初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形精品复习练习题

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13.3.2等边三角形


一、单选题
1．如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点评】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
2．如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）

A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由是等边三角形，可得∠B=60°，由是边上的中线，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】∵是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，
∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故选择：B．
【点评】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
3．如图，在等边中，，点E在中线上，现有一动点P沿着折线运动，且在上的速度是4单位/秒，在上的速度是2单位/秒，当点P从A运动到C所用时间最少时，长为（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】作于点，求出点运动时间为，则最短时满足题意．
【详解】作于点，
则点在上运动时间为，，

，
，
，
当，，共线时，点运动时间最短，
为三角形中线，点为重心，
，，
，
∴．
故选：D．
【点评】本题考等边三角形性质，解题关键是掌握三角形重心将中线分成1：2两部分．
4．已知锐角∠AOB，如图：
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．其中正确的有（　　）

A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③
【答案】B
【分析】根据作法可得△POC≌△POD，从而可判断③正确，根据作法知：PC＝PD，OC＝OD，根据线段垂直平分线的判定知④正确，由作法知△PCD是等边三角形，及CD⊥OP，可得②正确，至于①则不一定正确．
【详解】由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
在△POC和△POD中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，故③正确，
由作图可知，PC＝CD＝PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP⊥CD，故④正确，
∵∠CPQ＝∠DPQ＝30°，
∴CP＝2QC，故②正确，
∵∠ODC显然不一定是60°，
∴PC与OD显然不平行，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的定义与性质，线段垂直平分线的判定，尺规作图等知识，关键是根据作图得出题目的条件．
5．如图，在中，，，DE垂直平分AB，交BC于点E，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质计算．
【详解】垂直平分，
，
，
，
(cm) ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形判定和性质以及30°直角三角形的性质．掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】A
【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】A、逆命题：两直线平行，同位角相等，
此逆命题是真命题，此项符合题意；
B、逆命题：锐角三角形是等边三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
C、逆命题：若两个角相等，则它们是直角，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
D、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与逆命题、平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定等知识点，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
7．如图，直角梯形纸片对边，是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边交AB于点G，FH平分交AC于点H，则结论：①；②；③；④，则，其中正确结论的个数为（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠的性质可得∠GFE=∠EFD，可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②，由角平分线的性质和平角的性质可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵无法证明△GEF是等边三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴∠BEF==125°，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，梯形的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
8．如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等边三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，
∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，
∴△CPQ是等边三角形；
∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，
∴PD=QE，，

过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴，
∴CG=CH，
∴平分，
∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．
∴④的说法是错误的；
故答案为①②③，
故选B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．


二、填空题
9．在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____．

【答案】
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可知平分，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】在中，，，
，
由角平分线的尺规作图可知，平分，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．
10．如图，在中，，点D是上一点，，若，则_______．

【答案】75°
【分析】作于点，连结，作于点，则，，根据三角形的外角定理得到，从而得出，，根据等腰直角三角形的性质可求出，最后得到．
【详解】作于点，连结，作于点，

设，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记相应的性质是解题的关键．
11．如图，在边长为6的菱形中，为其对角线，，点、分别是边、上的动点，且．连接、、，交于点．则点到直线的距离的最大值为________．


【答案】
【分析】根据菱形的性质得到为等边三角形，再证明，继而证明是等边三角形，当时，作于，结合含30°角的直角三角形解得的长，在中，由勾股定理解得的长．
【详解】
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、勾股定理、四边形中线段最短等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西60°方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为______．

【答案】1500米
【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
【详解】如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，

∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C处看M点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°，
∴在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝MC＝500，
∵AC＝2000米，
∴AN＝AC−NC＝2000−500＝1500（米）．
故答案是：1500米．
【点评】本题主要考查了方向角的含义，含30°角的直角三角形的性质，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．
13．如图1，正的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正，再把正的各边延长一倍得到正（如图2），如此进行下去，......，则（1）正的面积为______；（2）正的面积为______（用含有的式子表示，为正整数）．

【答案】7
【分析】先根据已知条件求出及的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】△ABC与△A1AB1底相等（AC=AA1），高为1：2（AB1=2AB），
∴面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，∴．
同理可得，的面积=的面积=2
∴的面积=的面积+的面积+的面积+的面积=2+2+2+1=7；
同理可证的面积=7的面积=49，
∴如此下去，则正AnBnCn的面积=7n．
故答案为：7，7n．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积，根据题意得出找出规律是解答此题的关键．
14．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，点E在边AB上，点F在AC的延长线上，且DE＝DF，∠EDF＝120°，过点D作DG⊥AC于点G，若DG＝GF，则BE+CF＝_____________．

【答案】
【分析】作DM⊥AB于M，根据等边三角形的性质和三角形内角和求得∠GDC＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】作DM⊥AB于M，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝2，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC＝1，
∵DG⊥AF，
∴∠GDC＝30°，
∴GC＝DC＝，DG＝GC＝，
∵DG＝GF，
∴GF＝，
∴CF＝，
∵DG＝GF，
∴GDF＝45°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝75°，
∴∠EDC＝105°，
∴∠BDE＝75°，
∴∠BED＝45°，
∵DM⊥AB，
∴∠MED＝∠MDE＝45°，
∴ME＝MD，
∵∠B＝60°，
∴BM＝BD＝，MD＝，
∴ME＝，
∴BE＝，
∴BE+CF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质进行解答．

三、解答题
15．如图，，，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．如图a，已知点，点C为x轴上一动点，连接，和都是等边三角形．

（1）求证：；
（2）如图b，当点D恰好落在上时．
①求的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图c，点M是线段上的动点（点B，C除外），过点M作于点G，于点H，当点M运动时，的值是否发生变化？简要说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①，；②存在，，或；③不会变化，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当时，当，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，

∴，
∴；
（2）解：①∵点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过E作轴于F，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
②存在，如图d，当时，

∵，
∴，，
∴，；
当，
∵，
∴是等边三角形，
∴，重合，
∴当为等腰三角形时，，或；
③不会变化，如图c，连接，

∵，
∵，
∴，
∴的值不会发生变化．
【点评】本题是三角形综合题型，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE的长．

【答案】（1）见详解；（2）4-2
【分析】（1）此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△ECB，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．
（2）根已知条件得到：∠CBE＝∠ADB＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得BD和AD的长度，再结合△ABD≌△ECB，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD于E，
∴∠A＝∠CEB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ADB．
又∵BD＝BC，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∵∠DCE＝15°，CE⊥BD于E，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠BCE＝60°，∠CBE＝∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AB＝2．
∴BD＝4，AD＝2，
∵△ABD≌△ECB，
∴BE=DA=2，
∴DE=BD- BE=4-2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，含30°角的直角三角形的性质，此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决问题，是关键．
18．将两个完全相同的含角直角三角板如图所示放置，

（1）求证：；
（2）连接，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【分析】（1）欲证△ADF≌△CDE，已知有∠E=∠F=30°，∠EDC=∠FDA，因此还差一条边对应相等；由已知有BE=BF，根据直角三角形中30°角的性质，可得BC=BF，AB=BE，则必有EC=FA，从而可证得结论成立；
（2）由（1）可得CD=AD，又DC⊥BE，DA⊥BF，由角平分线的判定定理即可得BD平分∠ABC，从而可求得∠ABD的度数．
【详解】（1）∵三角板ABE、三角板CBF是两块一样的直角三角板
∴BE=BF，∠E=∠F=30°，∠EAB=∠FCB=90°
∴ BC=BF，AB=BE
∴BC=AB
∴BE−BC=BF−AB
∴EC=FA
在△ADF和△CDE中

∴ △ADF≌△CDE（AAS）
（2）∵△ADF≌△CDE
∴AD=CD
∵∠EAB=∠FCB=90°
∴BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC
∵∠ABC=90°−∠E=60°
∴∠ABD=30°
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理、直角三角形30°的性质；关键是根据直角三角形30°角的性质得出BC= AB ．
19．如图，在中，为的中点，，，垂足分别为，，且，，求证：是等边三角形．

【答案】证明见解析
【分析】用HL证△BED≌△CFD，得出∠B=∠C,再证∠B=60°即可．
【详解】证明：∵，，
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵，
∴∠B=60°，
是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用直角三角形的全等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明．
20．如图，等边△ABC的边长为．点P从点C出发，沿C→B→A→C的方向运动，速度为；同时点Q从点B出发，沿B→A→C的方向运动，速度为，两个点有一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当时，BP= （用含的式子表示）；
（2）当= 时，PQ//BC，此时，△APQ是 三角形；
（3）当时，求的值．

【答案】（1） ；（2） ，等边；（3）当时，或．
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可判断当时，点P在边AB上，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，可证△APQ是等边三角形，可得AP＝AQ，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由BP＝2cm，列出方程可求解．
【详解】（1）解：由题意得当时，点P在边AB上，
∴BP=（cm），
故答案为： ；
（2）如图，∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ，
∴20﹣4x＝3x﹣10，
∴，
∴当时，PQ∥BC，此时△APQ是等边三角形；

故答案为：，等边；
（3）当点P在BC上时，
∴10﹣4x＝2，
∴x＝2，
当点P在AB上时，
∴4x﹣10＝2，
∴x＝3，
∴当BP＝2cm时，x＝2或3．
【点评】本题为等边三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键．
21．如图．已知点和点在线段上，且，点和点在的同侧，，，和相交于点．

（1）求证：；
（2）当时，猜想的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是等边三角形，见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质可得∠HDB＝∠HBD，由外角性质可得∠HDB＝∠HBD＝60°，可证△HDB是等边三角形．
【详解】（1）证明：，
，
．
又，，
，
；
（2）是等边三角形；
理由：∵，
∴，
，
．
，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证明△ABC≌△EDF是本题的关键．
22．如图，是等边三角形，D是上一点，延长到E，使，连接，．

（1）如图，若D是的中点，直接写出与的数量关系是______．
（2）若D是AC上任意一点，判断与的数量关系，并画图证明．
【答案】（1）BD=DE；（2）结论为：=，证明见详解．
【分析】（1）由是等边三角形，可得∠ABC=∠ACB=60°，由D是的中点，可得BD平分∠ABC，AD=DC，∠DBC=，由AD=CE，可得CD=CE，可求∠E=∠CDE=，可得∠DBC=∠E=30°即可；
（2）结论为：=，过D作DF∥BC交AB于F，可证△AFD为等边三角形，可证△BFD≌△DCE（SAS）即可；
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵D是的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=DC，
∴∠DBC=，
∵AD=CE，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE=，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
故答案为：BD=DE；
（2）结论为：=过D作DF∥BC交AB于F，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△AFD为等边三角形，
∴FD=AD=CE=AF，
∴BF=AB-AF=AC-AD=CD，
∴∠BFD=180°-60°=∠DCE，
在△BFD和△DCE中，
，
∴△BFD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE．

【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，准确作出辅助线是解题关键．