4.3指数函数与对数函数的关系（课件+学案+练习）

4.3　指数函数与对数函数的关系最新课程标准1.了解反函数的定义．2．了解指数函数与对数函数互为反函数．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习知识点一　指数函数与对数函数的性质状元随笔　指数函数y＝ax与对数函数y＝logax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．R(0，＋∞)(0，＋∞)R减函数增函数知识点二　反函数一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同．状元随笔1．y＝f(x)与y＝f －1(x)的图像关于直线y＝x对称．2．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f －1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f －1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f －1(x)也是减函数．基础自测1.函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像(　　)A．关于x轴对称　　B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．答案：D2．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．解析：函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)课堂探究·素养提升题型1　求函数的反函数[教材P31例2]例1　判断f(x)＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f－1(x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出f(x)与f－1(x)的函数图像．1．判断函数是否单调．2．求出x.3．推导出f －1(x)的解析式． 方法归纳求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从y＝f(x)中解出x；(3)x，y互换并注明反函数的定义域． 1.函数在定义域内的值域．2．求x.3．解出反函数． 题型2　反函数性质的应用例2　已知函数y＝ax＋b的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值．函数与反函数图像上相应点关于y＝x对称． 方法归纳利用反函数的性质解题互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点 (a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1，7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4，0)，求f(x)的表达式．两点关于y＝x对称．解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(4，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0，4)，∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1，7)，∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.题型3　指数函数与对数函数图像间的关系例3　已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是(　　)1．由lg a＋lg b＝0得ab＝1.2．f(x)与y(x)互为反函数．【答案】　B 方法归纳利用反函数的性质识图指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称，在有关指数函数与对数函数的图像知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题．跟踪训练3　y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的(　　) 答案：C状元随笔　1.先求出f －1(x)．2．再求f －1(－x)．3．最后求出f －1(1－x)． 题型4　指数函数与对数函数的综合应用例4　(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求函数f(x)的定义域、值域；②判断f(x)的单调性，并证明；(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．1．先求定义域值域．2．判断函数单调性．3．利用反函数求m、n. (2)将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)，而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝－n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3.方法归纳指数函数与对数函数综合问题的解决方法(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)利用数形结合，等价转化的思想可较为简便地解决函数零点(方程的根)问题．跟踪训练4　已知0