专题01集合与简易逻辑（解析版）-高三数学（理）百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版)

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A．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C．a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D．a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
【答案】D
【解析】
“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故选：D
2.（2020·云南曲靖一中其他（理））
给出下列两个命题：命题：空间任意三个向量都是共面向量；命题：“”是“”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题错，为假命题；
由解得，由解得，故“”不是“”的充要条件，故命题错，为假命题；
所以为真命题.
故，，为假命题，为真命题
故选:D.
3．（2020·广西其他（理））
已知，“”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若，则，则且，所以，则成立.
当时，满足，但不一定成立，
所以是的充分不必要条件.
故选:A.
4．（2020·海南期中）
已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
因为，所以，．又，∴．
故选：D．
5．（2020·四川成都·月考（理））
“”是“函数是定义在上的减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
因为函数是定义在上的减函数，
所以，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数是定义在上的减函数”的必要不充分条件，
故选：B.
6. （2020·北京二模）
已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在上单调递增”是“0＜ω≤2”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
∵，∴，
由于函数f（x）在上单调递增，
∴（）解得，（）
故只能取，即，
∴“函数f（x）在上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考）
设等比数列的公比为，前项的和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，，，
故，
因为在等比数列中，，故,
故“”是“”的充要条件.
故选：C．
8. （2020·四川其他（文））
命题函数的最小正周期为的充要条件是；命题定义域为的函数满足，则函数的图象关于直线对称.则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
对于命题p：
，
有最小正周期
当时，有，
则有最小正周期
∴命题p为假命题
对于命题q：
函数的图象关于直线对称
函数的图象关于直线对称即存在点关于对称，有且 ，即有
∴命题q为真命题
故，为真命题，为假命题
结合选项知：为真命题
故选：C
9. 已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M＝{（x，y）|y＝csx}；③M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}；④M＝{（x，y）|y＝lgx}．其中所有“理想集合”的序号是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【解析】解：①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，
所以不满足理想集合的定义，不是理想集合．
②在函数y＝csx上存在点（0，1）、（，0），满足x1x2+y1y2＝0成立，
满足理想集合的定义，满足条件；
③M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}，如图在曲线上两点构成的直角始终存在，
例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），
满足理想集合的定义，所以正确．
④M＝{（x，y）|y＝lgx}，如图取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是理想集合．
故选：B．
10．已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠∅．设集合（∁UA）∩（∁UB）有x个元素，则x的取值范围是（ ）
A．3≤x≤8，且x∈NB．2≤x≤8，且x∈N
C．8≤x≤12，且x∈ND．10≤x≤15，且x∈N
【答案】A
【解答】解：因为A∩B≠∅，当集合A∩B中仅有一个元素时，
集合（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）中有3个元素，
当A∩B中有6个元素时，
集合（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）中有8个元素，
所以得到3≤x≤8且x为正整数．
故选：A．
11．【北京市2020届高三】
设全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A，B都是I的子集，若A∩B＝{1，3，5}，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（ ）
A．7个B．8个C．27个D．28个
【答案】C
【解答】解：A，B中都含有元素1，3，5，只要将元素2，4，6投向“篮筐”A、B，“篮球”2可能落入A中、B中或A，B之外，但不可能同时落入A、B中，同样，4和6投出后的入筐方式总数即对应理想配集的个数，有3×3×3＝27个．
故选：C．
12. （2020·河南信阳·高三月考（文））
已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
13．（2020·福建厦门一中月考）
已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
,
因为，所以，
所以，解得： ，
解方程得：或，
所以，
所以
故选：B
14．（2020·河南月考（文））
下列说法中正确的个数为（ ）
①“方程表示的是圆”是“”的充分不必要条件；
②中，“”是“为等边三角形”的充要条件；
③若、为非零向量，则“”是“、的夹角是锐角”的必要不充分条件.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于命题①，若方程表示的是圆，
则，解得或，
由于或，
故“方程表示的是圆”是“”的必要不充分条件，①错误；
对于命题②：充分性：若为等边三角形，则，充分性成立；
必要性：取，，，则成立，
但不是等边三角形，即必要性不成立.
所以，“”是“为等边三角形”充分不必要条件，②错误；
对于命题③：由于、为非零向量，设、的夹角为.
充分性：，则，，则，
所以，、的夹角是锐角或、方向相同，充分性不成立；
必要性：若、的夹角为锐角，则为锐角，所以，，
则，即必要性成立.
所以，“”是“、的夹角是锐角”的必要不充分条件，③正确.
故选：B.
15. （2020·河南平顶山·高三月考（文））
在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
在中，若，
由正弦定理，，
所以，
∴，
为等腰直角三角形；
反之，为等腰三角形，
不一定成立
所以“是为等腰三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2020·上海市新场中学月考）
已知两内角的对边边长分别为，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】C
【解析】
∵为两内角且对应边的边长分别为，
∴当时，有，即，
当时，有，又，有，所以；
综上知：“”是“”的充要条件.
故答案为：C
17．（2020·北京人大附中三模）
“”是“函数与函数为同一函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；
若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，
所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，
故选：A.
18.【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】
设为非零向量，则“，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
证充分性
所以，即充分性成立
证必要性
因为
所以，即
则向量反向，即存在，使得
由，则
所以，，即必要性成立
所以 “，”是“”的充分必要条件
故选：C
19. （2020·安徽合肥一中高三月考（文））
以下三个命题：①“x＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；则￢p是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
①项，当时，则，故充分性成立，
令，解得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故①正确；
②项，若为假命题，则，至少有一个为假命题，不一定均为假命题，故②错误；
③项，特称命题的否命题是全称命题，所以命题，使得的否定为：
，均有，故③正确，
综上所述，正确的命题为①和③，共2个.
故选：B.
20．（2020·云南师大附中高三月考（理））
已知平面向量，，命题“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
，
而与之间没有必然的联系，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
二、填空题
21.（2020·山西太原五中月考（理））
已知条件，条件．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
由，得，即．
又，且是的必要不充分条件，
∴qp，
则．
∴实数的取值范围是．
故答案为：．
22．（2020·四川成都七中高三月考）
已知集合，有下列三个关系①；②；③，若三个关系中有且只有一个正确的，则_______________.
【答案】5
【解析】
若①正确，②③错误，则，，，矛盾，不成立；
若②正确，①③错误，则，，，矛盾，不成立；
若③正确，①②错误，则，，，成立，；
综上所述：.
故答案为：.
23．2020·福清西山学校期中（理））
设A是由满足下列性质的函数构成的集合：在函数的定义域内存在，使得成立.已知下列函数：①；②；③；④.其中属于集合A的函数是________.（写出所有满足要求的函数的序号）
【答案】①
【解析】
对于①，对于函数，
其定义域为R.
令，
得，
显然是其一个解，
故函数是属于集合A的函数；
对于②，对于函数，
其定义域为.
令，
得方程，
得，
没有实数解，
故函数是不属于集合A的函数；
对于③，对于函数，
其定义域为，
令，
得方程，
化简得，
得，
显然此方程无实数解，
故函数是不属于集合A的函数；
对于④，对于函数，
其定义域为，
令，
得方程，
得，
得，
显然此方程也无实数解，
故函数是不属于集合A的函数.
综上，属于集合A的函数是①.
故答案为：①.
24．（2020·辽宁省实验中学东戴河分校高三月考）
若集合满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合的不同分拆种数是_______．
【答案】27
【解析】
因为集合A中有三个元素，所以
当时必须，分拆种数为1；
当有一个元素时，分拆种数为；
当有2个元素时，分拆总数为；
当时，分拆种数为．
所以总的不同分拆种数为．
故答案为：27.
25.（2020·内蒙古赤峰·月考（理））
设有下列四个命题：
：若，则；
：“”是“的解集为”的充要条件；
：，使成立；
：若，则.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① ② ③ ④
【答案】③④
【解析】
由不等式的性质可知若，则，为真命题；
“”时“的解集不是”， 为假命题；
因为，， 为假命题；
因为若，则的逆否命题为真命题，所以为真命题，
可得为假命题，为真命题，
所以①为假命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，
故答案为：③④
26．（2020·内蒙古赤峰·月考（理））
记，命题，，命题，.若命题是真命题，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
表示的区域如图所示的正方形边界：
，，
若命题是真命题，则命题和命题都是真命题.
由题意作图：
图中阴影部分为正方形边界取值范围，由图象得：
当圆内切于正方形时取最小值，
则，所以，
又由图象易得，
∴的取值范围为.
故答案为：.
27．（2020秋•黄浦区校级月考）
设数集，，且集合M、N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，如果把b﹣a称为非空集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的取值范围为 ．
【答案】[，]．
【解答】解：根据题意，，则集合M的“长度”为，
N＝{x|n﹣≤x≤n}，则集合N的“长度”为．
而M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，
当N⊆M时，M∩N的“长度”最大值为集合N的“长度”，即，
当M与N应分别在区间[0，1]的左右两端时，集合M∩N的“长度”最小，为+﹣1＝，
即集合M∩N的“长度”的取值范围为[，]，
故答案为：[，]．