2018年上海市虹口区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市虹口区中考二模数学试卷（期中），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列实数中，有理数是
A. 3B. 39C. πD. 0

2. 如果关于 x 的一元二次方程 x2−2x+k=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是
A. k<1B. k<1 且 k≠0C. k>1D. k>1 且 k≠0

3. 如果将抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=x+12D. y=x−12

4. 如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车，步行，骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是 0.4，那么步行的频率为
A. 0.4B. 0.36C. 0.3D. 0.24

5. 数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在 △AOBOA（2）分别以点 D，E 为圆心，以大于 12DE 为半径作弧，两弧交于 △AOB 内的一点 C；
（3）作射线 OC 交 AB 边于点 P．
那么小明所求作的线段 OP 是 △AOB 的
A. 一条中线B. 一条高C. 一条角平分线D. 不确定

6. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 BE，如果 AB=6，BC=4，那么分别以 AD，BE 为直径的 ⊙M 与 ⊙N 的位置关系是
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切

二、填空题（共12小题；共60分）
7. a6÷a2= ．

8. 某病毒的直径是 0.000068 毫米，这个数据用科学记数法表示为 毫米．

9. 不等式组 −x>1,2x<4 的解集是 ．

10. 方程 −x+2=x 的解为 ．

11. 已知反比例函数 y=3−ax，如果当 x>0 时，y 随自变量 x 的增大而增大，那么 a 的取值范围为 ．

12. 请写出一个图象的对称轴为 y 轴，开口向下，且经过点 1,−2 的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ．

13. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 ．

14. 在植树节当天，某校一个班的学生分成 10 个小组参加植树造林活动，如果 10 个小组植树的株数情况见如表，那么这 10 个小组植树株数的平均数是 株．
植树株数株567小组个数343

15. 如果正六边形的两条平行边间的距离是 23，那么这个正六边形的边长为 ．

16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 AC=a，BD=b，那么用向量 a，b 表示向量 AB 是 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AB=10，sinA=35，CD 为 AB 边上的中线，以点 B 为圆心，r 为半径作 ⊙B．如果 ⊙B 与中线 CD 有且只有一个公共点，那么 ⊙B 的半径 r 的取值范围为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC=8，tanB=32，点 D 是 AB 的中点，如果把 △BCD 沿直线 CD 翻折，使得点 B 落在同一平面内的 Bʹ 处，连接 ABʹ，那么 ABʹ 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：a−1−3a+1÷a2−4a+4a+1，其中 a=3．

20. 解方程组：x2−4xy+4y2=4, ⋯⋯①x+2y=6. ⋯⋯②

21. 如图，在 △ABC 中，sinB=45，点 F 在 BC 上，AB=AF=5，过点 F 作 EF⊥CB 交 AC 于点 E，且 AE:EC=3:5，求 BF 的长与 sinC 的值．

22. 甲、乙两车需运输一批货物到 600 公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多 10 千米，这样甲车将比乙车早到 2 小时．实际甲车以原计划的速度行驶了 4 小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．
（1）求甲车原计划的速度；
（2）如图是甲车行驶的路程 y（千米）与时间 x（小时）的不完整函数图象，那么点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，4 小时后的 y 与 x 的函数关系式为 （不要求写定义域）．

23. 如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是对角线 AC 上的一点，EB=ED 且 ∠ABE=∠ADE．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）延长 DE 交 BC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G，求证：EF⋅AG=BC⋅BE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2x+c 与直线 y=−12x+3 分别交于 x 轴、 y 轴上的 B，C 两点，抛物线的顶点为点 D，连接 CD 交 x 轴于点 E．
（1）求抛物线的解析式以及点 D 的坐标；
（2）求 tan∠BCD；
（3）点 P 在直线 BC 上，若 ∠PEB=∠BCD，求点 P 的坐标．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90∘，DC=5，以 CD 为半径的 ⊙C 与以 AB 为半径的 ⊙B 相交于点 E，F，且点 E 在 BD 上，连接 EF 交 BC 于点 G．
（1）设 BC 与 ⊙C 相交于点 M，当 BM=AD 时，求 ⊙B 的半径；
（2）设 BC=x，EF=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当 BC=10 时，点 P 为平面内一点，若 ⊙P 与 ⊙C 相交于点 D，E，且以 A，E，P，D 为顶点的四边形是梯形，请直接写出 ⊙P 的面积．（结果保留 π）
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. B
5. C
6. B【解析】如图所示：连接 MN，
可得 M 是 AD 的中点，N 是 BE 的中点，
则 MN 是梯形 ABED 的中位线，
则 MN=12AB+DE=4.5，
∵EC=3，BC=AD=4，
∴BE=5，
则 ⊙N 的半径为 2.5，⊙M 的半径为 2，
则 2+2.5=4.5．
故 ⊙M 与 ⊙N 的位置关系是：外切．
第二部分
7. a4
8. 6.8×10−5
9. x<−1
10. x=1
11. a>3
12. y=−x2−1 等（答案不唯一）
13. 12
14. 6
15. 2
16. 12a−12b
17. 518. 255
【解析】如图，作 AE⊥BC 于 E，DK⊥BC 于 K，连接 BBʹ 交 CD 于 H．
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=4，
在 Rt△ABE 中，
∵tanB=32=AEBE，
∴AE=6，AB=42+62=213，
∵DK∥AE，BD=AD，
∴BK=EK=2，
∴DK=12AE=3，
在 Rt△CDK 中，CD=32+62=35，
∵B，Bʹ 关于 CD 对称，
∴BBʹ⊥CD，BH=HBʹ，
∵S△BDC=12⋅BC⋅DK=12⋅CD⋅BH，
∴BH=855，
∴BBʹ=1655，
∵BD=AD=DBʹ，
∴∠ABʹB=90∘，
∴ABʹ=AB2−BBʹ2=255．
第三部分
19. 原式=a2−1−3a+1⋅a+1a2−4a+4=a+2a−2a+1⋅a+1a−22=a+2a−2,
当 a=3 时，
原式=3+23−2=−7−43.
20. 由 ① 得，
x−2y=2或x−2y=−2.
将它们与方程 ② 分别组成方程组，得：
x−2y=2,x+2y=6,x−2y=−2,x+2y=6.
解 x−2y=2,x+2y=6 得
x1=4,y1=1;
解 x−2y=−2,x+2y=6 得
x2=2,y2=2.
所以原方程组的解为：
x1=4,y1=1,x2=2,y2=2.
21. 过点 A 作 AD⊥CB，垂足为点 D，
∵sinB=45，
∴csB=35，
在 Rt△ABD 中，BD=AB⋅csB=5×35=3，
∵AB=AF，AD⊥CB，
∴BF=2BD=6，
∵EF⊥CB，AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴DFCF=AEEC，
∵AE:EC=3:5，DF=BD=3，
∴CF=5，
∴CD=8，
在 Rt△ABD 中，AD=AB⋅sinB=5×45=4，
在 Rt△ACD 中，AC=AD2+CD2=45，
∴sinC=ADAC=55．
22. （1） 设甲车原计划的速度为 x 千米/小时，
由题意得
600x−10−600x=2.
解得
x1=−50,x2=60.
经检验，x1=−50，x2=60 都是原方程的解，但 x1=−50 不符合题意，舍去．
∴x=60，
答：甲车原计划的速度为 60 千米/小时．
（2） 4,240；12,600；y=45x+60
【解析】4×60=240，
∴ 点 A 的坐标为 4,240；点 B 的坐标为 12,600；
4 小时后的 y 与 x 的函数关系式为 y=45x+60．
23. （1） 连接 BD．
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ 四边形 ABCD 是正方形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴EFDE=ECEA，同理 DCAG=ECEA，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=DC，
∵DE=BE，
∴EFBE=BCAG，
∴EF⋅AG=BC⋅BE．
24. （1） 由题意得 B6,0，C0,3，
把 B6,0，C0,3 代入 y=ax2−2x+c，
得 0=36a−12+c,3=c, 解得：a=14,c=3,
∴ 抛物线的解析式为：y=14x2−2x+3=14x2−8x+3=14x−42−1，
∴D4,−1．
（2） 可得点 E3,0，OE=OC=3，∠OEC=45∘，
过点 B 作 BF⊥CD，垂足为点 F，
在 Rt△OEC 中，EC=OEcs∠CEO=32，
在 Rt△BEF 中，BF=BE⋅sin∠BEF=322，
同理，EF=322，
∴CF=32+322=922，
在 Rt△CBF 中，tan∠BCD=BFCF=13．
（3） 设点 Pm,−12m+3，
∵∠PEB=∠BCD，
∴tan∠PEB=tan∠BCD=13，
①点 P 在 x 轴上方，
∴−12m+3m−3=13，解得：m=245，
∴ 点 P245,35；
②点 P 在 x 轴下方，
∴12m−3m−3=13，解得：m=12，
∴ 点 P12,−3．
综上所述，点 P245,35或12,−3．
25. （1） 如图 1 中，连接 DM．
在 Rt△DCM 中，DM=DC2+CM2=52，
∵AD∥BC，BM=AD，
∴ 四边形 ABMD 为平行四边形，
∴AB=DM=52，
即 ⊙B 的半径为 52．
（2） 如图 2 中，过点 C 作 CH⊥BD，垂足为点 H．
在 Rt△BCD 中，BD=BC2+CD2=x2+25，∴sin∠DBC=5x2+25，
可得 ∠DCH=∠DBC，
∴sin∠DCH=5x2+25，
在 Rt△DCH 中，DH=DC⋅sin∠DCH=25x2+25，
∵CH⊥BD，
∴DE=2DH=50x2+25，
∴BE=x2+25−50x2+25=x2−25x2+25，
∵⊙C 与 ⊙B 相交于点 E，F，
∴EF=2EG，BC⊥EF，
在 Rt△EBG 中，EG=BE⋅sin∠DBC=5x2−125x2+25，
∴y=10x2−250x2+25x>53．
（3） ①如图 3 中，当 PE∥AD 时，设 PC 交 DE 于 H，
则 CH 垂直平分线段 DE．
在 Rt△BCD 中，BD=BC2+CD2=55，CH=BC⋅CDBD=25，DH=CD2−CH2=5，
∴EH=DH=5，
∵AD∥BC，PE∥AD，
∴PE∥BC，
∴∠HEP=∠HBC，
∴cs∠HEP=cs∠CBD，
∴EHPE=BCBD，
∴5PE=1055，
∴PE=52，
∴⊙P 的面积为 254π．
②如图 4 中，当 AP∥DE 时，作 AT⊥BC 于 T，设 AD 交 PC 于 Q，BD 交 PC 于 H．
由①可知：DE=25，BE=BA=35，AT=CD=5，
在 Rt△ABT 中，BT=AB2−AT2=25，
∴AD=CT=10−25，
由 △DQH∽△BDC，可得 DQ=52，QH=52，
∴AQ=AD−DQ=152−25，
由 △APQ∽△DHQ，可得 PQ=352−2，
在 Rt△PDH 中，PD2=DH2+PH2=29−85，
∴⊙P 的面积为 29−85π．
③如图 5 中，当 DP∥AE 时，作 AR⊥BD 于 R．
由 △ADR∽△DBC，
∴ADBD=ARDC=DRBC，
∴AR=25−2，DR=45−4，
∴ER=DR−DE=25−4，
在 Rt△ARE 中，AE=AR2+RE2=60−245，
∵AE∥DP，
∴∠AER=∠PDQ，
∴cs∠AER=cs∠PDH，
∴REAE=DHPD，
∴PD=300−120525−4，
∴⊙P 的面积为 75+305π．