专题13复数（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版)

                          专题13　复数

一、选择题

1.（2020秋•镇江期中）

已知＝i（i为虚数单位，a∈R），则a＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【答案】D

【解答】解：∵＝i，

∴a+i＝i（1﹣2i）＝2+i，

故a＝2，

故选：D．

2.（2020秋•蒸湘区校级期中）

已知复数z＝1+i，则|z2﹣1|＝（　　）

A．5 B．2 C． D．2

【答案】C

【解答】解：由复数z＝1+i，

得z2﹣1＝（1+i）2﹣1＝2i﹣1．

∴|z2﹣1|＝＝，

故选：C．

3.（2020秋•聊城期中）

如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解答】解：＝＝i，

∵复数为“等部复数”

∴﹣a＝1

∴a＝﹣1

故选：A．

4．（2020秋•建瓯市校级月考）

已知，则|z|＝（　　）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【解答】解：＝＝﹣1﹣2i，

则|z|＝．

故选：C．

5．（2020秋•平和县校级期中）

已知（2﹣i）＝i2021，则复平面内与z对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解答】解：由（2﹣i）＝i2021＝i，

得 ＝＝＝＝﹣+i，

∴z＝﹣﹣i．

∴复平面内与z对应的点在第三象限．

故选：C．

6．（2020秋•江津区校级期中）

复数的实部与虚部之和为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：复数＝＝（﹣1+2i）＝﹣+i，

所以它的实部与虚部之和为﹣+＝．

故选：C．

7．（2020秋•湖北期中）

复数z对应的向量与共线，且|z|＝10对应的点在第三象限，则＝（　　）

A．6+8i B．6﹣8i C．﹣6﹣8i D．﹣6+8i

【答案】D

【解答】解：设复数z＝x+yi，x、y∈R；

由z对应的向量与共线，

所以4x﹣3y＝0，…①

又|z|＝10，所以x2+y2＝100，…②

由①②解得或；

又z对应的点在第三象限，

所以z＝﹣6﹣8i，

所以＝﹣6+8i．

故选：D．

8.（2020秋•海淀区校级期中）

已知复数z的共轭复数＝，i是虚数单位，则复数z的虚部是（　　）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

【答案】A

【解答】解：＝＝＝＝﹣i，

则z＝i，

则复数z的虚部是1，

故选：A．

9.（2020秋•汕头校级期中）

已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则|z+a|＝（　　）

A． B．3 C．5 D．

【答案】A

【解答】解：∵复数为纯虚数，

即z＝＝＝为纯虚数，

∴a+2＝0且2a﹣1≠0，

∴a＝﹣2，

∴z＝﹣i，

∴|z+a|＝|﹣2﹣i|＝＝，

故选：A．

10．（2020秋•沙坪坝区校级月考）

在复平面内，若复数z＝（m﹣2）+（m+1）i对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）

【答案】A

【解答】解：z＝（m﹣2）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，

可得，解得﹣1＜m＜2，

故选：A．

11.（2020秋•山西月考）

如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+的虚部为（　　）

A．1 B．3 C．﹣1 D．2

【答案】B

【解答】解：由图可知，z1＝1+2i，z2＝2﹣i，

则z1+＝＝＝1+2i+＝1+3i．

∴复数z1+的虚部为3．

故选：B．

12.（2020秋•赤峰月考）

若（a，b∈R）与（1+i）2互为共轭复数，则a+b的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3

【答案】A

【解答】解：∵＝＝b﹣ai，（1+i）2＝2i，

又 与（1+i）2互为共轭复数，

∴b＝0，a＝2．

则a+b＝2．

故选：A．

13．（2020秋•南京期中）

已知i是虚数单位，设复数a+bi＝，其中a，b∈R，则a+b的值为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【答案】D

【解答】解：由a+bi＝，得（a+bi）（2+i）＝2﹣i，

则（2a﹣b）+（a+2b）i＝2﹣i，

∴，解得，

∴a+b＝．

故选：D．

14．（2020秋•全国月考）

i是虚数单位，若复数z满足＝，则||的值为（　　）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【解答】解：由＝，得z＝，

∴．

故选：C．

15．（2020秋•浙江月考）

已知a∈R，若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位）是纯虚数，则a＝（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【答案】B

【解答】解：∵a∈R，若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位）是纯虚数，

则 a2﹣a＝0，a≠0，求得a＝1，

故选：B．

16．（2020秋•高新区校级月考）

已知z（1﹣2i）＝i，则下列说法正确的是（　　）

A．复数z的虚部为 

B．复数z对应的点在复平面的第二象限 

C．复数z的共轭复数 

D．|z|＝

【答案】B

【解答】解：由z（1﹣2i）＝i，得z＝，

∴复数z的虚部为，故A错误；

复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第二象限，故B正确；

复数z的共轭复数，故C错误；

|z|＝，故D错误．

故选：B．

17．（2020春•浙江月考）

若复数z＝+bi（b∈R，i为虚数单位），满足z•＝Im（），其中为z的共轭复数，Im（）表示的虚部，则|的值为（　　）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解答】解：∵z＝+bi，∴z•＝，Im（）＝﹣b，

由题意，，即4b2+4b+1＝0，得b＝﹣．

∴，

则．

故选：A．

18.（2020秋•聊城月考）

若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1＝﹣1+2i，则复数的共轭复数为（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．

【答案】D

【解答】解：∵z1＝﹣1+2i，又复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，

∴z2＝1+2i，

则＝＝＝＝+i，

则复数的共轭复数为﹣i，

故选：D．

二．填空题

19．（2020秋•巩义市校级月考）

已知复数z＝3﹣4i，则＝　　．

【答案】．

【解答】解：∵z＝3﹣4i，∴||＝|z|＝，

则＝．

故答案为：．

20.（2020秋•海门市校级期中）

已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足：i2kz＝1﹣i，则当k为奇数时，z＝　　；当k∈Z时，|z+1+i|＝　　．

【答案】﹣1+i，2．

【解答】解：k是奇数时：i2k＝﹣1，

∵i2kz＝1﹣i，

∴z＝﹣1+i，

∴|z+1+i|＝2，

k是偶数时：i2k＝1，

∵i2kz＝1﹣i，

∴z＝1﹣i，

∴|z+1+i|＝2，

综上，|z+1+i|＝2，

故答案为：﹣1+i，2．

21．（2020秋•海淀区校级期中）

设复数z1，z2满足图|z1|＝|z2|＝2，且z1+z2＝﹣i，其中i为虚数单位，则|z1﹣z2|＝　2　．

【答案】2

【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），

∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2+b2＝4，c2+d2＝4，

∵z1+z2＝（a+c）+（b+d）i＝，

∴a+c＝，b+d＝﹣，

∴a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，

∴ac+bd＝﹣2，

∴|z1﹣z2|＝|（a﹣c）+（b﹣d）i|＝＝＝＝2．

故答案为：2．

22.（2020秋•香坊区校级月考）

若复数z满足z＝0，则复数|z﹣3﹣3i|的最大值与最小值的乘积为　　．

【答案】24．

【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z＝0，

得a2+b2+2a＝0，即（a+1）2+b2＝1．

复数z在复平面内对应的点在以A（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆上，

|z﹣3﹣3i|＝表示z在复平面内的点到点P（3，3）的距离，

∴|z﹣3﹣3i|的最大值为|PA|+1＝，

最小值为|PA|﹣1＝．

∴复数|z﹣3﹣3i|的最大值与最小值的乘积为6×4＝24．

故答案为：24．

22．（2020春•包河区校级月考）

已知a∈R，i为虚数单位，若a+＜0，则a的值为　　．

【答案】﹣1．

【解答】解：∵a+＝

＝a+i＜0，

∴，解得a＝﹣1．

故答案为：﹣1．

23．（2020•合肥自主招生）

若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是　．　．

【答案】（﹣1，]．

【解答】解：由题意设z＝，则

|z+1|﹣|z﹣i|＝，

其几何意义为平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差，

由图可知，当A，B，C三点共线时，距离之差最大，当b→﹣∞时，最小，

则0﹣1＝﹣1＜|z+1|﹣|z﹣i|≤．

∴|z+1|﹣|z﹣i|的取值范围是（﹣1，]．

故答案为：（﹣1，]．