2018年上海市杨浦区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年上海市杨浦区中考二模数学试卷（期中），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中是无理数的是
A. cs60∘B. 1.3
C. 半径为 1 cm 的圆周长D. 38

2. 下列运算正确的是
A. m⋅m=2mB. m23=m6C. mn3=mn3D. m6÷m2=m3

3. 若 3x>−3y，则下列不等式中一定成立的是
A. x+y>0B. x−y>0C. x+y<0D. x−y<0

4. 某校 120 名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示．其中阅读时间是 8∼10 小时的组频数和组频率分别是
A. 15 和 0.125B. 15 和 0.25C. 30 和 0.125D. 30 和 0.25

5. 下列图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，半径为 1 的圆 O1 与半径为 3 的圆 O2 相内切，如果半径为 2 的圆与圆 O1 和圆 O2 都相切，那么这样的圆的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：aa+b−ba+b= ．

8. 当 a<0，b>0 时，化简：a2b= ．

9. 函数 y=11−x+x+2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

10. 如果反比例函数 y=kx 的图象经过点 A2,y1 与 B3,y2，那么 y1y2 的值等于 ．

11. 三人中有两人性别相同的概率是 ．

12. 25 位同学 10 秒钟跳绳的成绩汇总如表：
人数1234510次数15825101720
那么跳绳次数的中位数是 ．

13. 李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时 15 分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟 250 米，推车步行的平均速度是每分钟 80 米，他家离学校的路程是 2900 米，设他推车步行的时间为 x 分钟，那么可列出的方程是 ．

14. 四边形 ABCD 中，向量 AB+BC+CD= ．

15. 若正 n 边形的每个内角度数为 140∘，则边数 n 为 ．

16. 如图，△ABC 中，∠A=80∘，∠B=40∘，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC．如果 AD=2，BD=6，那么 △ADC 的周长为 ．

17. 如图，正 △ABC 的边长为 2，点 A，B 在半径为 2 的圆上，点 C 在圆内，将正 △ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ．

18. 当关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍时，称之为“倍根方程”．如果关于 x 的一元二次方程 x2+m−2x−2m=0 是“倍根方程”，那么 m 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：x−3x2−1÷x2−2x−3x2+2x+1+1x−1，x=2+1．

20. 解方程组：2x2−y=3,x2−y2=2x+y.

21. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD=BC，BD 平分 ∠ABC，∠A=60∘．求：
（1）求 ∠CDB 的度数；
（2）当 AD=2 时，求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积．

22. 已知 A，B，C 三地在同一条路上，A 地在 B 地的正南方 3 千米处，甲、乙两人分别从 A，B 两地向正北方向的目的地 C 匀速直行，他们分别和 A 地的距离 s（千米）与所用的时间 t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段 l1 是 （填“甲”或“乙”）的函数图象，C 地在 B 地的正北方向 千米处；
（2）谁先到达 C 地?并求出甲乙两人到达 C 地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚 1 小时到达 C 地，求他提速后的速度．

23. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 G 为对角线 AC 的中点，过点 G 的直线 EF 分别交边 AB，CD 于点 E，F，过点 G 的直线 MN 分别交边 AD，BC 于点 M，N，且 ∠AGE=∠CGN．
（1）求证：四边形 ENFM 为平行四边形；
（2）当四边形 ENFM 为矩形时，求证：BE=BN．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，直线 y=x+4 经过点 A，C，点 P 为抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当 CP∥AO 时，求 ∠PAC 的正切值；
（3）当以 AP，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点 P 的坐标．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点 P 为边 BC 上一动点，过点 P 作 PH⊥DC，垂足点 H 在边 DC 上，以点 P 为圆心 PH 为半径画圆，交射线 PB 于点 E．
（1）当圆 P 过点 A 时，求圆 P 的半径；
（2）分别连接 EH 和 EA，当 △ABE 相似于 △CEH 时，以点 B 为圆心，r 为半径的圆 B 与圆 P 相交，试求圆 B 的半径 r 的取值范围；
（3）将劣弧 EH 沿直线 EH 翻折交 BC 于点 F，试通过计算说明线段 EH 和 EF 的比值为定值，并求出此定值．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. A
4. D
5. B
6. C
第二部分
7. a2−b2
8. −ab
9. x≥−2 且 x≠1
10. 32
11. 1
12. 20
13. 80x+25015−x=2900
14. AD
15. 9
16. 14
17. 33
18. −1 或 −4
第三部分
19. 原式=x−3x+1x−1⋅x+12x−3x+1+1x−1=1x−1+1x−1=2x−1.
当 x=2+1 时，
原式=22=2.
20. 由（2）得，
x+y=0,x−y=2.
则原方程组转化为
2x2−y=3,x+y=0 ⋯⋯①或2x2−y=3,x−y=2. ⋯⋯②
解 ① 得
x1=1,y1=−1;x2=−32,y2=32.
解 ② 得
x3=1,y3=−1;x4=−12,y4=−52.∴
原方程组的解是
x1=1,y1=−1;x2=−32,y2=32;x3=−12,y3=−52.
21. （1） ∵ 在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD=BC，∠A=60∘，
∴∠CBA=∠A=60∘．
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=12∠CBA=30∘．
（2） 在 △ACD 中，
∵∠ADB=180∘−∠A−∠ABD=90∘．
∴BD=AD⋅tanA=2tan60∘=23．
过点 D 作 DH⊥AB，垂足为点 H，
∴DH=AD⋅sinA=2sin60∘=3．
∵∠CDB=∠CBD=12∠CBD=30∘，
∴DC=BC=AD=2．
∵AB=2AD=4，
∴S梯形ABCD=12AB+CD⋅DH=124+23=33．
22. （1） 乙；3
（2） 甲先到达．
设甲的函数解析式为 s=kt，则有 4=t，即 s=4t．
当 s=6 时，t=32．
设乙的函数解析式为 s=nt+3，则有 4=n+3，即 n=1．
所以乙的函数解析式为 s=t+3．
当 s=6 时，t=3．
所以到达目的地的时间差为 32 小时．
（3） 设提速后的速度为 v 千米/小时，
因为相遇处距离 A 地 4 千米，所以相遇后行 2 千米．
又因为原相遇后行 2 小时，所以提速后 2 千米应行 1.5 小时．
即 32v=2，所以 v=43，
答：速度慢的人提速后的速度为 43 千米/小时．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAG=∠FCG，
∵ 点 G 为对角线 AC 的中点，
∴AG=GC．
∵∠AGE=∠FGC，
∴△EAG≌△FCGASA．
∴EG=FG．
同理 MG=NG．
∴ 四边形 ENFM 为平行四边形．
（2） ∵ 四边形 ENFM 为矩形，
∴EF=MN，且 EG=12EF，GN=12MN，
∴EG=NG，
∴∠1=∠2．
∵∠1+∠2+∠3=180∘，∠AGE+∠CGN+∠3=180∘，∠AGE=∠CGN，
∴2∠1=2∠AGE，即 ∠1=∠AGE，
∴EN∥AC．
∵EG=NG，
又 ∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，
∴△EAG≌△NCGSAS．
∴∠BAC=∠ACB，AE=CN，
∴AB=BC，
∴BE=BN．
24. （1） ∵ 直线 y=x+4 经过点 A，C，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，
∴A 点坐标是 −4,0，点 C 坐标是 0,4，
又 ∵ 抛物线过 A，C 两点，
∴−12×−42−4b+c=0,c=4.
解得 b=−1,c=4.
∴ 抛物线的表达式为 y=−12x2−x+4．
（2） 过点 P 作 PH⊥AC 于点 H，
∵y=−12x2−x+4 对称轴为直线 x=−1，
又 ∵ 点 C，P 在抛物线上，CP∥AO，C0,4，
∴P−2,4，
∴PC=2，
∵AC⋅PH=PC⋅CO，
∴PH=2，
∵A−4,0，C0,4，
∴∠CAO=45∘，
∵CP∥AO，
∴∠ACP=∠CAO=45∘，
∵PH⊥AC，
∴CH=PH=2，
∴AH=42−2=32，
∴tan∠PAC=PHAH=13．
（3） ∵y=−12x2−x+4 对称轴为直线 x=−1，
∵ 以 AP，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点 Q 恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，且 PQ=AO=4．
∵P，Q 都在抛物线上，
∴P，Q 关于直线 x=−1 对称，
∴P 点的横坐标是 −3，
∵ 当 x=−3 时，y=−12⋅−32−−3+4=52，
∴P 点的坐标是 −3,52．
25. （1） 过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，连接 AP，
由题意可求得 AM=3，BM=4，tanB=tanC=34．
∵PH⊥DC，
∴ 设 PH=3k，HC=4k，CP=5k．
∵BC=9，
∴MP=5−5k．
∴AP2=AM2+MP2=9+5−5k2．
∵ 圆 P 过点 A，且圆 P 的半径 =PH=3k，
∴AP=PH．
∴9+5−5k2=9k2，即 16k2−50k+34=0，
解得 k1=1，k2=178．
当 k2=178 时，CP=5k=858>9，
∴k2=178 舍去，
∴k=1，
∴ 圆 P 的半径长为 3．
（2） ∵PH⊥DC，
∴ 设 PH=3k，HC=4k，CP=5k．
∵ 点 E 在圆 P 上，
∴PE=3k，CE=8k．
∴BE=9−8k．
∵△ABE∽△CEH，∠B=∠C，
∴ABBE=CHCE 或 ABBE=CECH，
即 59−8k=4k8k 或 59−8k=8k4k．
解得 k=−18（舍）或 k=1316，
∴PH=3916．即圆 P 的半径为 3916．
∵ 圆 B 与圆 P 相交，又 BE=9−8k=52，
∴52 （3） 在圆 P 上取点 F 关于 EH 对称的点 G，连接 EG，过点 P 作 PQ⊥EG 于点 G，过点 P HN⊥BC 于点 N，
则 EG=EF，∠1=∠3．
∴∠GEP=2∠1，
∵PE=PH，
∴∠1=∠2．
∴∠4=2∠1．
∴∠GEP=∠4．
∴△EPQ≌△PHNAAS．
∴EQ=PN．
∵P 为圆心，PQ⊥EG，
∴EQ=QG，
∴EF=EG=2EQ．
∵PH=3k，HC=4k，tanC=34，
∴NC=4k⋅45=16k5，NH=4k⋅35=12k5．
∴PN=5k−16k5=95k．
∴EF=EG=2EQ=2PN=185k，EH=HN2+EN2=12k52+3k+95k2=125k2+245k2=1255k，
∴EHEF=1255k185k=235，
即线段 EH 和 EF 的比值为定值．