2019-2020学年天津市西青区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市西青区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列事件是必然事件的是
A. 打开电视机正在播放广告
B. 投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数为 50 次
C. 任意一个一元二次方程都有实数根
D. 在平面上任意画一个三角形，其内角和是 180∘

2. 掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上的概率是
A. 1B. 12C. 13D. 14

3. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 若反比例函数 y=−1x 的图象经过点 A3,m，则 m 的值是
A. −3B. 3C. −13D. 13

5. 如图，△ODC 是由 △OAB 绕点 O 顺时针旋转 31∘ 后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且 ∠AOC 的度数为 100∘，则 ∠DOB 的度数是
A. 34∘B. 36∘C. 38∘D. 40∘

6. 如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AD 切半圆 O 于点 A，点 C 是 EB 的中点，则下列结论不成立的是
A. OC∥AEB. EC=BC
C. ∠DAE=∠ABED. AC⊥OE

7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3，S4，S6 间的大小关系是
A. S3>S4>S6B. S6>S4>S3C. S6>S3>S4D. S4>S6>S3

8. 正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为
A. 3:2:1B. 4:3:2C. 4:2:1D. 6:4:3

9. 如图，正方形 ABCD 中，分别以 B，D 为圆心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为
A. πaB. 2πaC. 12πaD. 3a

10. 对于二次函数 y=x−12+2 的图象，下列说法正确的是
A. 开口向下B. 对称轴是直线 x=−1
C. 顶点坐标是 1,2D. 与 x 轴有两个交点

11. 用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米．若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为
A. x5+x=6B. x5−x=6
C. x10−x=6D. x10−2x=6

12. 如图，△OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90∘，反比例函数 y=6x 在第一象限的图象经过点 B，则 △OAC 与 △BAD 的面积之差 S△OAC−S△BAD 为
A. 36B. 12C. 6D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知点 −1,y1，2,y2，3,y3 在反比例函数 y=−k2−1x 的图象上，则用" < "连接 y1，y2，y3 为 ．

14. 点 Aa,3 与点 B−4,b 关于原点对称，则 a+b= ．

15. 小明把如图所示的矩形纸板 ABCD 挂在墙上，E 为 AD 中点，且 ∠ABD=60∘，并用它玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ．

16. 已知 x1，x2 是方程 x2−4x−12=0 的解，则 x1+x2= ．

17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的 ⊙P 的圆心 P 的坐标为 −3,0，将 ⊙P 沿 x 轴正方向平移，使 ⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为 ．

18. 如图，已知直线 y=−34x+3 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，P 是抛物线 y=−12x2+2x+5 上的一个动点，其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=−34x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时，a 的值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标是 A−7,1，B1,1，C1,7．线段 DE 的端点坐标是 D7,−1，E−1,−7．
（1）试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合；
（2）将 △ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应边为 DE，请直接写出点 B 的对应点 F 的坐标；
（3）画出（2）中的 △DEF，并和 △ABC 同时绕坐标原点 O 逆时针旋转 90∘．画出旋转后的图形．

20. 近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到 4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第 7 小时达到最高值 46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度 y 与时间 x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到 34 mg/L 时，井下 3 km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少 km/h 的速度撤离才能在爆炸前逃生?
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到 4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?

21. 如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相等，分别有数字 1，2，3，4．转动 A、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

22. 如图，已知 ⊙O 的半径长为 25，弦 AB 长为 48，C 是 AB 的中点．求 AC 的长．

23. 某网店打出促销广告，最潮新款服装 30 件，每件售价 300 元．若一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元．已知该服装成本是每件 200 元．设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多?

24. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如图 1，若点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，求证：△ADF∽△ABC；
（2）如图 2，在（1）的条件下，若 α=45∘，求证：DE2=BD2+CE2；
（3）如图 3，若 α=45∘，点 E 在 BC 的延长线上，则等式 DE2=BD2+CE2 还能成立吗?请说明由．

25. 如图，抛物线 y=−x2−2x+3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求 A，B，C 三点的坐标．
（2）点 M 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A，B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N．若点 P 在点 Q 左边，当矩形 PMNQ 的周长最大时，求 △AEM 的面积．
（3）在（2）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ．过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）．若 FG=22DQ，求点 F 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. C
4. C
5. C
6. D
7. B
8. A
9. A
10. C
11. B【解析】设一边长为 x 米，则另外一边长为 5−x 米，由题意，得 x5−x=6．
12. D【解析】设 △OAC 和 △BAD 的直角边长分别为 a 、 b .
则点 B 的坐标为 a+b,a−b．
∵ 点 B 在反比例函数 y=6x 的第一象限图象上，
∴ a+b×a−b=a2−b2=6．
∴ S△OAC−S△BAD=12a2−12b2=12a2−b2=12×6=3．
第二部分
13. y214. 1
15. 18
16. 4
17. 1 或 5
18. 4+25 或 4−25 或 4 或 −1
【解析】当 x=0 时，y=−34x+3=3，则 B0,3，
∵ 点 P 的横坐标为 a，PQ∥y轴，
∴ Pa,−12a2+2a+5，Qa,−34a+3，
∴PQ=−12a2+2a+5−−34a+3=−12a2+114a+2=12a2−114a−2,
BQ=a2+−34a+3−32=54a，
∵ PQ=BQ，
∴ 12a2−114a−2=54a，
当 12a2−114a−2=54a，整理得 a2−8a−4=0，
解得 a1=4+25，a2=4−25，
当 12a2−114a−2=−54a，整理得 a2−3a−4=0，
解得 a1=4，a2=−1，
综上所述，a 的值为 4+25 或 4−25 或 4 或 −1．
第三部分
19. （1） 将线段 AC 先向右平移 6 个单位，再向下平移 8 个单位（答案不唯一）．
（2） F−1,−1．
（3） 它们旋转后的图形分别是 △CMD 和 △EGA．
20. （1） ∵ 爆炸前浓度呈直线型增加，
∴ 可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k1x+bk1≠0，
由图象知 y=k1x+b 过点 0,4 与 7,46，
得 b=4,7k1+b=46,
解得 k1=6,b=4,
则 y=6x+4，此时自变量 x 的取值范围是 0≤x≤7．
∵ 爆炸后浓度成反比例下降，
∴ 可设 y 与 x 的函数关系式为 y=k2xk2≠0．
由图象知 y=k2x 过点 7,46，
∴ k27=46，
∴ k2=322，
∴ y=322x，此时自变量 x 的取值范围是 x>7．
（2） 当 y=34 时，由 y=6x+4 得，6x+4=34，x=5．
∴ 撤离的最长时间为 7−5=2（小时）．
∴ 撤离的最小速度为 3÷2=1.5km/h．
（3） 当 y=4 时，由 y=322x 得，x=80.5，80.5−7=73.5（小时）．
∴ 矿工至少在爆炸后 73.5 小时才能下井．
21. （1） 画树状图得：
则共有 12 种等可能的结果；
（2） ∵ 两个数字的积为奇数有 4 种情况，
∴ 两个数字的积为奇数的概率为：412=13．
22. 如图，连接 OA，OC，
设 OC 交 AB 于 H，
∵C 是 AB 的中点，
∴OH⊥AB，AB=2AH，
在 Rt△OAH 中，OA=25，AH=24，
根据勾股定理得：OH=OA2−AH2=7，
∴HC=OC−OH=25−7=18，
在 Rt△AHC 中，
根据勾股定理得：AC=AH2+HC2=30，
∴AC 的长为 30．
23. （1） y=300x−200x=100x0≤x≤10,且 x 为整数,300−3x−10−200x=−3x2+130x10 （2） 在 0≤x≤10 时，y=100x，当 x=10 时，y 有最大值 1000；
在 10因为 x 为整数，根据抛物线的对称性，得 x=22 时，y 有最大值 1408．
因为 1408>1000，
所以顾客一次购买 22 件时，该网店从中获利最多．
24. （1） ∵ 点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ ∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又 ∵ ∠BAC=2∠DAE，
∴ ∠BAC=∠DAF，
∵ AB=AC，
∴ ABAD=ACAF．
∴ △ADF∽△ABC．
（2） ∵ 点 D 关于直线 AE 的对称点为 F，
∴ EF=DE，AF=AD，
∵ α=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF−∠CAD=45∘+45∘−∠CAD=90∘−∠CAD,
∴ ∠BAD=∠CAF，
在 △ABD 和 △ACF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∴ △ABD≌△ACFSAS，
∴ CF=BD，∠ACF=∠B，
∵ AB=AC，∠BAC=2α，α=45∘，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠B=∠ACB=45∘，
∴ ∠ECF=∠ACB+∠ACF=45∘+45∘=90∘，
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
（3） DE2=BD2+CE2 还能成立．
理由如下：作点 D 关于 AE 的对称点 F，连接 EF，CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，
∵ α=45∘，
∴ ∠BAD=90∘−∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF−∠CAD=45∘+45∘−∠CAD=90∘−∠CAD,
∴ ∠BAD=∠CAF，
在 △ABD 和 △ACF 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∴ △ABD≌△ACFSAS，
∴ CF=BD，∠ACF=∠B，
∵ AB=AC，∠BAC=2α，α=45∘，
∴ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠B=∠ACB=45∘，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=45∘+45∘=90∘．
∴ ∠ECF=180∘−∠BCF=180∘−90∘=90∘，
在 Rt△CEF 中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2．
25. （1） 由抛物线 y=−x2−2x+3 可知 C0,3，
令 y=0，则 0=−x2−2x+3，
解得 x=−3 或 x=1，
∴ A−3,0，B1,0．
（2） 由抛物线 y=−x2−2x+3=−x+12+4 可知，对称轴为直线 x=−1，
设点 M 的横坐标为 m，则 PM=−m2−2m+3，MN=−m−1×2=−2m−2，
∴
矩形PMNQ的周长=2PM+MN=2−m2−2m+3−2m−2=−2m2−8m+2=−2m+22+10,
∴ 当 m=−2 时矩形的周长最大．
∵ A−3,0，C0,3，
∴ 直线 AC 的函数表达式为 y=x+3，AM=1，
当 x=−2 时，y=−2+3=1，则 E−2,1，
∴ EM=1，
∴ S△AEM=12AM⋅EM=12．
（3） ∵ 当矩形 PMNQ 的周长最大时，点 M 的横坐标为 −2，抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴ N0,0，
∴ Q0,3，
∴ 点 N 应与原点重合，点 Q 与点 C 重合，
∴ DQ=DC，
把 x=−1 代入 y=−x2−2x+3，得 y=4，
∴ D−1,4．
∵ C0,3，
∴ DC=2，
∴ DQ=DC=2，
∴ FG=22DQ=22×2=4，
设点 Fn,−n2−2n+3，则点 Gn,n+3，
∵ 点 G 在点 F 的上方，
∴ n+3−−n2−2n+3=4，解得 n=−4 或 n=1．
∴ 点 F 的坐标为 −4,−5 或 1,0．