P 的对应是点 P1，直接写出线段 EP1 长度的最大值．

25. 将直角边长为 6 的等腰直角 △AOC 放在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 C，A 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点 A，C 及点 B−3,0．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 P 是线段 BC 上一动点，过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，连接 AP，当 △APE 的面积最大时，求点 P 的坐标；
（3）若点 Pt,t 在抛物线上，则称点 P 为抛物线的不动点，将（1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线 y=2x−74 上，求此时抛物线的解析式．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. C
5. D
6. C
7. A
8. D
9. C
10. A
11. B
12. B【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 过点 −1,0 和点 0,−3，
∴ 0=a−b+c，−3=c，
∴ b=a−3，
∵ 当 x=1 时，y=ax2+bx+c=a+b+c，
∴ P=a+b+c=a+a−3−3=2a−6，
∵ 顶点在第四象限，a>0，
∴ b=a−3<0，
∴ a<3，
∴ 0 ∴ −6<2a−6<0．即 −6第二部分
13. 1
14. 2
15. 25∘
16. 14
17. 36a−b
【解析】
如图，由于 △ABC，△DEF 都为正三角形，
∴ AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60∘，
∴ ∠1+∠2=∠2+∠3=120∘，
∴ ∠1=∠3．
在 △AEF 和 △CFD 中，
∠EAF=∠C,∠1=∠3,EF=FD,
∴ △AEF≌△CFDAAS．
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE．
∴ BE=AF，即 AE+AF=AE+BE=a．
设 M 是 △AEF 的内心，作 MH⊥AE 于 H，MG⊥AF 于 G，MI⊥EF 于 I，则 AH=AG，EH=EI，FG=FI，
则 AH=12AE+AF−EF=12a−b．
∵ MA 平分 ∠BAC，∴ ∠HAM=30∘．
设 HM=x，则 AM=2x，根据勾股定理，得 AH=3x，解得 x=36a−b．
故 △AEF 的内切圆半径为 36a−b．
18. 23，23−2
第三部分
19. （1）
∵x−2x−3=0.∴x−2=0或x−3=0.
解得：
x1=2,x2=3.
（2） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴ Δ=−22−4m=4−4m>0，解得：m<1．
∴ m 的值取值范围为 m<1．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，
∴ ∠ABC+∠D=180∘，
∵ ∠ABC=2∠D，
∴ ∠D+2∠D=180∘，
∴ ∠D=60∘，
∴ ∠AOC=2∠D=120∘，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA=30∘．
（2） ∵ ∠COB=90∘，OB=OC=23，
∴ BC=OB2+OC2=26 .
∵ ∠COB=90∘，∠AOC=120∘，
∴ ∠AOB=30∘，S扇形BOC=90π×232360=3π，
在 Rt△OCE 中，OC=23，
∴ OE=OC⋅tan∠OCE=23⋅tan30∘=23×33=2，
∴ S△OEC=12OE⋅OC=12×2×23=23，
∴ S阴影=S扇形BOC−S△OEC=3π−23．
21. （1） 如图，连接 AC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90∘，
∴∠PCB+∠OCB=90∘，即 OC⊥CP．
∵OC 是 ⊙O 的半径，
∴PC 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 BC．
∵ 点 M 是 AB 的中点，
∴AM=BM，
∴∠ABM=∠MCB，
又 ∠NMB=∠CMB，
∴△NMB∽△BMC，
∴MNBM=BMMC，
∴BM2=MN⋅MC=36，
∴BM=6．
22. （1） 40−x2
（2） 根据题意得：
x⋅40−x2=180.
整理得出：
x2−40x+360=0.
解得：
x1=20+210,x2=20−210.
由于墙长 25 米，而 20+210>25，
∴x1=20+210，不合题意舍去，
∵0<20−210<25，
∴x2=20−210，符合题意，
此时 40−x2=10+10，
答：鸡场与墙平行的一边长 20−210 米，宽是 10+10 米．
23. （1） 0,11；8,8
（2） ∵ 点 C 到 ED 的距离是 11 米，
∴OC=11，
设抛物线的解析式为 y=ax2+11，
∵ B8,8 在抛物线上，
∴64a+11=8，
解得 a=−364，
∴y=−364x2+11．
（3） 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED 的距离 h 至多为 11−5=6（米），
6=−1128t−192+8.∴t−192=256.∴t−19=±16.
解得
t1=35,t2=3.∴35−3=32
（小时）．
答：需 32 小时禁止船只通行．
24. （1） 依题意得：△A1C1B≌△ACB，
所以 BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30∘，
所以 ∠BC1C=∠C=30∘，
所以 ∠CC1A1=60∘；
（2） ① 如图，
由（1）知：△A1C1B≌△ACB，
所以 A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，
所以 ∠1=∠2，A1BC1B=ABCB=68=34，
所以 △A1BA∽△C1BC，
所以 S△A1BAS△C1BC=342，
因为 △CBC1 的面积为 16，
所以 △ABA1 的面积为 9；
② 线段 EP1 长度的最大值为 11．
25. （1） ∵B−3,0，C6,0，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax+3x−6，
∵ 点 A0,6 在抛物线上，
∴6=a0+30−6，
解得 a=−13，
∴y=−13x+3x−6，
即 y=−13x2+x+6．
（2） 设 Pm,0，如图，
∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴S△PCES△BCA=PC2BC2，
S△PCE27=m−6281，
∴S△PCE=m−623，
∵S△APE=S△APC−S△PCE=−13m2+m+6=−13m−322+274,
∴ 当 m=32 时，S△APE 有最大值为 274．
∴P32,0．
（3） 设平移后的抛物线的顶点为 Gh,k，
∴ 抛物线解析式为 y=−13x−h2+k，
由抛物线的不动点的定义，得，t=−13t−h2+k，
∴t2+3−2ht+h2−3k=0，
∵ 平移后，抛物线只有一个不动点，
∴ 此方程有两个相等的实数根，
∴Δ=3−2h2−4h2−3k=0，
∴h−k=34, ⋯⋯①
∵ 顶点在直线 y=2x−74 上，
∴k=2h−74, ⋯⋯②
∴ 联立 ①② 得，h=1,k=14,
∴ 抛物线的解析式为 y=−13x−12+14=−13x2+23x−112．