专题12概率与统计（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                        专题12    概率与统计

1.（2020·北京学业考试）

年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.

上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（    ）

A．2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降

B．2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降

C．2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米

D．2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年

【答案】B

【详解】

2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多，A错；

2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降，B正确；

2007年（含2007年）之前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C错；

2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D错．

故选：B．

2.（2020·湖北宜昌·月考）

在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：

由表中数据求得y关于x的回归方程为，则，，这三个样本点中，距离回归直线最近的点是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【详解】

由表中数据，计算，

，

代入回归方程中，

得，

解得；

所以时，；

时，；

时，；

综上，，，这三个样本点中距离回归直线最近的点是即．

故选：．

3.（2020·四川成都·月考（理））

已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，则，则，则，

故选：D.

4.（2020·贵州遵义·其他模拟）

2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；

则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；

该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；

该同学选到物理、地理两门功课的概率为.

故选：A.

5.（2020·四川成都·月考）

由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年月份的销售量(单位：万台)的一组相关数据如下表

若变量，具有线性相关性，，之间的线性回归方程为，则预计今年11月份的销量为（    ）万台.

A．580 B．570 C．560 D．550

【答案】A

【详解】

由，，则，

则回归方程为

则当时，

故选：A

6.（2020·沙坪坝·重庆八中月考）

已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（    ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【详解】

由题，，

，

.

故选：C

7.（2020·定远县育才学校月考）

某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（    ）．

A．收入最高值与收入最低值的比是

B．结余最高的月份是7月

C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D．前6个月的平均收入为40万元

【答案】D

【详解】

由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是，故A正确；

由图可知，结余最高为7月份，为，故B正确；

由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；

由图可知，前6个月的平均收入为万元，故D错误.

故选：D.

8.（2020·甘肃兰州一中月考）

某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

【答案】C

【详解】

详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，

所以，

若，则，不合题意；若，则，不合题意；

若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．

9.（2020·湖南郴州·月考）

《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成（“____”表示一根阳线，“_ _”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

从八卦中任取两卦，基本事件总数，

这两卦的阳线数目相同的基本事件有种，分别为：

（兑，巽），（兑，离），（巽，离），

（坎，艮），（艮、震），（坎、震），

这两卦的阳线数目相同的概率为．

故选：C

10.（2020·广东月考）

在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是(  )

A． B．

C． D．（）

【答案】B

【详解】

散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B．

11.（2020·湖北随州·期末）

袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球二白球，

，

故选：D.

12.（2020·陕西西安·月考（理））

甲､乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲､乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（    ）

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48

【答案】B

【详解】

目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况，

所以目标至少被命中一次的概率为，

目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，

所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为：，

所以甲命中目标概率为，

故选：B

二、填空题

13．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则_________．

【答案】

【详解】

依题意可知的可能取值为，且：

，

，

，

，

所以.

故答案为：

14.（2020·北京八中期末）

袋中有5个大小完全相同的球，其中2个黑球，3个白球.不放回地连续取两次，则已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________.

【答案】

【详解】

记事件为“第一次取得黑球”，事件为“第二次白球”：则，

，

所以已知在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为

.

故答案为：.

15.（2020·陕西西安·高新一中高三期末（理））

甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为________.

【答案】

甲得冠军则有：甲第四场胜，概率为；

或第四场负，第五场胜，概率为，

甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为.

故答案为:.

16．（2019·奈曼旗实验中学期中（理））

某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.

【答案】200

【详解】

设没有发芽的种子数为，则有，

由题意可知服从二项分布，即,

则，所以.

故答案为：200.

17．（2020·六安市城南中学月考（理））

六安市一次高三年数学统考，经过抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.某校有800人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于分的人数为________.数据参考：若服从正态分布则，，，

【答案】160

【详解】

因为成绩近似服从正态分布，且，

所以，

因此该校数学成绩不低于分的人数为.

故答案为：.

18.（2020·河北巨鹿中学月考）

邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______.

【答案】10

【详解】

解：依题意，，

代入回归直线方程得①，

根据题意②，

解①②组成的方程组得.

故答案为：.

三、解答题

19.（2020四川绵阳四诊断）

为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；

（2）若该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？

（参考公式：回归方程＝x，其中＝，＝﹣）

【解答】解：（1），

．

＝﹣14，＝0.7．

∴＝＝，＝﹣＝80+20×8.5＝250．

∴y关于x的线性回归方程为y＝﹣20x+250；

（2）设工厂获得的利润为L万元．

则L＝（x﹣4）（﹣20x+250）＝﹣20（x﹣8.25）2+361.25．

∴预测把单价定为8.25元时，工厂获得最大利润，最大利润为361.25万元．

20.（2020四川广元三模）

冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有4份需检验血液．

（Ⅰ）假设这4份需检验血液有且只有一份为阳性，从中依次不放回的抽取3份血液，已知前两次的血液均为阴性，求第3次出现阳性血液的概率；

（Ⅱ）现在对4份血液进行检验，假设每份血液的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，据统计每份血液是阳性结果的概率为，现在有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验．

方式二：混合检验，将4份血液分别取样混合在一起检验（假设血液混合后不影响血液的检验）．若检验结果为阴性，则这4份血液全为阴性，检验结束；如果检验结果为阳性，则这4份血液中有为阳性的血液，为了明确这4份血液究竟哪几份为阳性，就要对这4份再逐份检验．从检验的次数分析，哪一种检验方式更好一些，并说明理由．参考数据：．

【解答】解：（Ⅰ）这4份需检验血液有且只有一份为阳性，从中依次不放回的抽取3份血液，已知前两次的血液均为阴性，第3次出现阳性血液的概率；相当于在4份血液中，去掉2份隐性，余下的2份中，抽取1份为阳性的概率：．

（Ⅱ）方式一：检验次数4次．

设方式二需要需检验的次数为．根据题意有的可能取值为1，5．，．

所以：的分布列为：

所以：．

因为：，

所以：．

所以：从检验的次数分析，方式二更好一些．

21.（2020四川成都七中）

成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）．根据检查结果：得分在，评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在，评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在，评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在，评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：

（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；

（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为，求的分布列与数学期望．

【解答】解：（1）得分，的频率为；得分，的频率为；

得分，的频率为；

所以得分，的频率为．

设班级得分的中位数为分，于是，解得．

所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70．

（2）由（1）知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4，0.2，0.1．又班级总数为40．于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12，16，8，4．

分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3，4，2，1．

由题意可得的所有可能取值为1，2，3，4，5，6

，．

所以的分布列为

．

所以的数学期望．

22.（2020·海南高三一模）

为了解国内不同年龄段的民众旅游消费的基本情况.某旅游网站从其数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额数据如下表所示；

把一年旅游消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.

（1）从这些客户中随机选一人.求该客户是高消费的中老年人的概率；

（2）估计低消费的年轻人的平均消费；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.

附表及公式：，其中

【详解】

（1）样本中总客户数为1000，其中高消费的中老年人有200人，

随机选一人，则该客户是高消费的中老年人的概率为.

（2）样本中低消费的年轻人的平均消费为（千元）.

（3）2×2列联表如下：

，

因为，所以有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.

23．（2020·广西其他模拟（理））

某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．

（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）

【详解】

(1)抽取的5人中男员工的人数为，

女员工的人数为.

(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.

所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

根据题意，，

，.

随机变量X的分布列是：

数学期望.

（3）.