资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩15页未读，
继续阅读
北师大版九年级下册1 二次函数教学设计及反思
展开
这是一份北师大版九年级下册1 二次函数教学设计及反思，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义四二次函数与图像学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义四二次函数与图像教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共27页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年度九上数学培优讲义（四）二次函数与图像
一．知识要点
1．二次函数的概念
一般地，形如 （、、是常数，）的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：（1）一般式： ；（2）顶点式：： ；
2．二次函数的图象及性质
二次函数（、、是常数，）
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
当时，随增大而 ；
当时，随增大而 ．
当时，随增大而 ；
当时，随增大而 ．
最值
当时，有最 值．
当时，有最 值．
3．二次函数图象的特征与、、及的符号之间的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
开口向上
开口向下
经过原点
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
与轴有唯一交点（顶点）
与轴有两个交点
与轴没有交点
4．二次函数图象的平移
抛物线与，，中相同，则图象的 和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
二、 精讲精练
【例题精讲】1．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，
对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，
故选：D．
【当堂练习】1对二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．最大值为﹣6
C．顶点（2，﹣6）
D．x＜﹣2时，y随x的增大而增大
【解答】解：A、由a＝﹣5＜0知抛物线开口向下，此选项说法正确，不符合题意；
B、由a＝﹣5＜0知抛物线在x＝﹣2时，取得最大值﹣6，此选项说法正确，不符合题意；
C．二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标为（﹣2，﹣6），此选项错误，符合题意；
D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【课后巩固】1关于二次函数y＝2（x+3）2+2，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．当x＝﹣3时，y有最大值，是2
C．对称轴为直线x＝3
D．当x≥﹣3时，y随x的增大而减小
【解答】解：关于二次函数y＝2（x+3）2+2，顶点坐标为（﹣3，2），故A正确；
当x＝﹣3时，y有最小值，是2，故选项B错误；
对称轴为直线x＝﹣3，故选项C错误；
当x≥﹣3时，y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：A．
【例题精讲】2．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【解答】解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选：A．
【当堂练习】2在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）经变换后得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），则下列变换正确的是（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
【解答】解：y＝（x+2）（x﹣4）＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，﹣9）．
y＝（x﹣2）（x+4）＝（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，﹣9）．
所以将抛物线y＝（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），
故选：C．
【课后巩固】2把抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣3（x+2）2﹣3
C．y＝﹣3（x﹣3）2+2 D．y＝﹣3（x﹣3）2﹣2
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故选：B．
【例题精讲】3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，若点P（﹣5，y1），Q（π，y2），R（5，y3）该抛物线上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＝y3＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2−42=−1，函数图象开口向下，
∴点P（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（3，y1），
∵﹣1＜3＜π＜5，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
【当堂练习】3已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝m（x+2）2+c（m＜0）上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：由抛物线y＝m（x+2）2+c（m＜0）可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣5，y1），
∵﹣5＜﹣4＜﹣2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【课后巩固】3已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−a2×(−2a)=14，
∴当x＞14时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（32，0），而1＜32＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【例题精讲】4．若二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＜6
【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有解，
∴k−2≠0△=16−4(k−2)≥0，
解得：k≤6且k≠2．
故选：B．
【当堂练习】4若函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【解答】解：当k＝0时，函数为y＝﹣2x﹣1，与x轴有一个交点（−12，0），
当k≠0时，若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则△＝（﹣2）2+4k≥0，
解得k≥﹣1且k≠0，
综上k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
【课后巩固】4已知：二次函数y＝kx2﹣3x﹣3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞−34 B．k＜34且k≠0 C．k＞−34且k≠0 D．k≥−34且k≠0
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x﹣3的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣3x﹣3有两个不等的实数根，
∴k≠0(−3)2−4k×(−3)＞0，
解得，k＜−34且k≠0，
故选：C．
【例题精讲】5．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（ ）
A．±7 或27 B．7 或±27 C．﹣4或7 D．1或﹣4或7
【解答】解：y＝x2+bx+b2的图象开口向上，对称轴为直线x=−b2，
①当−b2＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；
②当b≤−b2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x=−b2，y=34b2为最小值，
∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；
③当−b2＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
故b的值为7或﹣4．
故选：C．
【当堂练习】5已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，其中m为实数，当﹣2≤x≤0时，y的最小值为5，满足条件的m的值为（ ）
A．﹣5或17−12 B．﹣5或−17−12 C．0或17−12 D．0或−17−12
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴该函数的对称轴为直线x＝m，函数图象开口向上，
∵当﹣2≤x≤0时，y的最小值为5，
∴当m＜﹣2时，5＝（﹣2﹣m）2+m+1，得m1＝﹣5，m2＝0（舍去）；
当﹣2≤m≤0时，m+1＝5，得m＝4（舍去）；
当m＞0时，5＝（0﹣m）2+m+1，得m3=−1+172，m4=−1−172（舍去）；
由上可得，m的值是﹣5或−1+172，
故选：A．
【课后巩固】5已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．74或3或﹣2 B．74或﹣2 C．3或﹣2 D．以上均不对
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1，
∴该函数的对称轴为x＝m，函数图象开口向上，
当m＜﹣1时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝﹣1时，（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+1＝﹣2，得m＝﹣2；
当﹣1≤m≤2时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝m时，﹣m2+1＝﹣2，得m1=−3（舍去），m2=3；
当m＞2时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝2时，22﹣2m×2+1＝﹣2，得m=74（舍去）；
由上可得，m的值为﹣2或3，
故选：C．
【例题精讲】6．已知函数y＝|ax2﹣2x﹣a|，当﹣1≤x≤1时，y≤2，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．0＜a≤1 C．﹣1≤a≤1 D．﹣2＜a＜2
【解答】解：当a＞0时，y＝ax2﹣2x﹣a＝a（x−1a）2﹣a−1a，
∵﹣a−1a≤−2，
∴抛物线y＝a（x−1a）2﹣a−1a的顶点A纵坐标不大于﹣2，
即函数y＝|ax2﹣2x﹣a|在x=1a时的极值不小于2．
①若A′的纵坐标大于2，则﹣1≤x≤1时，y≤2，
则1＜1aa＞0，可得0＜a＜1．
②若A′（1a，2），且﹣1≤x≤1时，y≤2，
则f(−1)=|a+2−a|≤2f(1)=|a+2−a|≤2f(1a)=|a⋅1a2−2a−a|=a+1a=2，
∴a＝1，
∴0＜a≤1，
当a＜0时，同法可得，﹣1≤a＜0，
当a＝0时，y＝|2x|，当﹣1≤x≤1时，y≤2，
综上所述：﹣1≤a≤1，
故选：C．
【当堂练习】6．函数y＝﹣x2+6|x|﹣5上有一点P（b﹣a，2a﹣5b），若这样的P点有且只有4个，则b的取值范围为（ ）
A．−53＜b＜−13 B．13＜b＜53
C．13＜b＜53或b=−113 D．−113＜b＜13
【解答】解：点P在y＝﹣2x﹣3b的直线上，
∴只需考虑函数y＝﹣x2+6|x|﹣5与直线y＝﹣2x﹣3b有四个交点时b的范围即可，
当y＝﹣2x﹣3b与函数y＝﹣x2﹣6x﹣5有两个交点时，
﹣x2﹣4x﹣5+3b＝0，
△＝12b﹣4＞0，
∴b＞13，
当直线y＝﹣2x﹣3b经过（0，﹣5）时，有三个交点，
∴﹣3b＞﹣5，
∴b＜53，
∴13＜b＜53；
故选：B．
．y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间的图象与y＝﹣x2+2x+6+m的图象只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．7＜m≤21或m＝﹣11 B．5＜m≤23或m＝2
C．4＜m＜25或m＝﹣8 D．6≤m＜24或m＝8
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间，顶点为（1，﹣4），
∴当x＝﹣2时，y＝5；当x＝5时，y＝12；
∵y＝﹣x2+2x+6+m的对称轴x＝1，
∴顶点为（1，7+m），
当7+m＞﹣4时，m＞﹣11，
①当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m＞5，
∴m＞7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m≤12，
∴m≤21，
∴7＜m≤21；
②当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m≤5，
∴m≤7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m＞12，
∴m＞21，
∴m无解；
当7+m＝﹣4时，m＝﹣11，有一个交点；
综上所述：7＜m≤21或m＝﹣11，
故选：A．
【例题精讲】7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 x1＝﹣2，x2＝5 ．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【当堂练习】7抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解是 x1＝﹣1，x2＝6 ．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（6，0），
所以一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝6．
【例题精讲】8．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为 x1＝﹣8，x2＝﹣3 ．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
【当堂练习】8若抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，
∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），
将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），
∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【例题精讲】9．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）、（5，0）两点，若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个解为x＝4，则m＝ ﹣5或1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）、（5，0）两点，
∴关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5，
∵关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0可看作关于x+m的一元二次方程，
∴x+m＝﹣1或x+m＝5，
而关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个解为x＝4，
∴4+m＝﹣1或4+m＝5，
∴m＝﹣5或1．
故答案为﹣5或1．
【当堂练习】9已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为 m＝2或m＝﹣3 ．
【解答】解：由已知可得：
对称轴为x=12，
∴h=12，
∴y＝a（x−12）2+k，
将点A（﹣2，0）代入y＝a（x−12）2+k，
∴k=−254a，
∵a（x﹣h+m）2+k＝0，
∴a（x−12+m）2−254a＝0，
∵a≠0，
∴（x−12+m）2=254，
∵方程的一个根为1，
∴（1−12+m）2=254，
∴m＝2或m＝﹣3；
故答案为m＝2或m＝﹣3．
【例题精讲】11．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
∴x＝2和x＝6对应的函数值相等，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴x＝2和x＝6时，y＝0，
即抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（6，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得a（2﹣4）2﹣4＝0，解得a＝1．
故答案为1．
【当堂练习】10抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4＝0，解得a＝1．
故答案为：1．
【课后巩固】6已知抛物线C1：y＝x2﹣3x﹣10及抛物线C2：y＝x2﹣（2a+2）x+a2+2a（其中a为常数）．当﹣2＜x＜a+2时，C1、C2的图象都在x轴下方，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣2 ．
【解答】解：在y＝x2﹣3x﹣10中，令y＝0，则x2﹣3x﹣10＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝5，
∴抛物线C1与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（5，0），
在y＝x2﹣（2a+2）x+a2+2a中，令y＝0，则x2﹣（2a+2）x+a2+2a＝0，
解得：x1＝a，x2＝a+2，
∵当﹣2＜x＜a+2时，C1、C2的图象都在x轴下方，
∴a≤−2a+2＞−2a+2≤5，
解得：﹣4＜a≤﹣2，
∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣2．
【例题精讲】11．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的顶点坐标为（1，m），其中m＞0．
下列四个结论：
①ab＜0；
②c＞0；
③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解；
④点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，若n＜1，则y1＜y2．
其中正确的结论是 ①③ （填写序号）．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（1，m），
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴ab＝﹣2a2＜0，故①正确；
②由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴有两个交点，
当抛物线与x轴的交点在x轴正半轴，则抛物线交y轴负半轴时，此时c＜0，故②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，函数有最大值m，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m+1无交点，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解，故③正确；
④物线y＝ax2+bx+c开口向下，点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，
若n＜1，则1﹣n＜3﹣2n﹣1，
∴y1＞y2．故④错误；
故答案为①③．
【当堂练习】11抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，mn＜0，对称轴为直线x＝﹣1．下列四个结论：
①bc＜0；
②4a﹣2b+c＝m；
③若m＞0，点P1（t﹣2，y1），P2（t+2，y2）在抛物线上，当y1＞0时，则y2＜0；
④方程a（x﹣1）2+bx+c＝b有一个根在1和2之间．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵−b2a=−1，
∴a=12b，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，
∴c＝m，a+b+c＝n，
∴32b+m＝n，
∴32bc+m2＝mn，
∵mn＜0，
∴32bc＜0，
∴bc＜0，故①正确；
∵A（0，m）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣2，m），
∴4a﹣2b+c＝m，故②正确；
若m＞0，则n＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，
∴抛物线开口向下，
若t＝﹣1时，y1＝y2＝0，
∴t＞﹣1，y1＞0，则y2＜0，故③正确；
由题意可知，抛物线与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
当抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在1和2之间，即抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴交点横坐标在1和2之间，
∴方程a（x﹣1）2+bx+c＝b有一个根在1和2之间，故④正确；
故答案为①②③④．
【例题精讲】12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），下列四个结论：①b+2a＝0；②若点（﹣2020，m），（2021，n）在抛物线上，则m＜n；③y＞0的解集为x＜﹣2或x＞4；④方程a（x+1）2+bx+c＝﹣b的两根为x1＝﹣3，x2＝3．其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2+42=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵1+2020＞2021﹣1，
∴m＞n，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），且开口向上，
∴y＞0的解集为x＜﹣2或x＞4，故③正确；
把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位得到y＝a（x+1）2+b（x+1）+c，此时抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）和（3，0），
∴方程a（x+1）2+bx+c＝﹣b的两根为x1＝﹣3，x2＝3，故④正确；
故答案为①③④．
【当堂练习】12已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；
②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 ②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，故①错误；
该抛物线的对称轴为直线x=−2+62=2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴4a−2b+c=1①36a+6a+c=1②，
②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥4ac−b24a，
∴p≥1﹣16a，故④正确；
故答案为：②③④．
【课后巩固】7抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列四个结论：
①bc＞0；
②M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2；
③关于x的方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b的解为x1＝﹣2，x2＝2；
④关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴bc＞0，所以①正确；
∵x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，所以②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b变形为方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
∴x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个公共点，
而抛物线开口向下，a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a+n有两个公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．所以④正确．
故答案为①③④．
【例题精讲】13．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0）．下列四个结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝1；
②3a+2c＞0；
③若C（﹣3，y1），D（26，y2）在此抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，用p的值只有三个．
其中正确的结论是 ①、③ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为直线x=−1+32=1，故①正确；
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线交y轴的负半轴，a﹣b+c＝0，
∴c＜0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+2c＝c＜0，故②错误；
∵C（﹣3，y1）到对称轴的距离小于D（26，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为0和2或1和1，故p的值有2个，故④错误；
故答案为①③．
【当堂练习】13抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤−35；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤−23．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：①将A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
则：3=c3=16a+4b+c，
解得：c=34a+b=0，
故①正确；
②∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴x1距离x＝2比x2距离x＝2更远，
如图：
从图中可以看出x距离x＝2越远对应的函数值越小，
故y1＜y2，
故②错误；
③∵a＜0，
设C（x3，0）、D（x4，0），
则由根与系数的关系得：x3+x4＝4，x3•x4=3a，
∴|x3﹣x4|=(x3+x4)2−4x3x4=42−4×3a=16−12a≤6，
解得：a≤−35，
故③正确；
④由题意知：x＝4时，y＝3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x＝3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a﹣12a+3＜6，
解得：﹣1＜a≤−23，
故④正确．
故答案为：①③④．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
2021-2022学年度九上数学培优讲义（四）二次函数与图像
一．知识要点
1．二次函数的概念
一般地，形如 （、、是常数，）的函数，叫做二次函数．
二次函数的两种形式：（1）一般式： ；（2）顶点式：： ；
2．二次函数的图象及性质
二次函数（、、是常数，）
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
当时，随增大而 ；
当时，随增大而 ．
当时，随增大而 ；
当时，随增大而 ．
最值
当时，有最 值．
当时，有最 值．
3．二次函数图象的特征与、、及的符号之间的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
开口向上
开口向下
经过原点
与轴正半轴相交
与轴负半轴相交
与轴有唯一交点（顶点）
与轴有两个交点
与轴没有交点
4．二次函数图象的平移
抛物线与，，中相同，则图象的 和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
二、 精讲精练
【例题精讲】1．关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，
对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，
故选：D．
【当堂练习】1对二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．最大值为﹣6
C．顶点（2，﹣6）
D．x＜﹣2时，y随x的增大而增大
【解答】解：A、由a＝﹣5＜0知抛物线开口向下，此选项说法正确，不符合题意；
B、由a＝﹣5＜0知抛物线在x＝﹣2时，取得最大值﹣6，此选项说法正确，不符合题意；
C．二次函数y＝﹣5（x+2）2﹣6的顶点坐标为（﹣2，﹣6），此选项错误，符合题意；
D．当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【课后巩固】1关于二次函数y＝2（x+3）2+2，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．当x＝﹣3时，y有最大值，是2
C．对称轴为直线x＝3
D．当x≥﹣3时，y随x的增大而减小
【解答】解：关于二次函数y＝2（x+3）2+2，顶点坐标为（﹣3，2），故A正确；
当x＝﹣3时，y有最小值，是2，故选项B错误；
对称轴为直线x＝﹣3，故选项C错误；
当x≥﹣3时，y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：A．
【例题精讲】2．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
【解答】解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），
∵抛物线y＝x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位．
故选：A．
【当堂练习】2在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）经变换后得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），则下列变换正确的是（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
【解答】解：y＝（x+2）（x﹣4）＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，﹣9）．
y＝（x﹣2）（x+4）＝（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，﹣9）．
所以将抛物线y＝（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y＝（x﹣2）（x+4），
故选：C．
【课后巩固】2把抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣3（x+2）2﹣3
C．y＝﹣3（x﹣3）2+2 D．y＝﹣3（x﹣3）2﹣2
【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故选：B．
【例题精讲】3．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，若点P（﹣5，y1），Q（π，y2），R（5，y3）该抛物线上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＝y3＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2−42=−1，函数图象开口向下，
∴点P（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（3，y1），
∵﹣1＜3＜π＜5，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
【当堂练习】3已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝m（x+2）2+c（m＜0）上的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：由抛物线y＝m（x+2）2+c（m＜0）可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而增大，
∴（1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣5，y1），
∵﹣5＜﹣4＜﹣2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【课后巩固】3已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=−a2×(−2a)=14，
∴当x＞14时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（32，0），而1＜32＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【例题精讲】4．若二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＜6
【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+4x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+4x+1＝0有解，
∴k−2≠0△=16−4(k−2)≥0，
解得：k≤6且k≠2．
故选：B．
【当堂练习】4若函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1 B．k＞﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
【解答】解：当k＝0时，函数为y＝﹣2x﹣1，与x轴有一个交点（−12，0），
当k≠0时，若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有交点，则△＝（﹣2）2+4k≥0，
解得k≥﹣1且k≠0，
综上k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
【课后巩固】4已知：二次函数y＝kx2﹣3x﹣3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞−34 B．k＜34且k≠0 C．k＞−34且k≠0 D．k≥−34且k≠0
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x﹣3的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣3x﹣3有两个不等的实数根，
∴k≠0(−3)2−4k×(−3)＞0，
解得，k＜−34且k≠0，
故选：C．
【例题精讲】5．关于x的二次函数y＝x2+bx+b2在b≤x≤b+3范围内，函数值有最小值21，则b的值是（ ）
A．±7 或27 B．7 或±27 C．﹣4或7 D．1或﹣4或7
【解答】解：y＝x2+bx+b2的图象开口向上，对称轴为直线x=−b2，
①当−b2＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；
②当b≤−b2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x=−b2，y=34b2为最小值，
∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；
③当−b2＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
故b的值为7或﹣4．
故选：C．
【当堂练习】5已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，其中m为实数，当﹣2≤x≤0时，y的最小值为5，满足条件的m的值为（ ）
A．﹣5或17−12 B．﹣5或−17−12 C．0或17−12 D．0或−17−12
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴该函数的对称轴为直线x＝m，函数图象开口向上，
∵当﹣2≤x≤0时，y的最小值为5，
∴当m＜﹣2时，5＝（﹣2﹣m）2+m+1，得m1＝﹣5，m2＝0（舍去）；
当﹣2≤m≤0时，m+1＝5，得m＝4（舍去）；
当m＞0时，5＝（0﹣m）2+m+1，得m3=−1+172，m4=−1−172（舍去）；
由上可得，m的值是﹣5或−1+172，
故选：A．
【课后巩固】5已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为（ ）
A．74或3或﹣2 B．74或﹣2 C．3或﹣2 D．以上均不对
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1，
∴该函数的对称轴为x＝m，函数图象开口向上，
当m＜﹣1时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝﹣1时，（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+1＝﹣2，得m＝﹣2；
当﹣1≤m≤2时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝m时，﹣m2+1＝﹣2，得m1=−3（舍去），m2=3；
当m＞2时，
∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，
∴当x＝2时，22﹣2m×2+1＝﹣2，得m=74（舍去）；
由上可得，m的值为﹣2或3，
故选：C．
【例题精讲】6．已知函数y＝|ax2﹣2x﹣a|，当﹣1≤x≤1时，y≤2，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．0＜a≤1 C．﹣1≤a≤1 D．﹣2＜a＜2
【解答】解：当a＞0时，y＝ax2﹣2x﹣a＝a（x−1a）2﹣a−1a，
∵﹣a−1a≤−2，
∴抛物线y＝a（x−1a）2﹣a−1a的顶点A纵坐标不大于﹣2，
即函数y＝|ax2﹣2x﹣a|在x=1a时的极值不小于2．
①若A′的纵坐标大于2，则﹣1≤x≤1时，y≤2，
则1＜1aa＞0，可得0＜a＜1．
②若A′（1a，2），且﹣1≤x≤1时，y≤2，
则f(−1)=|a+2−a|≤2f(1)=|a+2−a|≤2f(1a)=|a⋅1a2−2a−a|=a+1a=2，
∴a＝1，
∴0＜a≤1，
当a＜0时，同法可得，﹣1≤a＜0，
当a＝0时，y＝|2x|，当﹣1≤x≤1时，y≤2，
综上所述：﹣1≤a≤1，
故选：C．
【当堂练习】6．函数y＝﹣x2+6|x|﹣5上有一点P（b﹣a，2a﹣5b），若这样的P点有且只有4个，则b的取值范围为（ ）
A．−53＜b＜−13 B．13＜b＜53
C．13＜b＜53或b=−113 D．−113＜b＜13
【解答】解：点P在y＝﹣2x﹣3b的直线上，
∴只需考虑函数y＝﹣x2+6|x|﹣5与直线y＝﹣2x﹣3b有四个交点时b的范围即可，
当y＝﹣2x﹣3b与函数y＝﹣x2﹣6x﹣5有两个交点时，
﹣x2﹣4x﹣5+3b＝0，
△＝12b﹣4＞0，
∴b＞13，
当直线y＝﹣2x﹣3b经过（0，﹣5）时，有三个交点，
∴﹣3b＞﹣5，
∴b＜53，
∴13＜b＜53；
故选：B．
．y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间的图象与y＝﹣x2+2x+6+m的图象只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A．7＜m≤21或m＝﹣11 B．5＜m≤23或m＝2
C．4＜m＜25或m＝﹣8 D．6≤m＜24或m＝8
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间，顶点为（1，﹣4），
∴当x＝﹣2时，y＝5；当x＝5时，y＝12；
∵y＝﹣x2+2x+6+m的对称轴x＝1，
∴顶点为（1，7+m），
当7+m＞﹣4时，m＞﹣11，
①当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m＞5，
∴m＞7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m≤12，
∴m≤21，
∴7＜m≤21；
②当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m≤5，
∴m≤7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m＞12，
∴m＞21，
∴m无解；
当7+m＝﹣4时，m＝﹣11，有一个交点；
综上所述：7＜m≤21或m＝﹣11，
故选：A．
【例题精讲】7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 x1＝﹣2，x2＝5 ．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【当堂练习】7抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解是 x1＝﹣1，x2＝6 ．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（6，0），
所以一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝6．
【例题精讲】8．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为 x1＝﹣8，x2＝﹣3 ．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
【当堂练习】8若抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，
∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），
将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），
∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【例题精讲】9．抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）、（5，0）两点，若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个解为x＝4，则m＝ ﹣5或1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）、（5，0）两点，
∴关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5，
∵关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0可看作关于x+m的一元二次方程，
∴x+m＝﹣1或x+m＝5，
而关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个解为x＝4，
∴4+m＝﹣1或4+m＝5，
∴m＝﹣5或1．
故答案为﹣5或1．
【当堂练习】9已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过点A（﹣2，0），B（3，0）两点．若关于x的一元二次方程a（x﹣h+m）2+k＝0的一个根是1，则m的值为 m＝2或m＝﹣3 ．
【解答】解：由已知可得：
对称轴为x=12，
∴h=12，
∴y＝a（x−12）2+k，
将点A（﹣2，0）代入y＝a（x−12）2+k，
∴k=−254a，
∵a（x﹣h+m）2+k＝0，
∴a（x−12+m）2−254a＝0，
∵a≠0，
∴（x−12+m）2=254，
∵方程的一个根为1，
∴（1−12+m）2=254，
∴m＝2或m＝﹣3；
故答案为m＝2或m＝﹣3．
【例题精讲】11．二次函数y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
∴x＝2和x＝6对应的函数值相等，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴x＝2和x＝6时，y＝0，
即抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（6，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得a（2﹣4）2﹣4＝0，解得a＝1．
故答案为1．
【当堂练习】10抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为 1 ．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4＝0，解得a＝1．
故答案为：1．
【课后巩固】6已知抛物线C1：y＝x2﹣3x﹣10及抛物线C2：y＝x2﹣（2a+2）x+a2+2a（其中a为常数）．当﹣2＜x＜a+2时，C1、C2的图象都在x轴下方，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣2 ．
【解答】解：在y＝x2﹣3x﹣10中，令y＝0，则x2﹣3x﹣10＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝5，
∴抛物线C1与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（5，0），
在y＝x2﹣（2a+2）x+a2+2a中，令y＝0，则x2﹣（2a+2）x+a2+2a＝0，
解得：x1＝a，x2＝a+2，
∵当﹣2＜x＜a+2时，C1、C2的图象都在x轴下方，
∴a≤−2a+2＞−2a+2≤5，
解得：﹣4＜a≤﹣2，
∴a的取值范围是：﹣4＜a≤﹣2．
【例题精讲】11．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）的顶点坐标为（1，m），其中m＞0．
下列四个结论：
①ab＜0；
②c＞0；
③关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解；
④点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，若n＜1，则y1＜y2．
其中正确的结论是 ①③ （填写序号）．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a＞0）顶点坐标为（1，m），
∴−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴ab＝﹣2a2＜0，故①正确；
②由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴有两个交点，
当抛物线与x轴的交点在x轴正半轴，则抛物线交y轴负半轴时，此时c＜0，故②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，函数有最大值m，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m+1无交点，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m+1无实数解，故③正确；
④物线y＝ax2+bx+c开口向下，点P1（n，y1），P2（3﹣2n，y2）在抛物线上，
若n＜1，则1﹣n＜3﹣2n﹣1，
∴y1＞y2．故④错误；
故答案为①③．
【当堂练习】11抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，mn＜0，对称轴为直线x＝﹣1．下列四个结论：
①bc＜0；
②4a﹣2b+c＝m；
③若m＞0，点P1（t﹣2，y1），P2（t+2，y2）在抛物线上，当y1＞0时，则y2＜0；
④方程a（x﹣1）2+bx+c＝b有一个根在1和2之间．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵−b2a=−1，
∴a=12b，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，
∴c＝m，a+b+c＝n，
∴32b+m＝n，
∴32bc+m2＝mn，
∵mn＜0，
∴32bc＜0，
∴bc＜0，故①正确；
∵A（0，m）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣2，m），
∴4a﹣2b+c＝m，故②正确；
若m＞0，则n＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）过A（0，m）．B（1，n）两点，
∴抛物线开口向下，
若t＝﹣1时，y1＝y2＝0，
∴t＞﹣1，y1＞0，则y2＜0，故③正确；
由题意可知，抛物线与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
当抛物线向右平移一个单位则交点横坐标在1和2之间，即抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴交点横坐标在1和2之间，
∴方程a（x﹣1）2+bx+c＝b有一个根在1和2之间，故④正确；
故答案为①②③④．
【例题精讲】12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），下列四个结论：①b+2a＝0；②若点（﹣2020，m），（2021，n）在抛物线上，则m＜n；③y＞0的解集为x＜﹣2或x＞4；④方程a（x+1）2+bx+c＝﹣b的两根为x1＝﹣3，x2＝3．其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2+42=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵1+2020＞2021﹣1，
∴m＞n，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过两点A（﹣2，0），B（4，0），且开口向上，
∴y＞0的解集为x＜﹣2或x＞4，故③正确；
把抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位得到y＝a（x+1）2+b（x+1）+c，此时抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）和（3，0），
∴方程a（x+1）2+bx+c＝﹣b的两根为x1＝﹣3，x2＝3，故④正确；
故答案为①③④．
【当堂练习】12已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，下列四个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝6；
②若点C（﹣5，y1）、D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b；
④对于a的每一个确定值（a＞0），若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥1﹣16a，其中正确的结论是 ②③④ ．（填写序号）
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝1的根为x1＝﹣2，x2＝6，故①错误；
该抛物线的对称轴为直线x=−2+62=2，函数图象开口向上，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②正确；
当x＝2时，函数取得最小值y＝4a+2b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≥4a+2b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≥4a+2b，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过A（﹣2，1），B（6，1）两点，
∴4a−2b+c=1①36a+6a+c=1②，
②﹣①得，32a+8b＝0，即b＝﹣4a，
①×3+②得，48a+4c＝4，即c＝1﹣12a，
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）有根，则p≥4ac−b24a，
∴p≥1﹣16a，故④正确；
故答案为：②③④．
【课后巩固】7抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列四个结论：
①bc＞0；
②M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2；
③关于x的方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b的解为x1＝﹣2，x2＝2；
④关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴bc＞0，所以①正确；
∵x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，所以②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b变形为方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
∴x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个公共点，
而抛物线开口向下，a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a+n有两个公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．所以④正确．
故答案为①③④．
【例题精讲】13．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0）．下列四个结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝1；
②3a+2c＞0；
③若C（﹣3，y1），D（26，y2）在此抛物线上，则y1＜y2；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，用p的值只有三个．
其中正确的结论是 ①、③ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为直线x=−1+32=1，故①正确；
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线交y轴的负半轴，a﹣b+c＝0，
∴c＜0，
∵−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+2c＝c＜0，故②错误；
∵C（﹣3，y1）到对称轴的距离小于D（26，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③正确；
对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为0和2或1和1，故p的值有2个，故④错误；
故答案为①③．
【当堂练习】13抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤−35；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤−23．
其中正确的结论是 ①③④ （填写序号）．
【解答】解：①将A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
则：3=c3=16a+4b+c，
解得：c=34a+b=0，
故①正确；
②∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴x1距离x＝2比x2距离x＝2更远，
如图：
从图中可以看出x距离x＝2越远对应的函数值越小，
故y1＜y2，
故②错误；
③∵a＜0，
设C（x3，0）、D（x4，0），
则由根与系数的关系得：x3+x4＝4，x3•x4=3a，
∴|x3﹣x4|=(x3+x4)2−4x3x4=42−4×3a=16−12a≤6，
解得：a≤−35，
故③正确；
④由题意知：x＝4时，y＝3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x＝3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a﹣12a+3＜6，
解得：﹣1＜a≤−23，
故④正确．
故答案为：①③④．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
相关教案
人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试教学设计： 这是一份人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试教学设计，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义十二外心与内心学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义十二外心与内心教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共47页， 欢迎下载使用。
初中数学第十一章 图形的运动第2节 图形的旋转11.2 旋转教学设计： 这是一份初中数学第十一章 图形的运动第2节 图形的旋转11.2 旋转教学设计，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义七旋转2学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义七旋转2教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共25页， 欢迎下载使用。
初中人教版第二十五章 概率初步综合与测试教学设计及反思： 这是一份初中人教版第二十五章 概率初步综合与测试教学设计及反思，文件包含2021-2022学年度九上数学培优讲义十四概率初步学生版docx、2021-2022学年度九上数学培优讲义十四概率初步教师版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共27页， 欢迎下载使用。
