专题02函数（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                          专题02　函数

1.（2020·全国月考）

若，，，则，，的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，，，

所以．

故选：A

2.（2020秋•浙江期中）

幂函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＝bx+a+1（b＞1）过定点（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（﹣3，1） D．（﹣3，2）

【解答】解：∵f（x）＝（a2﹣2a﹣2）xa是幂函数，

∴a2﹣2a﹣2＝1，解得：a＝3或a＝﹣1，

a＝3时：f（x）＝x3在（0，+∞）上单调递增，

a＝﹣1时：f（x）＝在（0，+∞）上单调递减，

故a＝3，

此时：g（x）＝bx+3+1，x＝﹣3时，g（﹣3）＝2，

故g（x）过（﹣3，2），

故选：D．

3.（2020·固原市五原中学期中）

若，则=（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】D

【解析】

令，因为，则，

令，则，

所以，

所以=，

故选：D

4.（2020·徐州市铜山区大许中学月考）

为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%, 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1 亿元的年份是（    ）（参考数据； lgl.2≈0.08,lg5≈0.70)

A．2030 年 B．2029年 C．2028年 D．2027 年

【答案】B

【解析】设经过年后，投入资金为万元，则.

由题意有，即，则，所以，因为，所以，即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元，

故选：B．

5.（2020·云南曲靖一中其他）

已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

函数的定义域为，且，所以为偶函数.

又当时, 是增函数，

任取，且，

，，

所以在上是增函数，即在上是增函数.

所以不等式对任意恒成立，转化为，即，从而转化为和在上恒成立

①若在上恒成立，则，解得；

②若在上恒成立，，则，解得；

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

6.（2020·云南曲靖一中其他）

设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

对数函数为上的减函数，则，即.

又对数函数为上的增函数，则，即，

由换底公式得，，，

，即，即，

故选：B.

7.（2020·贵港市高级中学期中（理））

已知函数，函数，对时，总使得，则的取值范围是（   ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】D

【解析】由已知得：函数，在上的值域为，所以，解得.

故选：D．

8. （2020春•湖北期末）

有四个幂函数：①f（x）＝x﹣2；②f（x）＝x﹣1； ③f（x）＝x3；④f（x）＝．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（　　）

A．④ B．③ C．② D．①

【解答】解：对于①，f（x）＝x﹣2，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足条件；

对于②，f（x）＝x﹣1，是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足条件；

对于③，f（x）＝x3，是定义域R上的奇函数，值域是R，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，不满足条件；

对于④，f（x）＝，是定义域R上的奇函数，值域是R，且在（﹣∞，0）上是单调增函数，不满足条件．

故选：D．

9.（2020·湖南月考）

已知定义在上的函数，都有，且函数是奇函数，若，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【解析】

因为函数是奇函数，所以，

又，所以，

所以，

所以函数的周期为2，所以.

因为，

所以，所以.

故选：D

10.（2020·湖北黄石·月考）

已知函数，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意得：，

当时，，不成立；

当时，，即，

解得或，

所以.

当时，，即，无解

综上：.

所以的取值范围是

故选：A

11.（2020·海南期中）

已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减且，

所以，且在上单调递减

又，所以，

而，

所以，

所以.

故选：A.

12.（2020·四川成都·月考）

已知函数，若且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由图像可知，，由，则，由，则，由，则

故选：A.

13.（2020·云南昆明一中月考（理））

记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由解得，即，

令，

则，

则是R上的奇函数；

又显然恒成立，

所以是增函数；
由得，

即，即，

由是R上的奇函数且为增的函数，

所以得：.

所以，
当时，.所以.

故选：A.

14.（2020·福建厦门一中月考）

函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

，，

函数为非奇非偶函数，可排除B,D，

当且时，，，

即，故排除A，

故选：C.

15.（2020·广东中山纪念中学月考）

已知函数，若,且 ，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

作出函数的图象，如图所示，若，且，

则当时，得，即，

则满足，

则，即，则，

设，则，

当，解得，当，解得，

当时，函数取得最小值，

当时，；

当时，，

所以，即的取值范围是，故选A.

16. （2020秋•山阳区校级月考）

函数f（x）＝|log3x|﹣3﹣x有两个不同的零点x1，x2，则（　　）

A．x1x2＝1 

B．x1x2＜1 

C．x1x2＞1 

D．x1x2与1的大小无法确定

【解答】解：作出y＝|log3x|和y＝3﹣x的函数图象，则两图象的交点横坐标为f（x）的零点x1，x2，

不妨设x1＜x2，则x1＜1＜x2，

由于y＝3﹣x是减函数，故3＞3，即|log3x1|＞|log3x2|，

∴﹣log3x1＞log3x2，即log3x1+log3x2＜0，log3x1x2＜0，

∴0＜x1x2＜1．

故选：B．

17.（2020·天津南开中学月考）

已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，

由方程可化为，

解得或，

画出函数的图象，如图所示，

要使得关于的方程有5个不同的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A

18.（2020·湖北高三月考）

函数，若，则a的取值范围是___________．

【解析】

因为，

当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递增．

因为，所以在上单调递增，

因为，所以只需，解得．

故答案为：.

19.（2020·内蒙古赤峰·月考）

已知函数满足，且是奇函数，有以下四个说法：

①是奇函数；

②是周期函数；

③；

④是奇函数.

则上述说法正确的是______.

【解析】

函数非奇非偶，故①错误；由可知关于点对称，由是奇函数可知关于点对称，所以是周期函数，故②正确；令，得，故③正确；因为关于点对称，将向左平移1个单位长度，即关于点对称，所以是奇函数，故④正确.

20.（2020·凌海市第二高级中学月考）

是定义在上的奇函数，满足，若，则__________.

【解析】

是定义在上的奇函数，满足，

，

是以4为周期的函数，

，，，，

.

故答案为：0.

21.（2020·甘肃武威·高三月考（理））

设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，有下列命题：①2是函数的周期；②函数在上是增函数；③函数的最大值是1，最小值是0；④直线是函数图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________.

【解析】

用换中的，得，所以是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数是定义在上的偶函数且时，，

作出函数的部分图象如图所示

由图知，函数在上是增函数，故②正确；函数的最大值是1，最小值是，

故③错误；直线是函数图象的一条对称轴，故④正确.

故答案为：①②④

22.（2020·河南月考）

若函数在定义域内存在非零实数，使得，则称函数为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______.

①；②；③；④.

【解析】

对于①，的定义域为，由，得，平方得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”；

对于②，的定义域为，由，得，即，解得，则是“壹函数”；

对于③，的定义域为，由，得，可得，即，解得，则是“壹函数”；

对于④，的定义域为，由，得，解得，不是非零实数，则不是“壹函数”.

故答案为：②③.

23.（2020·江苏期中）

中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【解析】

（1）当时，；

当时，；

；

（2）若，，

当时，万元 ；

若，，

当且仅当即时，万元 .

答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.

24.（2020·天津经济技术开发区第二中学期中）

已知定义在R上的函数，满足对任意的实数，总有，若时，且.

（1）求的值；

（2）求证在定义域R上单调递减；

（3）若时，求实数的取值范围.

【解析】

（1）令，则，所以，

令，则，

所以；

（2）证明：任取，，设，

则，

因为，所以，，

所以即，

所以在定义域R上单调递减；

（3）由题意，，，

所以原不等式可化为即，

令，则，所以，

令，则，

所以，

又函数在定义域R上单调递减，所以.