专题08不等式（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                          专题08　不等式

一、选择题

1.（2020·安徽六安一中月考）

若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】C

【详解】

绘制不等式组所表示的平面区域ABC，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率，观察可知，在点处目标函数取得最大值：.

故选：C

2.（2020秋•高邮市期中）

若对满足条件xy＝x+y（x＞0，y＞0）的任意x，y，不等式2x+y﹣k＞0恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B．

【解答】解：由xy＝x+y（x＞0，y＞0）可得：+＝1，

∴2x+y＝（2x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当时取“＝“，

∵不等式2x+y﹣k＞0恒成立，

∴k＜（2x+y）min＝3+2，

故选：B．

3. （2020·江苏扬州中学期中）

若，，，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A，因为，所以，所以A不正确；

对于B，若，设，得，

所以

当且仅当时，等号成立，所以B正确；

对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确；

对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确；

故选：B

4. （2020秋•天心区校级月考）

已知圆的直径为2，则其内接矩形ABCD的周长的最大值为（　　）

A． B．8 C． D．12

【答案】A

【解答】解：设矩形的边长分别为a，b，

由题意可得，a2+b2＝4，

故矩形周长为2（a+b）＝4，

当且仅当a＝b时取等号．

故选：A．

5. （2020·宝山·上海交大附中月考）

已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【解析】

画出区域D如图所示，则为图中阴影部分对应的四边形上及其内部的点，又,所以当目标线过点时，,故选B.

6. （2020·嘉兴高级中学期中）

某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为（30-）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意，要使附加税不少于128万元，则（30-），化简整理得，故.

故选：A.

7. （2020·北京八中期末）

设，则下列不等式中不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A，因为，所以，所以，即，所以A成立；

对于B，若，，则，，此时，所以B不成立；

对于C，因为，所以，所以C成立；

对于D，因为，所以，则，所以D成立，

故选：B.

8. （2020·贵州遵义）

已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是双曲线的半焦距，

所以，

则，

当且仅当时，等号成立.

故选：C.

9. （2020秋•徐汇区校级期中）

下列不等式恒成立的是（　　）

A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥﹣2 D．a+b≤2

【答案】B．

【解答】解：对于A，由（a﹣b）2≥0，知a2+b2≥2ab，即A错误；

对于B，由（a+b）2≥0，知a2+b2≥﹣2ab，即B正确；

对于C，当a＝0，b＝﹣1时，a+b＝﹣1，﹣2＝0，此时a+b＜﹣2，即C错误；

对于D，当a＝0，b＝1时，a+b＝1，2＝0，此时a+b＞﹣2，即D错误，

故选：B．

10. （2020春•如皋市期末）

关于x的不等式x2﹣2（m+1）x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B．

【解答】解：原不等式可化为（x﹣2）（x﹣2m）≤0，

若m≤1，则不等式的解是[2m，2]，

不等式的解集中不可能有4个正整数，

所以m＞1，不等式的解是[2，2m]；

所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；

令5≤2m＜6，解得≤m＜3；

所以m的取值范围是[，3）．

故选：B．

11. （2019秋•上城区校级月考）

若，且αsinα＞βsinβ，则下列结论中必定成立的是（　　）

A．α＞β B．α+β＞0 C．α＜β D．|α|＞|β|

【答案】D．

【解答】解：令f（x）＝xsinx，x∈[，]，

∵f（﹣x）＝﹣x•sin（﹣x）＝x•sinx＝f（x），

∴f（x）＝xsinx，x∈为偶函数．

又f′（x）＝sinx+xcosx，

∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）＝xsinx在x∈[0，]单调递增；

同理可证偶函数f（x）＝xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；

∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），反之也成立；

故选：D．

12. （2020秋•洛阳期末）

若b＜a＜0，给出下列不等式：①：②|a|+b＞0．③a﹣＞b﹣；④lna2＞lnb2．其中正确的不等式是（　　）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

【答案】C．

【解答】解：b＜a＜0，给出下列不等式：

①＜0＜，∴，正确：

②|a|+b＜0，因此不正确．

③由已知可得：＜，∴﹣＞﹣，又a＞b，∴a﹣＞b﹣，正确；

④由已知可得：a2＜b2，可得：lna2＜lnb2，因此不正确．

其中正确的不等式是①③．

故选：C．

13. （2020秋•绵阳月考）

若2a+1＝3，2b＝，则以下结论正确的有（　　）

①b﹣a＜1；②+＞2；③ab；④b2＞2a．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解答】解：2a+1＝3，2b＝，则a＝log23﹣1＝log2，b＝log2＝3﹣log23

∴b﹣a＝log2﹣log2＝log2（×）＝log2＜log22＝1，故①正确；

∵a+b＝log2+log2＝log24＝2，ab＝（log23﹣1）（3﹣log23）＝﹣（log23）2+4log23﹣3＝﹣（log23﹣2）2+1＜1，

∵2﹣log23＜2﹣log2＝2﹣＝，

∴ab＝﹣（log23﹣2）2+1＞﹣+1＝，故③正确；

∴+＝＞2，故②正确；

b2﹣2a＝（3﹣log23）2﹣2（log23﹣1）＝（log23）2﹣8log23+11＝（log23﹣4）2﹣5，

∵1＜log23＜，

∴﹣3＜log23＜﹣，

∴＜（log23﹣4）2＜9，

∴b2﹣2a＞0，故④正确；

故选：D．

14. （2020秋•江苏期中）

已知正数a，b满足a2+b2＝13，则a的最大值为（　　）

A．6 B．8 C．4 D．16

【答案】B．

【解答】解：∵a2+b2＝13；

∴a≤＝＝8，

当且仅当a＝时等号成立；

∴a的最大值为8．

故选：B．

15. （2020秋•鼓楼区校级期中）

已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则a+2b的最小值为（　　）

A．3+2 B．2+1 C．4 D．+

【答案】B．

【解答】解：由题设可得：a+2b＝a+2（b+1）﹣2＝（+）[a+2（b+1）]﹣2＝1++≥1+2，

当且仅当a＝1+，b＝时取“＝“，

故选：B．

16. （2020秋•海门市校级月考）

已知正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，则3x+5y的最小值为（　　）

A．1 B．4 C．8 D．16

【答案】C．

【解答】解：∵正数x，y满足3xy+y2﹣4＝0，

∴y（3x+y）＝4即3x+y＝，

则3x+5y＝3x+y+4y＝4y+＝8，

当且仅当4y＝即y＝1，x＝1时取等号，此时3x+5y取得最小值8，

故选：C．

17. （2020秋•安徽月考）

若正实数x，y满足2x+y+xy﹣6＝0，则2x+y的最小值为（　　）

A．4（+1） B．4（﹣1） C．12 D．4

【答案】D

【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y+xy﹣6＝0，

∴6﹣（2x+y）＝xy＝×2xy≤（）2，当且仅当2x＝y时取等号，

∴（2x+y）2+8（2x+y）﹣48≥0，

∴（2x+y+12）（2x+y﹣4）≥0，

∴2x+y﹣4≥0，

即2x+y≥4，

故选：D．

18. （2020秋•崇明区期中）

不等式的解集为M，且2∉M，则实数a的取值范围是　　．

【答案】（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．

【解答】解：由题意可知，或2+a＝0，

解得，a≥4或a≤﹣2．

故答案为：[4，+∞）∪（﹣∞．﹣2]

19. （2020秋•东阳市校级月考）

已知﹣4≤a﹣c≤﹣1，﹣1≤4a﹣c≤5，则2a+c的取值范围　．

【答案】[1，13]　

【解答】解：设2a+c＝m（a﹣c）+n（4a﹣c）＝（m+4n）a﹣（m+n）c，

∴，解得m＝﹣2，n＝1，

∵﹣4≤a﹣c≤﹣1，﹣1≤4a﹣c≤5，

∴2≤﹣2（a﹣c）≤8，﹣1≤4a﹣c≤5，

∴1≤2a+c≤13，

∴2a+c的取值范围是[1，13]．

故答案为：[1，13]．

20. （2020秋•浦东新区期中）

若关于x的一元二次不等式x2+（k﹣1）x+4≤0的解集为{2}，则实数k＝　　．

【答案】﹣3．

【解答】解：关于x的一元二次不等式x2+（k﹣1）x+4≤0的解集为{2}，

所以△＝（k﹣1）2﹣4×1×4＝0，

解得k＝﹣3或k＝5；

当k＝﹣3时，不等式为x2﹣4x+4≤0，解集为{2}；

当k＝5时，不等式为x2+4x+4≤0，解集为{﹣2}，不合题意；

综上知，实数k＝﹣3．

故答案为：﹣3．

21. （2020秋•崇明区期中）

不等式的解集为M，且2∉M，则实数a的取值范围是　　．

【答案】（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．

【解答】解：由题意可知，或2+a＝0，

解得，a≥4或a≤﹣2．

故答案为：[4，+∞）∪（﹣∞．﹣2]

22. （2020秋•常熟市校级月考）

已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值　　；x2+4y2+2xy的最小值是　　．

【答案】，，．

【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1＝x+2y，当且仅当x＝2y且x+2y＝1即y＝，x＝时取等号，

解可得，xy，即xy的最大值，

x2+4y2+2xy＝（x+2y）2﹣2xy＝1﹣2xy＝，

故答案为：，．

23. （2020秋•温州期中）

若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式中恒成立的是　．

①；②a2+b2≥8；③；④．

【答案】②④　．

【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝4，

∴a+b＝4≥2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝“，∴，故选项①错误；

∵a2+b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时取“＝“，∴选项②正确；

∵a+b＝4≥2，即≤2，∴选项③错误；

∵+＝（a+b）（+）＝（2++）≥（2+2）＝1，当且仅当a＝b＝2时取“＝“，∴选项④正确，

故答案为：②④．

24. （2020秋•南山区校级月考）

已知log2（a+4b）＝2log2（2），则a+b的最小值是　　．

【答案】．

【解答】解：∵log2（a+4b）＝2log2（2），

∴a+4b＝4ab且a＞0，b＞0，

∴＝4，

则（a+b）＝（a+b）（）＝（5+）＝，

当且仅当a＝2b且a+4b＝4ab即a＝，b＝时取等号，

故a+b的最小值

故答案为：