2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷

2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷

1. 设集合 ，集合 ，则     ．

2. 已知 （， 为虚数单位）为纯虚数，则     ．

3. 抛物线 的焦点到准线的距离为    ．

4.   的展开式中 的系数为    ．（用数字作答）

5. 设 为第二象限的角，，则 的值为    ．

6. 母线长为 ，底面半径为 的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为    ．

7. 若无穷等比数列 满足：，，，则数列 的所有项的和为    ．

8. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是    ．（结果用数字作答）

9. 已知 ， 为双曲线 的左、右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的两条渐近线的夹角为    ．

10. 已知函数 与 的图象关于直线 对称，若 ，则满足 的 的取值范围是    ．

11. 设函数 的定义域为 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则称函数 具有性质 ．下列结论：①函数 具有性质 ；②函数 具有性质 ；③若函数 ， 具有性质 ，则 ；④若 具有性质 ，则 ．其中正确结论的序号是    ．

12. 已知正六边形 的边长为 ，点 是该正六边形边上的动点，记 ，则 的取值范围是    ．

13. 方程 的解集是

 A．  B．  C．  D．

14. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍，再向右平移 个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为

 A．  B．  C．  D．

15. 若函数 的定义域为 ，则“ 是偶函数”是“ 对切 恒成立”的

 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16. 设曲线 的方程为 ，动点 ，，， 在 上，对于结论：①四边形 的面积的最小值为 ；②四边形 外接圆的面积的最小值为 ，下面说法正确的是

 A．①错，②对 B．①对，②错 C．①②都错 D．①②都对

17. 在三棱锥 中，已知 ，， 两两垂直，，，且三棱锥 的体积为 ．

(1)  求点 到直线 的距离．

(2)  若 是棱 的中点，求异面直线 ， 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18. 在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，且 ．

(1)  若 ，求 的面积．

(2)  若 ，求 的取值范围．

19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度 （微克/毫升）与给药时间 （小时）之间的若干组数据，并由此得出 与 之间的一个拟合函数 ，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：

(1)  求药峰浓度与药峰时间（精确到 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；

(2)  求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 小时）．

20. 已知椭圆 的中心在坐标原点焦点在 轴上，椭圆 上一点 到两焦点距离之和为 ．若点 是椭圆 的上顶点，点 ， 是椭圆 上异于点 的任意两点．

(1)  求椭圆 的方程；

(2)  若 ，且满足 的点 在 轴上，求直线 的方程；

(3)  若直线 与 的斜率乘积为常数 ，试判断直线 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

21. 对于数列 ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 为 数列．

(1)  若 的前 项和 ，试判断 是否是 数列，并说明理由．

(2)  设数列 ，，，， 是首项为 ，公差为 的等差数列，若该数列是 数列，求 的取值范围．

(3)  设无穷数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，有穷数列 ， 是从 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 ，，求 是 数列时 与 所满足的条件，并证明命题“若 且 ，则 不是 数列”．

答案

1.  【答案】

【解析】因为 ，，

所以 ．

2.  【答案】

【解析】因为 为纯虚数，

所以

即 ．

3.  【答案】

【解析】抛物线 ，所以 ，抛物线 的焦点到准线的距离是：．

4.  【答案】

【解析】 的展开式通项为 ，

令 ，可得 ，

所以在 的展开式中， 的系数是 ．

5.  【答案】

【解析】因为 为第二象限的角，，

所以 ，

所以 ，

则 ．

6.  【答案】

【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长 ，半径为圆锥的母线长为 ，

由弧长公式有圆心角为 ，

故所求扇形的圆心角为 ．

7.  【答案】

【解析】根据题意，设等比数列 的公比为 ，

若 ，，则有

解可得 ，，

则数列 的首项为 ，其公比为 ，

则数列 的所有项和 ；

故答案为：．

8.  【答案】

【解析】根据题意，分 步进行分析：

①、将 名女生全排列，有 种情况，排好后，有 个空位，

②、从 位男生中选 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 种情况，再将这个整体与其他 名男生全排列，安排在女生的 个空位中，有 种情况，

则一共有 种排法．

9.  【答案】

【解析】设双曲线的方程为 ，

设 在第一象限，，，

由题意可得 ，，

则 ，，

即 ，可得 ，

即为 ，则双曲线的渐近线方程为 ，

可得两条渐近线的夹角为 ．

10.  【答案】

【解析】因为函数 与 的图象关于直线 对称，

 ，

设 ，

则 ，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

 ．

互换 ，，得 ，

因为 ，

所以 ，

解得 ．

所以满足 的 的取值范围是 ．

故答案为：．

11.  【答案】②③

【解析】对于①， 的值域为 ，则当 时，不存在 ，使得 ，故①不正确；

对于②，，所以 ，故对任意的 ，总存在 ，使得 ，故②正确；

对于③，当 时，，若满足 ，则 ，则 ，解得 ，故③正确；

对于④，若 ，值域必须满足对称性，且不包含 ，则 ，解得 ；故④不正确．

12.  【答案】

【解析】建立直角坐标系，如图所示：

所以 ，，，，，，

设点 ，

所以 ，，，，，，

所以

因为正六边形的中心 ，

所以 表示点 与点 之间距离的平方，

所以由图可知 的最大值为 ，最小值为 ，

所以 的最大值为 ，最小值为 ，

所以 的取值范围是 ．

13.  【答案】B

【解析】根据题意得 ，解得 ．

14.  【答案】A

【解析】将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 倍，可得函数 的图象；

再向右平移 个单位，可得函数 的图象．

令 ，求得 ，，

再令 ，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为 ．

15.  【答案】C

【解析】根据题意，若 是偶函数，当 时，有 ，当 时，，

综合可得： 对切 恒成立，故“ 是偶函数”是“ 对切 恒成立”的充分条件；

若 ，而函数 为偶函数，则函数 是偶函数，

故“ 是偶函数”是“ 对切 恒成立”的必要条件；

综合：“ 是偶函数”是“ 对切 恒成立”的充分必要条件．

16.  【答案】D

【解析】不妨设 ，，则 ，

因为 ，

所以 ，

从而 ，故①对；

设四边形 外接圆半径为 ，则 ，

所以四边形 外接圆的面积 ，故②对．

17.  【答案】

(1)  在三棱锥 中，，， 两两垂直，

因为 ，，且三棱锥 的体积为 ．

所以 ，解得 ，

过 作 ，交 于 ，连接 ，

由三垂线定理得 ，

因为 ，

所以 ，

所以点 到直线 的距离：．

(2)  以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，

则 ，，，，，

 ，，

设异面直线 ， 所成角的大小为 ，

则 ．

所以异面直线 ， 所成角的大小为 ．

18.  【答案】

(1)  因为 ，

所以由正弦定理可得 ，

可得 ，

因为 为三角形内角，，

所以 ，

又因为 ，

所以 ，

因为 ，可得 ，

所以 ．

(2)  因为 ，，可得 ，

所以 ，

所以 ，

所以

所以 的取值范围 ．

19.  【答案】

(1)  由 ，

令 ，，

则 ，

所以当 ，即 ， 时，

  有最大值为 ．

故药峰浓度为 ，药峰时间为 小时；

由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到 小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低．

(2)  在 中，取 ，得 ，

即 ，解得 或 （舍），

即 ，得 ，

故血药浓度的半衰期为 小时．

20.  【答案】

(1)  由题意设椭圆的方程为：，

由题意知：，，解得：，，

所以椭圆的方程为：；

(2)  由（）得 显然直线 的斜率存在且不为零，设直线 为：，与椭圆联立整理得：，，

所以 ；

直线 ，代入椭圆中：，

同理可得 ，足 得，

所以 ，

所以 ，

由于 在 轴上，

所以 ，

所以 ，解得：，

所以 ，

所以直线 的方程为：；

(3)  由（）得，当直线 的斜率不存在时，

设直线 的方程：，，，

与椭圆联立得：，，，

要使是一个常数 ，，所以不成立．

当直线 斜率存在时，设直线 的方程为：，设 ，，

与椭圆联立整理得：，，，

所以 ，

所以

所以由题意得：，解得：，

所以不论 为何值， 时，，

综上可知直线恒过定点 ．

21.  【答案】

(1)  因为 ，

所以 ，

当 时，，

故 ，

那么当 时，，符合题意，

故数列 是 数列．

(2)  由题意知，该数列的前 项和为 ，，

由数列 ，，，， 是 数列，可知 ，故公差 ，

  对满足 的任意 都成立，则 ，解得 ，

故 的取值范围为 ．

(3)  ①若 是 数列，则 ，

若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，可知 ，即 对一切正整数 都成立，

由 ，，故 ，可得 ，

若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，可知 ，即 对一切正整数 都成立，

又当 时， 当 时不成立，

故有 或

解得 ，

所以当 是 数列时， 与 满足的条件为 或

②假设 是 数列，则由①可知，，，且 中每一项均为正数，

若 中的每一项都在 中，则由这两数列是不同数列，可知 ；

若 中的每一项都在 中，同理可得 ；

若 中至少有一项不在 中且 中至少有一项不在 中，

设 ， 是将 ， 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 ，，

不妨设 ， 中最大的项在 中，设为 ，

则 ，故 ，

故总有 与 矛盾，故假设错误，

原命题正确．