2021学年4.3 指数函数与对数函数的关系巩固练习

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.2.2指数函数与对数函数的关系

一、基础巩固

1．函数y=x3和图象满足

A．关于原点对称 B．关于x轴对称

C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称

【答案】D

【解析】由得到x=y3，所以这两个函数互为反函数，根据反函数图象的性质可知函数y=x3和的图象关于直线y=x对称．故选D．

2．（2017·广东盐田·深圳外国语学校高一期中）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．6 B．9 C．2 D．

【答案】B

【解析】令，解得，由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以.

3．（2019·全国高一课时练习）已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（    ）

A． B．  C．  D．

【答案】B

【解析】解：，

，即，

，

与互为反函数，图象关于对称．

4．（2020·浙江省杭州第二中学高一期末）设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解:解法一:（图象法）

根据函数零点的定义可知函数与的图象交点为,

同理可得函数与的图象交点为.

又因为函数与的图象关于直线对称,

函数的图象也关于直线对称,

所以点与点关于直线对称,所以.

由可知,所以在区间上单调递增,

所以.

故选:D

解法二:（定义法）

根据函数零点的定义可知是方程的根,

所以也是函数的零点.

同理可得是方程的根,即,

所以,所以也是函数的零点.

又,所以函数在上单调递增,所以.

由可知,所以在区间上单调递增,

所以.

5．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）的反函数是（     ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，故.

6．（2019·全国高一课时练习）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，

则函数与函数互为反函数，则.

因此，.

7．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵函数的图象与的图象关于直线对称，∴函数与互为反函数，则，又由的图象与的图象关于轴对称，∴，又∵，∴，，故选B.

8．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数与互为反函数，，

则，根据同增异减的性质，可设，，可知外层函数为增函数，则内层函数应在定义域内取对应的减区间，即或，应取

9．（2019·连平县附城中学高一月考）已知，，且，若，那么与在同一坐标系内的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，和，且在上单调性相同，可排除B、D，

再由关系式可排除A．

10．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））若是方程的解，是方程的解，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；

又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；

因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称，

又的图像关于直线对称，

因此，，两点关于直线对称，所以有，

因此.

11．（2019·全国高一单元测试）已知函数，则

A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减

C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称

【答案】C

【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．

12．（2020·全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则 （    ）

A．-7 B．-9 C．-11 D．-13

【答案】C

【解析】因为当时,函数的图象与函数的图象关于对称,

故.

又函数是奇函数,故

.

13．（2019·安徽贵池·高一期中）己知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（    ）

A．4 B．8 C．10 D．32

【答案】C

【解析】函数,函数是的反函数,则,

14．（2019·皇姑·辽宁实验中学高一月考）设是函数（）的反函数，则使成立的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意设整理化简得，

解得

，，

由使得

，，

所以①或且②

所以或

由此解得：．

15．（2017·上海虹口·上外附中高一期中）若定义在上的函数满足.且当时，，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在，使在恒成立；

B．对任意，使在恒成立；

C．对任意，使在上始终存在反函数；

D．对任意，使在上始终存在反函数；

【答案】C

【解析】关于直线对称，

作出的函数图象如图所示：

由图象可知的解集为，

∴不存在一个长度为1的区间，使得恒成立，故A错误，

由图象可知的解集为，故B错误；

由图象可知在上为单调函数，故C正确；

由图象可知在上为单调函数，在上为单调函数，故D错误.

16．（多选题）（2020·辽宁抚顺·高一期末）下列结论中正确的是（    ）

A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；

B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；

C．方程的解集为；

D．一次函数一定存在反函数．

【答案】AD

【解析】A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.

17．（多选题）（2019·山西祁县中学高一月考）若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则________．

【答案】16

【解析】解：函数的图象经过点，

可得：，

解得：，

，

由于点在的反函数图象上，即在的图象上，

则有：.

18．（多选题）（2020·上海高一课时练习）若函数的反函数为，且，则________.

【答案】

【解析】解：对于函数，当时，，又的反函数为，

所以当时，，即.

19．（多选题）（2020·上海奉贤·高一期中）设是函数的反函数，若，则的值是______.

【答案】2

【解析】解：由可得的反函数为，

因为，所以，即

所以，所以.

20．（多选题）（2020·上海奉贤·高一期中）给出下列四个命题：

（1）函数为奇函数的充要条件是；

（2）函数的反函数是；

（3）若函数的值域是，则或；

（4）若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称.

其中所有正确命题的序号是______.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】解：（1）当时，，，

当函数为奇函数时，即，解得，所以是函数为奇函数的充要条件，所以（1）正确；

（2）由反函数的定义可知函数的反函数是，所以（2）正确；

（3）因为函数的值域是，所以能取遍的所有实数，所以，解得或，所以（3）正确；

（4）函数是偶函数，所以图像关于轴对称，函数的图像是由向左平移一个单位得到的，所以函数的图像关于直线对称，故（4）不正确.

二、拓展提升

1．（2020·上海高一课时练习）函数与互为反函数，求实数m，n的值.

【解析】解：变形可得，则函数的反函数为，

所以 ，即 .

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数与的图象关于对称，求的解析式.

【解析】∵函数与的图像关于对称，

与互为反函数，

而，

．

3．（2020·上海高一课时练习）已知函数.

（1）求的反函数；

（2）在同一坐标系上画出和的图象.

【解析】（1），

由，得，

所以，的反函数为.

（2）函数图象如下：

4．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的反函数：

（1）；

（2）；

（3）

【解析】（1），

，，，

由，得，解得，

所以.

（2），

，，，

，

由，得，解得，

所以.

（3）由，得，

由，得，

由，得，

由，得，解得，

所以.

5．（2017·天水市第一中学高一期中）已知指数函数 （，且）．

（1）求的反函数的解析式；

（2）解不等式：．

【解析】（1）由题意知 （，且）．

（2）当时，，得，所以不等式的解集为．

同理，当时，不等式的解集为．

综上，当时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为．