专题06解三角形（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

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高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)
专题06　三角形
1.（2020·北京期末）
在中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【详解】
由正弦定理，即，
∴.
∴(时，三角形内角和大于，不合题意舍去).
故选：C.
2. （2020·天津月考）
在中，角，，所对的边分别为，，，则“”，是“为锐角三角形”的（ ）条件
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】
中，，
，
即，
，因为，
，所以为锐角.
当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角.
所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件.
故选：C
3. （2020·湖南怀化·月考）
已知，，分别为内角，，的对边，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由余弦定理得，
∴，
由正弦定理得，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，.
故选：C.
4. （2020秋•阆中市校级期中）
“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（　　）

A．65 米 B．74 米 C．83米 D．92米
【答案】B
【解答】解：不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝2x，AB＝AC+BC＝3x，
∵，∴，
∴，
∴，
∴AB＝3x≈74 米．
故选：B．
5. （2020秋•沙坪坝区校级月考）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且3csinC﹣asinA＝3bsinB，则＝（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，
由3csinC﹣asinA＝3bsinB，得3c2﹣a2＝3b2，
所以，
从而．
故选：C．
6. （2020秋•姜堰区月考）
在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，则∠A的角平分线AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，在三角形ABC中，设A的平分线交BC于D，
由角平分线的性质可知：，由此得．
设AD＝x，在△ABD，△ACD中，cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由余弦定理得：，
即x2＝2，故．
所以AD＝．
故选：B．

7. （2020秋•兰州期中）
在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝14，A＝30°，使得三角形有两解的条件是（　　）
A．a＝7 B．7＜a＜14 C．a≥14 D．a＜7
【答案】B
【解答】解：∵b＝14，A＝30°，
∴C到AB的距离h＝bsinA＝7，
∴当a＜7时，三角形无解，
当a＝7时，三角形有一解，
当7＜a＜14时，三角形有两解，
当a≥14时，三角形有一解．
故选：B．
8. （2020秋•河南期中）
已知在△ABC中，点M在线段AC上，若AM＝BM，AB＝2，BC＝6，sinC＝，则BM＝（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A．
【解答】解：因为在△ABC中，点M在线段AC上，若AM＝BM，AB＝2，BC＝6，sinC＝，
所以由正弦定理，可得sinA＝＝＝，
所以A＝，或，
因为若A＝，由AM＝BM，可得△ABM中，∠ABM＝，则∠A+∠ABM＞π，矛盾，
所以△ABM中，A＝∠ABM＝A＝，可得∠AMB＝，
所以由勾股定理可得：2BM2＝AB2，即BM＝＝．
故选：A．

9. （2020秋•吉林月考）
设锐角三角形ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2﹣2＝b（c﹣b），，则b+c的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为c2﹣2＝b（c﹣b），，
所以可得：a2＝b2+c2﹣bc，
由余弦定理知，
因为三角形ABC为锐角三角形，
所以，
结合正弦定理得，，
则＝，
化简得：．
因为，，
所以，，即，
故选：D．
10. （2020秋•全国月考）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边互不相等，若a＝1，B＝，b++4cosC＝0，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：因为b++4cosC＝0，
所以+4•＝0，化简可得b2+1＝c2，①
又a2+c2﹣2accosB＝b2，即c2+1﹣c＝b2，②
所以①②联立消去b，可得c2﹣3c+6＝0，
解得c＝2，或，
若c＝，由余弦定理可得b＝＝＝1，
因为三边互不相等，解得c≠，
可得c＝2，
所以S△ABC＝acsinB＝＝．
故选：C．
11. （2020秋•内蒙古模拟）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC＝，则△ABC外接圆面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解答】解：因为2sinC＝＝＝a+b+≥2，
当且仅当a+b＝1时取等号，
所以sinC≥1，
又sinC≤1，故sinC＝1，
又＝，
所以c2＝，
所以△ABC外接圆面积即最小值．
故选：A．
12. （2020秋•山西月考）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B，A，C成等差数列，且b＝acosC+accosA，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】A
【解答】解：因为B，A，C成等差数列，
所以2A＝B+C，
又A+B+C＝π，
所以A＝，
因为b＝acosC+accosA，
所以由正弦定理可得sinB＝sinAcosC+asinCcosA，
又sinB＝sinAcosC+sinCcosA，
可得a＝1，
所以△ABC外接圆的半径为＝，
△ABC外接圆的面积S＝（）2•π＝．
故选：A．
13. （2020秋•河南月考）
在△ABC中，若sin2（A+B）＝4sinAsinBcosC，则角C的余弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为sin2（A+B）＝4sinAsinBcosC，
所以sin2C＝4sinAsinBcosC，
可得c2＝4ab×＝2（a2+b2﹣c2），
所以2（a2+b2）＝3c2，
所以cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，
所以角C的余弦值的最小值为．
故选：C．
14. （2020秋•茂名月考）
在△ABC中，B＝，AD是BC边上的高，且CD＝2AD，则cos∠BAC＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】C．
【解答】解：设AD＝x，
则BD＝x，CD＝2x，AB＝x，AC＝＝x，
由余弦定理可得cos∠BAC＝＝﹣．
故选：C．
15. （2020秋•安康月考）
已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，bsinC＝2c•cosB，b＝，则当△ABC的周长最大时，△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A．
【解答】解：由正弦定理，知＝，
∵bsinC＝2c•cosB，
∴sinBsinC＝2sinCcosB，
∵sinC≠0，∴sinB＝2cosB，即tanB＝2，
∴sinB＝，cosB＝，
由余弦定理知，
b2＝3＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣ac≥（a+c）2﹣×＝（a+c）2，当且仅当a＝c＝时，等号成立，
∴a+c≤3，此时ac＝，
∴△ABC的面积S＝acsinB＝××＝．
故选：A．
16. （2020春•江西月考）
在△ABC中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若sinBsinC＝sinA，△ABC的面积为，a+b＝3，则c＝（　　）
A． B． C．或 D．或3
【答案】D．
【解答】解：因为：sinBsinC＝sinA，sinB≠0，
所以：sinC＝，
又△ABC的面积为＝absinC＝ab•＝a2，解得a＝，
又a+b＝3，
所以b＝2，sinC＝，可得cosC＝，
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得c＝，或c＝3．
故选：D．
17. （2020秋•平顶山月考）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+b2﹣c2＝ab，则acsinB＝2sinC，则S△ABC＝（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B．
【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，
∴cosC＝＝＝，
∵C∈（0，π），
∴C＝，
∴S△ABC＝acsinB＝sinC＝＝．
故选：B．
18. （2020秋•浙江月考）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinC＝tanA（1﹣2cosC），c＝2b，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解答】解：∵2sinC＝tanA（1﹣2cosC），
∴2sinC＝（1﹣2cosC），化简整理得2（sinAcosC+cosAsinC）＝sinA，
∴2sin（A+C）＝sinA，
∴2sinB＝sinA，即2b＝a，
又c＝2b，
由余弦定理知，cosB＝＝＝．
故选：D．
19. （2020秋•汝阳县月考）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b（sinA﹣sinB）＝asinA﹣csinC，且△ABC的面积为，则的值为　　．
【答案】4
【解答】解：因为b（sinA﹣sinB）＝asinA﹣csinC，
利用正弦定理可得ab＝a2+b2﹣c2，
所以cosC＝＝，①
又C∈（0，π），
所以C＝，
由于△ABC的面积为＝absinC，可得c2＝3ab，
代入①，可得b2+a2＝4ab，
所以+＝＝4．
故答案为：4．
20. （2020秋•河南期中）
我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为　　．
【答案】2．
【解答】解：设该“圭田”的底边长为x，
则由题意，利用余弦定理可得：x2＝42+42﹣2×＝8，
解得x＝2，故该“圭田”的底边长为2．
故答案为：2．
21. （2020秋•河南期中）
已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝4，c＝6，a﹣bcosB＝0，则a＝　　．
【答案】
【解答】解：因为b＝4，c＝6，a﹣bcosB＝0，
可得cosB＝＝，
所以＝，解得a2＝10，
所以a＝，或﹣（舍去）．
故答案为：．
22. （2020秋•道里区校级期中）
已知△ABC中，AB⊥AC，AC＝2，D为BC边上一点，CD＝2，∠DAC＝60°，则△ABD的面积为　
【答案】9　．
【解答】解：在△ACD中，由余弦定理知，CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcos∠DAC，
即28＝AD2+4﹣2AD•2cos60°，即AD2﹣2AD﹣24＝0，
解得AD＝6或﹣4（舍负）．

如图所示，过点D作DE⊥BA的延长线于点E，则∠DAE＝30°，
∴DE＝ADsin∠DAE＝3，
∵AC∥DE，
∴＝，即＝，解得BC＝，
∴AB＝＝＝，
∴△ABD的面积S＝AB•ADsin（∠BAC+∠DAC）＝××6×sin（90°+60°）＝．
故答案为：．
23. （2021•宁夏模拟）
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC+ccosA＝bsinB，b＝2c．
（1）求C；
（2）若点D与点B在AC两侧，且满足AD＝2，CD＝3，求四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）由acosC+ccosA＝bsinB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA＝sin2B，
即sin（A+C）＝sinB＝sin2B．
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴sinB＝1，B＝．
∵b＝2c，
∴sinB＝2sinC，可得sinC＝，可得C＝．
（2）设∠ADC＝α，由余弦定理，可得AC2＝13﹣12cosα，
可得四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD
＝×ACcos+
＝AC2+3sinα
＝﹣cosα+3sinα
＝+sin（α+φ）
≤+＝，（其中tanφ＝﹣），
故四边形ABCD面积的最大值为．
24. （2020秋•湖南期中）
已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且（b+c）2＝a2+3bc．
（1）求角A；
（2）若a＝4，sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为（b+c）2＝a2+3bc，整理可得b2+c2﹣a2＝bc，
所以cosA＝＝＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为A＝，a＝4，
所以由余弦定理可得16＝b2+c2﹣bc，①
又因为sinA+sin（C﹣B）＝2sin2B，
所以sin（C+B）+sin（C﹣B）＝2sin2B，可得sinCcosB+cosCsinB+sinCcosB﹣cosCsinB＝4sinBcosB，
可得sinCcosB＝2sinBcosB，
当cosB＝0时，B＝，可得C＝π﹣A﹣B＝，由正弦定理，可得，解得c＝，可得S△ABC＝ac＝＝；
当cosB≠0时，可得sinC＝2sinB，由正弦定理可得c＝2b②，由①②解得b＝，c＝，可得S△ABC＝bcsinA＝××＝．
25. （2020秋•集宁区校级期中）
已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2＝b2+ac．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝2，△ABC的外接圆半径R＝，D为边AB上一点，且BD：AB＝1：3，求△BCD的面积．
【解答】解：（1）∵a2+c2＝b2+ac，
∴cosB＝＝＝，
∵0＜B＜π，
∴B＝；
（2）由正弦定理可得＝2R＝，
∴b＝，
∵a2+c2＝b2+ac，
∴4+c2＝7+2c，
解得c＝3，c＝﹣1（舍去），
∵BD：AB＝1：3，
∴BD＝1，
∴S△BCD＝BD•BC•sinB＝×1×2×＝．
26. （2020秋•莱州市月考）
在四边形ABCD中，∠A＝∠C，E是AD上的点且满足ΔBED与ΔABD相似，，，DE＝6．
（1）求BD的长度；
（2）求三角形BCD面积的最大值．

【解答】解：（1），
在△BDE中，，
即，
所以，
解得；
（2）因为ΔBED～ΔABD，
所以∠C＝∠A＝，
在三角形BDC中，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以三角形BCD面积的最大值为．
27. （2020秋•汝阳县月考）
在△ABC中，BC＝3，点D在线段AB上．
（1）若∠ADC为锐角，B＝，DC＝DA＝2，求角A的大小；
（2）若，AC＝5，CD＝3，求线段AB的长．
【解答】解：（1）在△BCD中，由正弦定理，整理得，
由于∠ADC为锐角，
所以∠BDC为钝角，
所以，
故，
由于DA＝DC，所以△ACD为等边三角形，
所以A＝．
（2）设BD＝3t，AD＝4t，
分别在△BDC和△ADC中利用余弦定理：，解得t＝1或﹣1（舍去），
所以AB＝7t＝7．