专题04三角函数（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                          专题05　平面向量

1．（2020秋•江津区校级期中）

在平面直角坐标系中，角2θ的终边经过点P（1，﹣2），则sinθcosθ＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】解：角2θ的终边经过点P（1，﹣2），即x＝1，y＝﹣2，

则r＝＝．

所以sin2θ＝＝＝﹣，

所以sinθcosθ＝sin2θ＝﹣．

故选：B．

2. （2020秋•扬州期中）

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣“．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin2°的近似值为（　　）

A．0.035 B．0.026 C．0.018 D．0.033

【答案】A

【解答】解：将一个单位圆分成180个扇形，

则每个扇形的圆心角度数均为2°，

∵这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，

∴180××1×1×sin2°＝90sin2°≈π，

∴sin2°≈≈0.035．

故选：A．

3. （2020秋•成都月考）

已知tan（α+）＝，则＝（　　）

A．﹣4 B．4 C．5 D．﹣5

【答案】D

【解答】解：因为tan（α+）＝﹣＝，可得tanα＝2，

则＝＝＝﹣5．

故选：D．

4. （2020•内蒙古月考）

函数在区间上单调且，则φ的范围是（　　）

A． B．[﹣，] C． D．

【答案】A

【解答】解：由已知函数f（x）＝sin（2x+φ）在区间（﹣，]上单调且f（x），

又φ﹣＜2x+φ≤φ+，所以2×φ≤，且2×（﹣）+φ≥﹣，

解得﹣≤φ≤0，

故选：A．

5.（2020·云南曲靖一中）

将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：

①该函数的解析式为；

②该函数图象关于点对称；

③该函数在区间上单调递增；

④该函数在区间上单调递增.

其中，正确判断的序号是（    ）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

【答案】A

【详解】由函数的图象平移变换的性质可知：

将的图象向右平移个单位长度之后

解析式为，选项①错误；

令，，求得，，

故函数的图象关于点对称，

令，故函数的图象关于点对称，选项②正确；

则函数的单调递增区间满足：，

即，

令可得函数的一个单调递增区间为，选项③正确，④错误.

故选:A.

6. （2020秋•海南月考）

希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若∠ACB＝，AC＝BC＝1，则该月牙形的面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解答】解：由已知可得AB＝，△ABC的外接圆半径为1，

由题意，内侧圆弧为△ABC的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，

则弓形ABC的面积为×（﹣sin）＝﹣，

外侧的圆弧以AB为直径，

所以半圆AB的面积为（）2＝，

则月牙形的面积为﹣（﹣）＝+．

故选：A．

7.（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）

已知，则（    ）

A．的最大值是 B．在区间上是增函数

C．的图象关于直线对称 D．在内有4个极值点

【答案】D

【详解】

，

选项A：函数的最大值是，故本选项错误；

选项B：当，单调递增，且，

而此时在上单调递减，

故函数在上单调递减，故本选项错误；

选项C：令，解得，

不存在整数使得，故本选项错误；

选项D：，

令，解得，

当，1，2，3时，极值点满足题干要求，正确，

故选：D

8. （2020秋•龙凤区校级月考）

已知函数，f（α）＝﹣1，f（β）＝1，若|α﹣β|的最小值，且f（x）的图象关于点对称，则函数f（x）的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：由题意可知f（x）的最小正周期T＝4|α﹣β|min＝4×＝3π，ω＝＝；

f（x）的图象关于点对称，

所以2sin（×+φ）+1＝1，即sin（φ+）＝0，

又|φ|＜，所以φ＝﹣，

故f（x）＝2sin（x﹣）+1，

∴f（x）的对称轴方程为：，即x＝π+，

故当k＝﹣1时，该对称轴距离原点最近，此时x＝﹣；

故选：C．

9. （2020秋•未央区校级期中）

已知函数f（x）＝cosx与g（x）＝sin（2x+φ）（0≤φ＜π）的图象有一个横坐标为的交点，若函数g（x）的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在[0，2π]有且仅有5个零点，则正实数ω的取值范围是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A．

【解答】解：由题意得f（）＝cos＝，

∴sin（2×+φ）＝；

结合0≤φ＜π，

解得φ＝．

∴g（x）＝sin（2x+）．

∵函数g（x）的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的（ω＞0）倍后，则y＝sin（2ωx+），

∴当x∈[0，2π]，可得2ωx+∈[，4πω+]，

∵函数f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，

∴5π≤4πω+＜6π，

∴≤ω＜，即正实数的取值范围是[，）．

故选：A．

10. （2020秋•汝阳县月考）

已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，记关于x的方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，则tanθ＝（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．tan2t

【答案】B

【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，

可得A＝2，2sinφ＝，∴φ＝．

再根据五点法作图可得ω×+＝π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+）．

根据方程f（x）＝t（﹣2＜t＜﹣1）在区间[0，]上所有解的和为θ，

可得 sin（2x+）＝ 在区间[0，]上所有解的和为θ，

当 x∈[0，]，2x+∈[，2π]．

故方程的解共有2个，设这两个解x1、x2，

则2x1++（2x2+）＝2×，求得 x1+x2＝＝θ，

故 tan θ＝tan＝tan＝，

故选：B．

11. （2020秋•思明区校级期中）

已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为π，把f（x）图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x轴向左平移个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数g（x）的图象，若g（x）在[﹣a，a]上单调递增，则a的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解答】解：∵函数f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为•＝π，

∴ω＝1，f（x）＝2sin（x﹣）．

把f（x）图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得y＝2sin（2x﹣）的图象，

再沿x轴向左平移个单位长度，可得y＝2sin（2x+）的图象．

然后纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数g（x）＝4sin（2x+）的图象．

令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

若g（x）在[﹣a，a]上单调递增，则

故[﹣a，a]⊆[﹣，]，故a的最大值为，

故选：A．

12. （2020·江西二模）

将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意知：且，

∵，则，又

∴，解得或，

∴当时，有最大值，

故选：D

13. （2020春•开福区校级月考）

已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（）＝2，f（π）＝0，且f（x）在区间（）单调，则ω的取值个数为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【解答】解：由题意，ω+φ＝+2kπ，k∈Z，

ωπ+φ＝k′π，k′∈Z，

两式相减，可得ω＝+mπ，m∈Z，

所以ω＝，

另一方面，|﹣|≤•，

所以ω≤12，

所以0＜≤12，所以﹣0.5＜m≤7.5，

所以m∈{0，1，2，3，4，5，6，7}．

故选：B．

14.（2020·青铜峡市高级中学期中）

函数的部分图象如图所示，给出以下结论：

① 的最小正周期为2；

② 的一条对称轴为；

③ 在，上单调递减；

④ 的最大值为；

则错误的结论为________.

【答案】② ④

【详解】

解：由图易知函数的最小正周期为，①正确；

由图知，左侧第一个零点为：，

所以对称轴为：，

所以不是对称轴，②不正确；

由图可知，

即时函数是减函数，

所以③正确；

因为正负不定，所以④不正确．

所以只有② ④不正确．

故答案为：② ④ .

15.（2020·贵州省思南中学期中）

关于函数有以下四个结论：

①的最小值为；

②在上单调递增；

③在上有3个零点；

④曲线关于直线对称．

其中所有正确结论的编号为_________．

【答案】③④

【详解】

当时，

当，

，①错；

当时，，在上不是单调函数，

实际上它在上递减，在递增，所以②错；

当时，时，，函数无零点，

当，即时，是偶函数，

当时，，只有，

因此在时，函数有三个零点，③正确；，

∴曲线关于直线对称，④正确．

∴正确结论有③④，

故答案为：③④

16.（2020·陕西安康·月考）

将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则在区间上的值域为_______.

【答案】

【详解】

由题意得，的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，

这时变为，再把得到的图像向左平移个单位长度，

这时变为，

所以，，∵，∴.

故答案为：

17. （2020·青铜峡市高级中学期中）

函数的部分图象如图所示，给出以下结论：

① 的最小正周期为2；

② 的一条对称轴为；

③ 在，上单调递减；

④ 的最大值为；

则错误的结论为________.

【答案】② ④

【详解】由图易知函数的最小正周期为，①正确；

由图知，左侧第一个零点为：，

所以对称轴为：，

所以不是对称轴，②不正确；

由图可知，

即时函数是减函数，

所以③正确；

因为正负不定，所以④不正确．

所以只有② ④不正确．

故答案为：② ④ .

18. （2020秋•海淀区期中）

唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3m，它以1rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H（单位：m），轮子旋转时间为t（单位：s）．当t＝0时，点P在轮子的最高点处．

①当点P第一次入水时，t＝　　；

②当t＝t0时，函数H（t）的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是　　．

【答案】：，．

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

由题意可得，点P的运动轨迹方程为：

y＝3sin（ωt+）＝3cosωt＝3cost；

令3cost＝﹣1.5，解得cost＝﹣，

所以t＝+2kπ，k∈Z；

当k＝0时，t＝；

所以点P第一次入水时，t＝．

点P到船底的距离为：

H（t）＝3cost+4，

求导数为H′（t）＝﹣3sint，

函数H（t）的瞬时变化率取得最大值时，

t＝+2kπ，k∈Z，

t0的最小值是．

故答案为：，．

19. （2020秋•无锡期中）

函数的图象与直线y＝a在（0，）上有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为　　．

【答案】（，）．

【解答】解：由题意x∈（0，）上，

那么2x+∈（，）上，

直线y＝a在与y＝sin（2x+）有三个交点，

则＜a＜1，

不妨设x1＜x2＜x3，

根据三角函数的图象及性质，可得π＜x3＜，

而x1，x2关于直线x＝对称，

那么x1+x2+x3＝+x3，

∴x1+x2+x3的取值范围（，）．

故答案为（，）．

20.（2020春•江西月考）

函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点B、C，点M为最高点，且三角形MBC的面积为π，则y＝f（x）图象的一个对称中心是　　．（写出一个符合题意的即可）

【答案】（kπ﹣，0）k∈Z

【解答】解：∵S△MBC＝×2×BC＝BC＝π，∴周期T＝2π＝，∴ω＝1，

由f（0）＝2sinφ＝1，得sinφ＝，又∵0＜φ＜，∴φ＝，

∴f（x）＝2sin（x+），

令x+＝kπ，k∈Z，得x＝kπ﹣，k∈Z，

故y＝f（x）图象的对称中心是 （kπ﹣，0）k∈Z．

故答案为：（kπ﹣，0）k∈Z．

21.2020·云南曲靖一中其他）

已知向量，，函数.

（1）求函数的最大值，并指出取最大值时的取值集合；

（2）若，为锐角，，，求的值.

解（1），

令，得，，

所以最大值为2，此时的取值集合为

（2）由，为锐角，，得，

由得

∵，∴，

又，

∴，∴，

∴

，

∴.

22.（2020·江苏泰州·月考）

已知O为坐标原点，，，.

（1）求的单调减区间

（2）将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且，，，，求的值.

 (1)由题得，

，

令得，

所以的单调减区间是；

(2)将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到，再将所得图象向左平移个单位后得到，

又，即，

因为，

所以，

所以，，

所以

，

所以.

23.（2020·重庆月考）

已知向量，，函数，，.

（1）当时，求的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

解：（1），

当时，，

则；

（2）∵，

∴，

则，

令，则，

则，对称轴，

① 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，

② 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得，

③ 当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，

综上若的最小值为，则实数；

（3）令，得或，

∴方程或在上有四个不同的实根，

则，得，则，

即实数的取值范围是.