2018年上海市金山区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市金山区中考二模数学试卷（期中），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中，相反数等于本身的数是
A. −1B. 0C. 1D. 2

2. 单项式 2a3b 的次数是
A. 2B. 3C. 4D. 5

3. 如果将抛物线 y=−2x2 向上平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. y=−2x+12B. y=−2x−12
C. y=−2x2−1D. y=−2x2+1

4. 如果一组数据 1，2，x，5，6 的众数为 6，则这组数据的中位数为
A. 1B. 2C. 5D. 6

5. 如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，设 AB=a，AD=b，那么向量 AE 用向量 a，b 表示为
A. a+12bB. a−12bC. −a+12bD. −a−12b

6. 如图，∠AOB=45∘，OC 是 ∠AOB 的角平分线，PM⊥OB，垂足为点 M，PN∥OB，PN 与 OA 相交于点 N，那么 PMPN 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 33

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：a2−a= ．

8. 函数 y=x−2 的定义域是 ．

9. 方程 xx−1=2 的解是 ．

10. 函数 y=−x+2 的图象不经过第 象限．

11. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有 1 点、 2 点、 ⋯ 、 6 点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是素数的概率是 ．

12. 若关于 x 的一元二次方程 x2−4x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围为 ．

13. 如果梯形的中位线长为 6，一条底边长为 8，那么另一条底边长等于 ．

14. 空气质量指数，简称AQI，如果AQI在 0∼50 空气质量类别为优，在 51∼100 空气质量类别为良，在 101∼150 空气质量类别为轻度污染，按照某市最近一段时间的AQI画出的频数分布直方图如图所示．已知每天的AQI都是整数，那么空气质量类别为优和良的天数占总天数的百分比为 %．

15. 一辆汽车在坡度为 1:2.4 的斜坡上向上行驶 130 米，那么这辆汽车的高度上升了 米．

16. 如果一个正多边形的中心角等于 30∘，那么这个正多边形的边数是 ．

17. 如果两圆的半径之比为 3:2，当这两圆内切时圆心距为 3，那么当这两圆相交时，圆心距 d 的取值范围是 ．

18. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，D 是 AB 的中点，P 是直线 BC 上一点，把 △BDP 沿 PD 所在的直线翻折后，点 B 落在点 Q 处，如果 QD⊥BC，那么点 P 和点 B 间的距离等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：∣tan45∘−2sin60∘∣+1212−12−2．

20. 解方程组：x+y=4,x2−xy=8.

21. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为 F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如果 BE:EC=2:1，求 ∠CDF 的余切值．

22. 九年级学生到距离学校 6 千米的百花公园去春游，一部分学生步行前往，20 分钟后另一部分学生骑自行车前往，设 x（分钟）为步行前往的学生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为 y1 千米，骑自行车学生骑行的路程为 y2 千米，y1，y2 关于 x 的函数图象如图所示．
（1）求 y2 关于 x 的函数解析式；
（2）步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟?

23. 如图，已知 AD 是 △ABC 的中线，M 是 AD 的中点，过 A 点作 AE∥BC，CM 的延长线与 AE 相交于点 E，与 AB 相交于点 F．
（1）求证：四边形 AEBD 是平行四边形；
（2）如果 AC=3AF，求证四边形 AEBD 是矩形．

24. 平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A1,0 和 B3,0，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标；
（2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC，求点 E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线上，∠MEQ=∠NEB，求点 Q 的坐标．

25. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=AD=5，sinB=35，P 是线段 BC 上一点，以 P 为圆心，PA 为半径的 ⊙P 与射线 AD 的另一个交点为 Q，射线 PQ 与射线 CD 相交于点 E，设 BP=x．
（1）求证：△ABP∽△ECP；
（2）如果点 Q 在线段 AD 上（与点 A，D 不重合），设 △APQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果 △QED 与 △QAP 相似，求 BP 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. C
5. A
6. B
第二部分
7. aa−1
8. x≥2
9. x=2
10. 三
11. 12
12. m<4
13. 4
14. 80
15. 50
16. 12
17. 318. 2.5 或 10
【解析】在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，AB=62+82=10，
由折叠的性质可得 QD=BD，QP=BP，
又 ∵QD⊥BC，
∴DQ∥AC，
∵D 是 AB 的中点，
∴DE=12AC=3，BD=12AB=5，BE=12BC=4，
①当点 P 在 DE 右侧时，
∴QE=5−3=2，
在 Rt△QEP 中，QP2=4−BP2+QE2，
即 QP2=4−QP2+22，解得 QP=2.5，则 BP=2.5．
②当点 P 在 DE 左侧时，同①知，BP=10．
第三部分
19. 原式=∣1−3∣+23−4=3−1+23−4=−5+33.
20.
x+y=4, ⋯⋯①x2−xy=8. ⋯⋯②
由 ① 得，
y=4−x. ⋯⋯③
把 ③ 代入 ②，得
x2−x4−x=8.
整理，得
x2−2x−4=0.
解得：
x1=1+5,x2=1−5.
把 x=1+5 代入 ③，得
y1=4−1+5=3−5;
把 x=1−5 代入 ③，得
y2=4−1−5=3+5;
所以原方程组的解为：
x1=1+5,y1=3−5,x2=1−5,y2=3+5.
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=AE，∠DAF=∠AEB，
在 △ABE 和 △DFA 中，
∠DAF=∠AEB,∠AFD=∠EBA,AD=AE,
∴△ABE≌△DFA，
∴AF=BE．
（2） ∵△ABE≌△DFA，
∴AD=AE，∠DAF=∠AEB，
设 CE=k，
∵BE:EC=2:1，
∴BE=2k，
∴AD=AE=3k，
∴AB=AE2−BE2=5k，
∵∠ADF+∠CDF=90∘，∠ADF+∠DAF=90∘，
∴∠CDF=∠DAE，
∴∠CDF=∠AEB，
∴ct∠CDF=ct∠AEB=BEAB=2k5k=255．
22. （1） 设 y2 关于 x 的函数解析式是 y2=kx+b，
20k+b=0,40k+b=4, 得 k=0.2,b=−4,
即 y2 关于 x 的函数解析式是 y2=0.2x−4．
（2） 由图象可知，步行的学生的速度为：4÷40=0.1（千米/分钟），
∴ 步行同学到达百花公园的时间为：6÷0.1=60（分钟），
当 y2=6 时，6=0.2x−4，得 x=50，60−50=10，
答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了 10 分钟．
23. （1） ∵M 是 AD 的中点，
∴AM=DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠DCM，
又 ∵∠AME=∠DMC，
∴△AEM≌△DCM，
∴AE=CD，
又 ∵AD 是 △ABC 的中线，
∴AE=CD=BD，
又 ∵AE∥BD，
∴ 四边形 AEBD 是平行四边形．
（2） ∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴AFBF=AEBC=12，即 BF=2AF，
∴AB=3AF，
又 ∵AC=3AF，
∴AB=AC，
又 ∵AD 是 △ABC 的中线，
∴AD⊥BC，
又 ∵ 四边形 AEBD 是平行四边形，
∴ 四边形 AEBD 是矩形．
24. （1） 抛物线解析式为 y=x−1x−3，
即 y=x2−4x+3，
∵y=x−22−1，
∴ 顶点 P 的坐标为 2,−1．
（2） 抛物线的对称轴为直线 x=2，设 E2,t，
∵EA=EC，
∴2−12+t2=22+t−32，解得 t=2，
∴E 点坐标为 2,2．
（3） 直线 x=2 交 x 轴于 F，作 QH⊥ 直线 x=2 于 H，如图.
∵∠HEQ=∠FEB，
而 tan∠FEB=BFEF=12，
∴tan∠HEQ=12，
设 Qm,m2−4m+3，则 HE=m2−4m+3−2=m2−4m+1，QH=m−2，
在 Rt△QHE 中，tan∠HEQ=QHHE=12，
∴m2−4m+1=2m−2，
整理得 m2−6m+5=0，
解得 m1=1（舍去），m2=5，
∴Q 点的坐标为 5,8．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB，∠PQA=∠EPC，
∴∠APB=∠EPC，
∴△ABP∽△ECP．
（2） 作 AM⊥BC 于 M，PN⊥AD 于 N．
则四边形 AMPN 是矩形．
在 Rt△ABM 中，
∵sinB=AMAB=35，AB=5，
∴AM=3，BM=4，
∴PM=AN=x−4，AM=PN=3，
∵PA=PQ，PN⊥AQ，
∴AQ=2AN=2x−4，
∴y=12⋅AQ⋅PN=3x−124 （3） ∵DQ∥PC，
∴△EDQ∽△ECP，
∵△ABP∽△ECP，
∴△EDQ∽△ABP，
∴△ABP 相似 △AQP 时，△QED 与 △QAP 相似，
∵PQ=PA，∠APB=∠PAQ，
∴ 当 BA=BP 时，△BAP∽△PAQ，此时 BP=AB=5，
当 AB=AP 时，△APB∽△PAQ，此时 PB=2BM=8，
综上所述，当 PB=5或8 时，△QED 与 △QAP 相似．