专题9解析几何（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

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高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)
专题09　解析几何
1．（2020秋•江油市校级期中）
已知l为抛物线y2＝8x的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点A的坐标为（1，4），则|AM|+d的最小值是（　　）
A． B．4 C．2 D．1+
【答案】A
【解答】解：设抛物线的焦点为F，则F（2，0），
由抛物线定义可得：d＝|MF|，
则|AM|+d＝|AM|+|MF|，
由两点间的距离最短可得：|AM|+|MF|≥|AM|＝＝，
所以|AM|+d的最小值为，
故选：A．
2.（2020秋•惠山区校级期中）
若直线l过抛物线y2＝8x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝16，则线段AB的中点P到y轴的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p＝16，
y2＝8x，可知p＝4，
∴＝6，
线段AB的中点P到y轴的距离为：6．
故选：A．
3． （2021•银川模拟）
已知椭圆C：+y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2上顶点为B，双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足＝λ（λ＞0），||＝2，则双曲线E离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由椭圆方程可得，A1（﹣，0），B（0，1），
由双曲线E（a＞0，b＞0）的左顶点与椭圆C的左顶点重合，得．
在△A1A2P中，，易知，∠PA1A2＝30°，
由余弦定理可得：28＝，解得|PA1|＝8．
求得|BA1|＝2，∴，设P（x0，y0），
则，得，
解得P（3，4），代入双曲线方程，可得b2＝2．
从而c2＝5，c＝．
∴双曲线E离心率为．
故选：D．

4.（2021•内蒙古模拟）
已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据条件可得F（﹣2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），
因为|FQ|＝t|QP|，
则（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），
所以x2＝，y2＝，
又因为P、Q都在双曲线上，
所以，整理可得x1＝，
易知x1≥，所以≥，
又t＞0，所以0＜t≤，
即实数t的取值范围是（0，），
故选：A．
5.（2020秋•江油市校级期中）
已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．x2﹣＝1 D．y2﹣＝1
【答案】A
【解答】解：抛物线线y2＝8x 的焦点坐标为（2，0），
∵双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，
∴c＝2，
∵双曲线的离心率等于，
∴＝＝，则a＝，b2＝c2﹣a2＝4﹣2＝2，
所求的双曲线方程为：﹣＝1．
故选：A．
6.（2020秋•让胡路区校级期中）
设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则离心率e＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，双曲线C：，可知a＝1，
设|PF2|＝m，|PF1|＝n，可得|m﹣n|＝2，mn＝4，m2+n2＝4c2，
解得c2＝5，e＝＝，
故选：C．
7.（2020秋•涪城区校级期中）
已知方程+＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，3） C．（﹣1，） D．（﹣1，3）
【答案】D
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，
当焦点在x轴上时，方程+＝1化为，
可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
∵表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（n﹣3）＜0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，方程+＝1化为，
可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．
综上可得n的取值范围是（﹣1，3）．
故选：D．
8.（2020秋•淮安期中）
双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的3倍，则m的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：∵方程mx2+y2＝1表示双曲线，则m＜0，
化双曲线方程为标准方程，
则a2＝1，，
∴a＝1，b＝，
由题意可得，3＝，解得m＝﹣．
故选：D．
9.（2020秋•安徽月考）
已知命题p：x2＝2my表示焦点在y轴的正半轴上的抛物线，命题q：表示椭圆，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m＜6 B．0＜m＜6
C．0＜m＜6且m≠2 D．﹣2＜m＜6且m≠2
【答案】C
【解答】解：因为命题“p∧q”为真命题，所以命题p和命题q均为真命题，
对于命题p：x2＝2my表示焦点在y轴的正半轴上的抛物线，所以m＞0，
对于命题q：表示椭圆，所以，
解得﹣2＜m＜6且m≠2，
综上：实数m的取值范围是0＜m＜6且m≠2．
故选：C．
10.（2020秋•罗湖区校级期中）
已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心、OF为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于点B．若AB＝4a，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±4x
【答案】B
【解答】解：由题意可得OB2+OA2＝4c2，设渐近线的倾斜角为α，
可得tanα＝＝＝，
可得4a4＝b4﹣2a2b2，
解得．
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．
故选：B．

11.（2020秋•栖霞区校级月考）
椭圆+＝1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（　　）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣，） D．（﹣，）
【答案】C
【解答】解：如图，
设P（x，y），则F1（﹣，0），F2（ ，0），
且∠F1PF2是钝角
⇔＜⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20
⇔x2+5+y2＜10
⇔x2+4（1﹣）＜5
⇔x2＜．所以﹣＜x＜．
故选：C．

12.（2020秋•嘉祥县校级期中）
已知椭圆两焦点F1，F2，P为椭圆上一点，若，则ΔF1PF2的的内切圆半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意方程可得，a＝5，b＝4，∴c＝，即|F1F2|＝6．
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，
则根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10，①
在△F1PF2中，∵∠F1PF2＝，
∴根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2•cos＝62，②
联立①②得t1•t2＝，
∴由正弦定理可得：＝＝．
设△F1PF2内切圆半径为r，
∵△F1PF2的周长为L＝10+6＝16，面积为S＝，
∴r＝，
故选：B．
13.（2020秋•宁德期中）
已知椭圆，倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点，AB的中点是M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，
又AB的中点是M（﹣4，1），∴直线l的方程为y﹣1＝x+4，即x﹣y+5＝0．
联立，可得（a2+b2）x2+10a2x+25a2﹣a2b2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则＝﹣8，又b2＝a2﹣c2，
整理得3a2＝4c2，即，可得e＝（0＜e＜1）．
故选：B．
14.（2020秋•辽宁期中）
与椭圆＝1有相同焦点，且过点（0，）的椭圆方程为（　　）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
【答案】C
【解答】解：椭圆＝1的焦点（±2，0），
所以所求椭圆的焦点坐标（±2，0），即c＝2，
所求椭圆过点（0，），可知b＝，所以a＝，
所求椭圆方程为：．
故选：C．
15.（2020秋•平城区校级期中）
已知F是双曲线的右焦点，点M在C的右支上，坐标原点为O，若|FM|＝|OF|，且∠OFM＝120°，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：设F1是双曲线的左焦点，由题意可得|MF|＝|F1F|＝2c，|FM|＝|OF|，且∠OFM＝120°，
即有|MF1|2＝|MF|2+|F1F|2﹣2|MF|•|F1F|cos∠MFF1
＝4c2+c2﹣2•2c2•（﹣）＝7c2，
即有|MF1|＝c，
由双曲线的定义可得|MF1|﹣|MF|＝2a，即为c﹣c＝2a，
即有c＝a，可得e＝＝．
故选：D．
16.（2020秋•湖南期中）
过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点分别为A，B．若A，B恰好在双曲线C：的两条渐近线上，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：如图，

双曲线C：的两条渐近线方程为y＝，
又过点P（2，0）作圆O：x2+y2＝1的切线，切点A，B分别在两条渐近线上，
∴渐近线的倾斜角的正切值为，即，
∴b2＝3a2，即c2﹣a2＝3a2，得c2＝4a2，求得e＝（e＞1）．
∴双曲线C的离心率为2．
故选：C．
17.（2020秋•湖南期中）
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），抛物线的准线与x轴交于点K，当最大时，直线AK的斜率（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，不妨设点A 在第一象限，过点A 作准线的垂线，垂足为A'．
由题意可得F（1，0），K（﹣1，0）．
因为|AF|＝|AA'|，所以，＝＝，
若最大，则sin∠AKA'最小，即∠AKA'最小，
由题知当AK 与抛物线y2＝4x 相切时，∠AKA'最小．
设直线AK的方程为y＝k（x+1），则k＞0．
与抛物线方程联立，得，消去x得ky2﹣4y+4k＝0，
由△＝16﹣16k2＝0，得k＝1，
故选：A．

二．填空题
18．（2020秋•惠山区校级期中）
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则实数p的值为　　．
【答案】．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：3x±4y＝0，抛物线的焦点坐标为：（0，），
抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线的渐近线的距离为，
可得：＝，解得p＝，
故答案为：．
19.（2020秋•湖南期中）
在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为　2　．
【答案】2．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），
渐近线方程为y＝±x，
设F关于y＝x的对称点为（m，﹣m），
由题意可得＝﹣，（*）
且（0﹣m）＝•（m﹣c），
可得m＝c，代入（*）可得b2＝3a2，
c2＝a2+b2＝4a2，
则离心率e＝＝2．
故答案为：2．
20． （2020秋•惠山区校级期中）
设椭圆的右焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线2x+y﹣4＝0与椭圆的交点为Q（点Q在x轴上方），且|OF|＝|OQ|，则椭圆C的离心率为　　．
【答案】．
【解答】解：由题意画出图象如图所示：
设椭圆的左焦点为M，
由已知|OF|＝|OQ|，可得三角形MFQ为直角三角形，且MQ⊥QF，
因为直线2x+y﹣4＝0过焦点F，令y＝0，解得x＝2，所以F（2，0），M（﹣2，0），
设Q（a，b），所以2a+b﹣4＝0…①
则由可得：a2+b2﹣4＝0…②，
①②联立方程解得：或（舍去），
所以a＝，b＝，代入椭圆方程可得：，又a2﹣b2＝4，
解得a2＝或（舍去），
所以a＝，
所以离心率为，
故答案为：．
21． （2020秋•五华区校级月考）
已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x﹣y﹣1＝0与C交于P，Q（P在x轴上方）两点，若＝λ，则实数λ的值为　5+2　．
【答案】5+2．
【解答】解：由题意可知，直线l：x﹣y﹣1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），设P，Q在l上的射影分别为P1，Q1，过Q作QM⊥PP1于M，由抛物线的定义可得Rt△PQM中，tan∠MPQ＝，cos∠MPQ＝＝
＝＝＝，解得λ＝5+2．
故答案为：5+2．

22.（2020秋•宁海县校级月考）
已知P为椭圆上的一点，过P作直线l交圆x2+y2＝4于A，B两点，则|PA|•|PB|的最大值是　3　．
【答案】3．
【解答】解：由P为椭圆上的一点，可设P（2cosα，sinα）（0≤α＜2π），
设直线AB的参数方程为（t为参数，θ为倾斜角），
代入圆圆x2+y2＝4，可得4cos2α+t2cos2θ+4tcosαcosθ+sin2α+t2sin2θ+2tsinαsinθ＝4，
化为t2+2t（2cosαcosθ+sinαsinθ）+4cos2α+sin2α﹣4＝0，
可得t1t2＝4cos2α+sin2α﹣4＝﹣3sin2α，
所以|PA|•|PB|＝3sin2α≤3，
当α＝时，上式取得等号．
即|PA|•|PB|的最大值是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查椭圆和圆的方程和运用，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三．解答题
23．（2020秋•宁波期中）
已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．
（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；
（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．
【答案】（1）（1，0）；（2）．
【解答】解：（1）由题意可得p＝2，故抛物线C1的方程为y2＝4x，焦点坐标为（1，0）．
（2）法一：设点P（0，a），则切线PQ的方程可设为y＝kx+a，
联立方程可得k2x2+（2ak﹣4）x+a2＝0，
由Δ＝0可得ak＝1，且切点Q坐标为，
设点M（x1，y1），N（x2，y2），
则切线QM：（x﹣4）（x1﹣4）+2yy1＝4，切线QN：（x﹣4）（x2﹣4）+2yy2＝4，
将点Q的坐标代入可得直线MN：（x﹣4）（a2﹣4）+2ay＝4，
故，由kMN＝kPQ，可得，
因为两种情况中的P点关于x轴对称，所以求出的面积相同，下只求情况，
联立方程，可得，
故，Q（2，2），MN的方程﹣x+y+2＝0，
∴d＝＝，
从而有|MN|＝＝，
所以．
法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy0＝2（x+x0），显然x0＝4不满足要求；
因为C2Q⊥MN，MN∥PQ，所以C2Q⊥PQ，
当x0≠4时，，
所以Q坐标为，
记线段C2Q和线段MN的交点为E，
从而有|C2Q|＝，|ME|＝，|QE|＝，
SΔPMN＝＝．

24． （2020秋•阆中市校级期中）
已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为4，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且∠F1AF2＝60°，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M、N为椭圆C上的两个动点，若＝0，问：点O到直线MN的距离d是否为定值？若是，求出d的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）点O到直线MN的距离d＝是定值．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由已知可得2a＝4，a＝2，
∵∠F1AF2＝60°，在Rt△OAF2中，可得∠OAF2＝30°，|OA|＝b，|OF2|＝c，
∴|AF2|＝a＝2，
∴cos，解得b＝．
∴椭圆C的方程为；
（2）当直线MN的斜率存不在时，MN⊥x轴，
由，可得OM⊥ON，
结合椭圆的对称性，可设M（x，x），N（x，﹣x），则d＝|x|，
将点M（x，x）代入椭圆方程，可得，
解得x＝，∴d＝．
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx+m，
此时点O到直线MN的距离d＝，即，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
由△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，得m2＜4k2+3，
∴，，
∴x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
＝
＝＝．
又∵＝0，∴x1x2+y1y2＝0，
即，解得，
∴，即d＝．
综上所述，点O到直线MN的距离d＝是定值．
25． （2020秋•徐汇区期中）
已知椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l过点A（﹣a，0），且与椭圆相交于另一点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB长为，求直线l的倾斜角．
【答案】（1）；（2）或．
【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）长轴长为短轴长的两倍，
连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，
∴，解得a＝2，b＝1．
∴椭圆的方程为+y2＝1；
（2）由（1）可知点A的坐标是（﹣2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x+2）．
代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）＝0．
由﹣2x1＝，得，则．
∴|AB|＝．
由|AB|＝，得．
整理得32k4﹣9k2﹣23＝0，即（k2﹣1）（32k2+23）＝0，解得k＝±1．
∴直线l的倾斜角或．
26． （2020秋•河南月考）
已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+my﹣1＝0过E的右焦点F．当m＝1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l的距离的2倍．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPA＝∠OPB（O为坐标原点）？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）存在点P（2，0）．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过定点（1，0），所以c＝1，
当m＝1时，直线l：x+y﹣1＝0，椭圆的下顶点（0，﹣b）到直线l的距离d＝，
由题意可得，解得a＝，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1；
（Ⅱ）当m＝0时，显然在x轴上存在点P，使得∠OPA＝∠OPB；
当m≠0时，由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝，y1y2＝﹣，
设P（t，0）满足题设条件，
kPA+kPB＝+＝+＝＝0，
则（1﹣t）（y1+y2）﹣2my1y2＝0，即2m（1﹣t）+2m＝2m（2﹣t）＝0，
t＝2时，上式恒成立．
所以在x轴上存在点P（2，0）满足题设条件．
27． （2020秋•宁德期中）
已知A，B分别为椭圆的左、右项点，G为E的上顶点，直线AG，BG的斜率之积为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F（1，0）的直线l交椭圆E于C，D两点，交直线x＝4于点Q．设直线PC，PD，PQ的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在常数λ＝2符合题意．
【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（a，0），G（0，b），
且，得3a2＝4b2，①
又椭圆C：（a＞b＞0）经过点，∴，②
联立①②可得，a2＝4，b2＝3．
故椭圆E的方程为；
（2）存在常数λ＝2，使得k1+k2＝λk3．
利用如下：
由题意可设l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣1），③
代入椭圆方程并整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
设C（x1，y1），D（x2，y2），
x1+x2＝，，④
在方程③中，令x＝4得，Q的坐标为（4，3k），
从而，，，
注意到C，F，D共线，则有k＝kCF＝kDF，即有，
∴k1+k2＝＝﹣（）
＝2k﹣•，⑤
④代入⑤得k1+k2＝2k﹣•＝2k﹣1，
又k3＝k﹣，∴k1+k2＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
28．（2020秋•汉阳区校级期中）设F1，F2分别是椭圆：＝1（a＞b＞0）的左右焦点，且椭圆的离心率为．过F2的直线l1与椭圆交于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F2点且垂直于l1的直线l2与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】（1）+＝1；
（2）
【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，4a＝8，a＝2，c＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝8﹣4＝4，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）当直线l1的斜率为0或斜率不存在时，则|AB|＝2a＝4，|CD|＝＝＝2，
这时S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝××＝8；
当直线l1的斜率存在且不为0时，
由（1）可得F2（2，0），设直线l1的方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l1与椭圆的方程：，整理可得：（2+m2）y2+4my﹣4＝0，
则y1+y2＝﹣，y1y2＝，
所以弦长|AB|＝•＝•＝；
由题意可得直线l2的方程为：y＝﹣m（x﹣2），设C（x3，y3），D（x4，y4），
联立直线l2与椭圆的方程：，整理可得：（1+2m2）x2﹣8m2x+8m2﹣8＝0，
则x3+x4＝，x3x4＝，
所以弦长|CD|＝＝＝，
所以S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝••＝＝，
令t＝1+m2＞1，
则S四边形ACBD＝＝，当t＝2时S四边形ACBD最小，且为，
综上所述：四边形ACBD的面积的最小值为．
28． （2020秋•汉阳区校级期中）
已知双曲线的方程C：2x2﹣y2＝1．
（1）求点P（0，1）到双曲线C上点的距离的最小值；
（2）已知圆M：x2+y2＝1的切线l（直线l的斜率存在）与双曲线C交于A、B两点，那么∠AOB是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）∠AOB为定值90°．
【解答】解：（1）设Q（a，b）为双曲线上的点，则2a2﹣b2＝1，
则|PQ|＝＝＝，
当b＝时|PQ|最小，且为，
所以点P（0，1）到双曲线C上点的距离的最小值为；
（2）设直线l的方程为y＝kx+t，
由直线l与圆相切，可得d＝＝1，即t2＝1+k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
可得（2﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣1＝0，
则2﹣k2≠0，x1+x2＝，x1x2＝﹣＝﹣，
所以y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2
＝＝＝，
所以•＝x1x2+y1y2＝﹣+＝0，
所以∠AOB为定值90°．
日期：2020/11/30 20:17:31；用户：数学2；邮箱：yq0888@xyh.com；学号：38393489