2018年上海市闵行区中考二模数学试卷(期中)
展开一、选择题(共6小题;共30分)
1. 在下列各式中,二次单项式是
A. x2+1B. 13xy2C. 2xyD. −122
2. 下列运算结果正确的是
A. a+b2=a2+b2B. 2a2+a=3a3
C. a3⋅a2=a5D. 2a−1=12aa≠0
3. 在平面直角坐标系中,反比例函数 y=kxk≠0 图象在每个象限内 y 随着 x 的增大而减小,那么它的图象的两个分支分别在
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限
4. 有 9 名学生参加校民乐决赛,最终成绩各不相同,其中一名同学想要知道自己是否进入前 5 名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这 9 名学生成绩的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
5. 已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是
A. 当 AB=BC 时,四边形 ABCD 是菱形
B. 当 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是菱形
C. 当 ∠ABC=90∘ 时,四边形 ABCD 是矩形
D. 当 AC=BD 时,四边形 ABCD 是正方形
6. 点 A 在圆 O 上,已知圆 O 的半径是 4,如果点 A 到直线 a 的距离是 8,那么圆 O 与直线 a 的位置关系可能是
A. 相交B. 相离C. 相切或相交D. 相切或相离
二、填空题(共12小题;共60分)
7. 计算:∣−1∣+22= .
8. 在实数范围内分解因式:4a2−3= .
9. 方程 2x−1=1 的根是 .
10. 已知关于 x 的方程 x2−3x−m=0 没有实数根,那么 m 的取值范围是 .
11. 已知直线 y=kx+bk≠0 与直线 y=−13x 平行,且截距为 5,那么这条直线的解析式为 .
12. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,当你抬头看信号灯时,是绿灯的概率为 .
13. 已知一个 40 个数据的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为 10,5,7,6,第五组的频率是 0.10,则第六组的频数为 .
14. 如图,已知在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,且 AE=2ED.设 BA=a,BC=b,那么 CE= (用 a,b 的式子表示).
15. 如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1 是常数)与 y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2 是常数)满足 a1 与 a2 互为相反数,b1 与 b2 相等,c1 与 c2 互为倒数,那么称这两个函数为“亚旋转函数”.请直接写出函数 y=−x2+3x−2 的“亚旋转函数”为 .
16. 如果正 n 边形的中心角为 2α,边长为 5,那么它的边心距为 .(用锐角 α 的三角比表示)
17. 如图,一辆小汽车在公路 l 上由东向西行驶,已知测速探头 M 到公路 l 的距离 MN 为 9 米,测得此车从点 A 行驶到点 B 所用的时间为 0.6 秒,并测得点 A 的俯角为 30∘,点 B 的俯角为 60∘.那么此车从 A 到 B 的平均速度为 米/秒.(结果保留三个有效数字,参考数据:3≈1.732,2≈1.414)
18. 在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90∘,AB=12,DC=7,cs∠ABC=513,点 E 在线段 AD 上,将 △ABE 沿 BE 翻折,点 A 恰巧落在对角线 BD 上点 P 处,那么 PD= .
三、解答题(共7小题;共91分)
19. 计算:12+1+−12018−2cs45∘+813.
20. 解方程组:y−x=1,x2−xy−2y2=0.
21. 已知一次函数 y=−2x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A,B,以 AB 为边在第一象限内作直角三角形 ABC,且 ∠BAC=90∘,tan∠ABC=12.
(1)求点 C 的坐标;
(2)在第一象限内有一点 M1,m,且点 M 与点 C 位于直线 AB 的同侧,使得 2S△ABM=S△ABC,求点 M 的坐标.
22. 为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召,减轻校门口道路拥堵的现状,王强决定改父母开车接送为自己骑车上学.已知他家离学校 7.5 千米,上下班高峰时段,驾车的平均速度比自行车平均速度快 15 千米/小时,骑自行车所用时间比驾车所用时间多 14 小时,求自行车的平均速度?
23. 如图,已知在 △ABC 中,∠BAC=2∠C,∠BAC 的平分线 AE 与 ∠ABC 的平分线 BD 相交于点 F,FG∥AC,连接 DG.
(1)求证:BF⋅BC=AB⋅BD;
(2)求证:四边形 ADGF 是菱形.
24. 如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2−2x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B1,0,与 y 轴相交于点 C0,3.
(1)求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标;
(2)求证:∠DAB=∠ACB;
(3)点 Q 在抛物线上,且 △ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形,求 Q 点的坐标.
25. 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,AC=6,BC=8,点 F 在线段 AB 上,以点 B 为圆心,BF 为半径的圆交 BC 于点 E,射线 AE 交圆 B 于点 D(点 D,E 不重合).
(1)如果设 BF=x,EF=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出它的定义域;
(2)如果 ED=2EF,求 ED 的长;
(3)连接 CD,BD,请判断四边形 ABDC 是否为直角梯形?说明理由.
答案
第一部分
1. C
2. C
3. A
4. B
5. D
6. D
第二部分
7. 5
8. 2a+32a−3
9. x=1
10. m<−94
11. y=−13x+5
12. 512
13. 8
14. a−13b
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC,
∴CD=BA=a,AD=BC=b,
∵AE=2DE,
∴ED=13b,
∵CE=CD+DE.
∴CE=a−13b.
15. y=x2+3x−12
16. 52ctα(或 52tanα)
17. 17.3
18. 122−12
【解析】过点 C 作 CF⊥AB 于点 F,则四边形 AFCD 为矩形,如图所示.
∵AB=12,DC=7,
∴BF=5.
又 ∵cs∠ABC=513,
∴BC=13,CF=BC2−BF2=12.
∵AD=CF=12,AB=12,
∴BD=AB2+AD2=122.
∵△ABE 沿 BE 翻折得到 △PBE,
∴BP=BA=12,
∴PD=BD−BP=122−12.
第三部分
19. 原式=2−1+1−2×22+2=2−2+2=2.
20.
y−x=1, ⋯⋯①x2−xy−2y2=0. ⋯⋯②
由 ② 得:
x−2yx+y=0,x−2y=0或x+y=0.
原方程组可化为
y−x=1,x−2y=0,y−x=1,x+y=0.
解得原方程组的解为
x=−2,y=−1,x=−12,y=12.∴
原方程组的解为
x=−2,y=−1,x=−12,y=12.
21. (1) 令 y=0,则 −2x+4=0,解得 x=2,
∴ 点 A 坐标是 2,0.
令 x=0,则 y=4,
∴ 点 B 坐标是 0,4.
∴AB=OA2+OB2=22+42=25.
∵∠BAC=90∘,tan∠ABC=ACAB=12,
∴AC=12AB=5.
如图 1,过 C 点作 CD⊥x 轴于点 D,
∵∠BAO+∠ABO=90∘,∠BAO+∠CAD=90∘,
∴∠ABO=∠CAD,
∠ABO=∠CAD,∠O=∠D=90∘,
∴△OAB∽△DAC.
∴DCOA=ADOB=ACAB=12,
∵OB=4,OA=2,
∴AD=2,CD=1,
∴ 点 C 坐标是 4,1.
(2) S△ABC=12AB⋅AC=12×25×5=5.
∵2S△ABM=S△ABC,
∴S△ABM=52.
∵M1,m,
∴ 点 M 在直线 x=1 上;
令直线 x=1 与线段 AB 交于点 E,ME=m−2;
如图 2,分别过点 A,B 作直线 x=1 的垂线,垂足分别是点 F,G,
∴AF+BG=OA=2;
∴S△ABM=S△BME+S△AME=12ME⋅BG+12ME⋅AF=12MEBG+AF=12ME⋅OA=12×2×ME=52,
∴ME=52,m−2=52,m=92,
∴M1,92.
22. 设自行车的平均速度是 x 千米/时.
根据题意,列方程得
7.5x−7.5x+15=14.
解得:
x1=15,x2=−30.
经检验,x1=15 是原方程的根,且符合题意,x2=−30 不符合题意舍去.
答:自行车的平均速度是 15 千米/时.
23. (1) ∵AE 平分 ∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC.
∵∠BAC=2∠C,
∴∠BAF=∠C=∠EAC.
又 ∵BD 平分 ∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵∠BAF=∠C,∠ABD=∠DBC,
∴△ABF∽△CBD.
∴ABBC=BFBD.
∴BF⋅BC=AB⋅BD.
(2) ∵FG∥AC,
∴∠C=∠FGB,
∴∠FGB=∠FAB.
∵∠BAF=∠BGF,∠ABD=∠GBD,BF=BF,
∴△ABF≌△GBF.
∴AF=FG,BA=BG.
∵BA=BG,∠ABD=∠GBD,BD=BD,
∴△ABD≌△GBD.
∴∠BAD=∠BGD.
∵∠BAD=2∠C,
∴∠BGD=2∠C,
∴∠GDC=∠C,
∴∠GDC=∠EAC,
∴AF∥DG.
又 ∵FG∥AC,
∴ 四边形 ADGF 是平行四边形.
∵AF=FG.
∴ 四边形 ADGF 是菱形.
24. (1) 把 B1,0 和 C0,3 代入 y=ax2−2x+c 中,
得 a−2+c=0,c=3, 解得 a=−1,c=3,
∴ 抛物线的解析式是:y=−x2−2x+3,
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4,
∴ 顶点坐标 D−1,4.
(2) 令 y=0,则 −x2−2x+3=0,
解得 x1=−3,x2=1,
∴A−3,0,
∴OA=OC=3,
∴∠CAO=∠OCA,
在 Rt△BOC 中,tan∠OCB=OBOC=13,
∵AC=32+32=32,DC=−1−02+4−32=2,AD=−1−12+42=25,
∴AC2+DC2=20=AD2;
∴△ACD 是直角三角形且 ∠ACD=90∘,
∴tan∠DAC=DCAC=232=13,
又 ∵∠DAC 和 ∠OCB 都是锐角,
∴∠DAC=∠OCB,
∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA,即 ∠DAB=∠ACB.
(3) 令 Qx,y 且满足 y=−x2−2x+3,A−3,0,D−1,4,
∵△ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形,
∴QD2=QA2,即 x+32+y2=x+12+y−42,
化简得:x−2+2y=0,
由 x−2+2y=0,y=−x2−2x+3 解得 x1=−3+414,y1=11−418, x2=−3−414,y2=11+418.
∴ 点 Q 的坐标是 −3+414,11−418,−3−414,11+418.
25. (1) 在 Rt△ABC 中,AC=6,BC=8,∠ACB=90∘,
∴AB=10,
如图 1,过 E 作 EH⊥AB 于 H,
在 Rt△ABC 中,sinB=35,csB=45.
在 Rt△BEH 中,BE=BF=x,
∴EH=35x,BH=45x,
∴FH=15x,
在 Rt△EHF 中,EF2=EH2+FH2=35x2+15x2=1025x2,
∴y=105x0
∵ED=2EF,P 是 ED 的中点,EP=EF=PD.
∴∠FBE=∠EBP=∠PBD.
∵P 是 ED 的中点,BP 过圆心,
∴BG⊥ED,ED=2EG=2DG,
又 ∵∠CEA=∠DEB,
∴∠CAE=∠EBP=∠ABC,
又 ∵BE 是公共边,
∴△BEH≌△BEG.
∴EH=EG=GD=35x.
在 Rt△CEA 中,
∵AC=6,BC=8,tan∠CAE=tan∠ABC=ACBC=CEAC,
∴CE=AC⋅tan∠CAE=6×68=92,
∴BE=8−92=72,
∴ED=2EG=65x=215.
(3) 四边形 ABDC 不可能为直角梯形,
①当 CD∥AB 时,如图 3,
如果四边形 ABDC 是直角梯形,只可能 ∠ABD=∠CDB=90∘.
在 Rt△CBD 中,
∵BC=8.
∴CD=BC⋅cs∠BCD=325,BD=BC⋅sin∠BCD=245=BE.
∴CDAB=32510=1625,CEBE=14;
∴CDAB≠CEBE.
∴CD 不平行于 AB,与 CD∥AB 矛盾.
∴ 四边形 ABDC 不可能为直角梯形,
②当 AC∥BD 时,如图 4,
如果四边形 ABDC 是直角梯形,只可能 ∠ACD=∠CDB=90∘.
∵AC∥BD,∠ACB=90∘,
∴∠ACB=∠CBD=90∘.
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD>90∘.
与 ∠ACD=∠CDB=90∘ 矛盾.
∴ 四边形 ABDC 不可能为直角梯形.
即:四边形 ABDC 不可能是直角梯形.
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