初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.2 命题与证明背景图ppt课件

这是一份初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.2 命题与证明背景图ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了同角的余角相等，结论这两个角相等，牛刀小试，不是命题，是命题，两点之间线段最短，举例2定理，答真命题，答假命题，第一步等内容，欢迎下载使用。
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角。
我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形。
像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。
把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式。
你能说说“代数式”的定义吗？
请根据代数式的定义判断下列式子是不是代数式。
注意：定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征。
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
含有未知数的等式叫做方程。
（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
下列语句中哪些对事情做出了判断？
一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题。 如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题，（4），（5）就不是命题。
下列命题的叙述方式有什么共同点？
1.如果a=b且b=c，那么a=c；
2.如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
它们的叙述方式都是“如果……，那么……”
在“如果……，那么……”形式的命题中，“如果”连结的部分是条件，“那么”连结的部分是结论。
有的命题表面上看不具有“如果……，那么……”的形式，但是可以写成这种形式。
例 找出命题的条件和结论，并改写成“如果…,那么…”的形式：
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
条件：两个角是同一个角的余角，
1.下列命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c；（3）能被2整除的数是偶数。
(1)条件：两个角相等；结论：它们是对顶角。(2)条件: a＞b，b＞c，结论:a＞c(3)改写：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数。条件：一个数能被2整除，结论：这个数是偶数。
在上述命题中，命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中的一个叫作原命题，另一个叫逆命题。上述命题（1）和（2）就是互逆命题。
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）两直线平行，同位角相等。
从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？
（2）两点之间线段最短；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？
2. 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两条直线相交，只有一个交点；
（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；
答：如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点。
答：如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除。
（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角。
（3）互为相反数的两个数之和等于0。
答：如果两个数是互为相反数，那么这 两个数之和等于0。
答：如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角。
3. 写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形。
答：绝对值相等的两个数相等
答：如果m是有理数，那么它也是整数
答：内错角相等，两直线平行
答：等腰三角形的两边相等
1.理解什么叫“定义”、“命题”？
2.命题都是由条件和结论两部分组成
3.互逆命题、原命题、逆命题。
下列命题哪些正确？哪些错误？
（1）（2）（3）是错的，（4）是正确的.
（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数， 那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.
我们把正确的命题称为真命题，
把错误的命题称为假命题。
判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b，b>c，那么a>c
1、同旁内角互补，两直线平行。
2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等。
逆命题：两直线平行，同旁内角互补。
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。
3、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除。
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5。
说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。
像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明。
像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例。
判断下列命题为真命题是根据什么呢？
是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断。
从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真。
对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理。
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》。全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。
（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何。近代数学对此不再区分，都称为公理。)
举例1：常用的基本事实：
过两点有且只有一条直线
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
内错角相等，两直线平行
（5）平行线的判定定理：
定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论。
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”。
平行线的性质定理Ｉ 两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等。
平行线的基本事实Ｉ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
上述这两个定理是不是互逆的命题？
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。
例如，平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理。
下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来。
两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等。
答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由。
（1）绝对值最小的数是0；
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l， 那么a∥b
2.举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等
答：直角三角形的两个锐角和不是钝角
答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数
答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题。
答：两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。
1. 说明一个命题是真命题的方法：
2. 说明一个命题是假命题的方法：
3. 基本事实、定理、互逆定理。
下列四个命题中是真命题的有（ ）①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
② 题相等的角并不一定是对顶角；
直观是重要的,但它有时也会骗人.
通过观察,先猜想结论,再动手验证:
1.如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?
2.当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是 7,5,5,7,11,它们都是素数,那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°．
另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
结合图形，写出已知求证；
已知：∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE =360°.
证明命题“三角形的外角和为360°” 是真命题.
写出证明过程，并且步步有依据。
证明：∵∠BAF =∠2 +∠3， ∠CBD =∠1 +∠3， ∠ACE =∠1 +∠2 （三角形外角定理），∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE =2（∠1+∠2+∠3） （等式的性质）.∵ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2×180°=360°.
经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形。
（2）结合图形，写出已知求证
（3）写出证明过程，并且步步有依据。
从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明 。
（ 定义）（定理）（基本事实）
例１．已知：在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
证明∵ ∠DAC =∠B +∠C （三角形外角定理）， ∠B ＝∠C （已知），∴ ∠DAC = 2∠B （等式的性质）.又∵ AE平分∠DAC（已知），∴ ∠DAＣ = 2∠DAE （角平分线的定义）.
∴ AE∥BC （同位角相等，两直线平行）.
例2．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A +∠B +∠C ＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
1. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.求证：∠C+∠D= 180°.证明：∵∠A+∠B= 180°（已知）， ∴ AD∥BC（ ）. ∴ ∠C+∠D= 180° （ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明： ∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
3. 已知：如图，AB与CD相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°（三角形内角和等于180°），
1.证明一个命题是真命题的基本步骤是什么?
2.用反证法证明应分几步?