初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形当堂达标检测题

13.3.2　等边三角形

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．三条边都相等的三角形是等边三角形．(√)

2．三个角都相等的三角形是等边三角形．(√)

3．有一个角是60°的三角形是等边三角形．(×)

4．有一个角等于30°的三角形，它所对的边等于最长边的一半. (×)

5．在△ABC中，若 AB＝BC＝AC，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.(√)

知识点1　等边三角形的性质

1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　D　)

A．4    B．30    C．18    D．12

【解析】∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，

∴△ADE的周长为12.

2．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__30__°.

【解析】∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠BAC＝30°.

3．(2020·阜新中考)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为__102°__．

【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∵∠1＝42°，a∥b，

∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°.

知识点2　等边三角形的判定

4．(易错警示题)下列推理中，错误的是(　B　)

A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形

B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形

C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形

D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形

【解析】选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的．

5．(2021·长沙期中)如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．

【证明】∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，

∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，

∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，

∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，

∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，

∴△DEF是等边三角形．

6.(2021·北京期中)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．

【证明】∵∠A＝120°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

∴∠BDE＝∠CDF＝60°，

∴∠EDF＝60°，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BDE与△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(ASA)，

∴DE＝DF，

∴△DEF是等边三角形．

知识点3　含30°角的直角三角形的性质

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝

3 cm，则BD的长度是(　C　)

A.3 cm       B．6 cm

C．9 cm       D．12 cm

【解析】在Rt△ABC中，

∵CD是斜边AB上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，

∵AD＝3 cm，

在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，

在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.

∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm).

8．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　D　)

A.1    B．2    C．3    D．4

【解析】如图，过点P作PE⊥ON，

∵OP平分∠MON，

∴∠1＝∠2，

∵PQ∥OM，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，

∴OQ＝PQ，∠4＝30°，

∴PQ＝2PE＝4，

∴OQ＝PQ＝4.

9．(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为(　B　)

A.4 m    B．6 m    C．8 m    D．12 m

【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝12 m，∠A＝30°，

∴BC＝AB＝6 m．则立柱BC的长度为6 m．

10．(2021·珠海期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长．

【解析】∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AB⊥AD，

∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，

∵∠B＋∠ADB＝90°，

∴∠ADB＝60°，

∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，

∴∠DAC＝30°，

∴∠DAC＝∠C，

∴DC＝AD＝3 cm，

∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm).

关键能力·综合练

11.如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　B　)

A．12      B．16

C．20      D．24

【解析】∵AB＝AC，AC＝8，

∴AB＝8，

∵BD是高，

∴∠BDA＝90°，

∵∠A＝30°，

∴BD＝  AB＝4，

∴△ABC的面积＝×8×4＝16.

12．(2021·深圳质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　A　)

A.15°    B．30°    C．45°    D．60°

【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

即：AD是BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，∴BE＝CE，

∴∠EBC＝∠ECB，

∵∠EBC＝45°，

∴∠ECB＝45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.

13．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(　D　)

A.6      B．9

C．6       D．3

【解析】连接BD交AC于O，

∵AD＝CD，AB＝BC，

∴BD垂直平分AC，

∴BD⊥AC，AO＝CO，

∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，

∵AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC＝∠DCA＝60°，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，

∵AB＝BC＝，

∴AD＝CD＝AB＝3，

∴四边形ABCD的面积＝2××3×＝3.

14．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　B　)

A.300a元       B．150a元

C．450a元       D．225a元

【解析】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，

∵∠BAC＝150°，

∴∠DAC＝30°，

∵CD⊥BD，AC＝30 m，

∴CD＝15 m，

∵AB＝20 m，

∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150 m2，

∵每平方米售价a元，

∴购买这种草皮的价格是150a元．

15．(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.

【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，

∴∠B＝∠BCF，

∵△AFC为等边三角形，

∴∠AFC＝60°，

∴∠B＝∠BCF＝30°.

16．(2021·杭州期中)如图，AD，BE是等边△ABC的两条高线，AD，BE交于点O，则∠AOB＝__120__°.

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，∵AD，BE是等边△ABC的两条高线，

∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝30°，∴∠AOB＝180°－∠BAD－∠ABE＝180°－30°－30°＝120°.

17．如图，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，求AD的长．

【解析】∵BD⊥BC，在等边三角形ABC中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°.

又∵AD⊥BD，即△ABD是直角三角形，

∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半．

∵等边三角形ABC的周长为12，

∴其边长AB＝4.∴AD＝AB＝2.

18．(素养提升题)(2021·广州期中)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH.

(1)试证明AD＝BE；

(2)试证明△BCH≌△ACG；

(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°.

∴∠ACD＝∠ECB，

∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.

(2)∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBH＝∠CAG.

∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，

∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.

又∵AC＝BC，

∴△ACG≌△BCH.

(3)△CGH是等边三角形，理由如下：

∵△ACG≌△BCH，

∴CG＝CH，

又∵∠ACG＝60°，

∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).

模型　等边三角形判定定理1的应用模型

如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.

求证：△ADE是等边三角形．

【证明】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵AD⊥AC，AE⊥AB，

∴∠ADC＝∠AEB＝60°，

∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，

∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等边三角形．

应用模型：在△ABC中，

∵∠A＝∠B＝∠C，

∴AB＝BC＝CA.

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