上海市黄浦区2023届高三（二模）数学试题

上海市黄浦区2023届高三（二模）数学试题

一、单选题

1．若直线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．

2．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）

A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球

C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球

3．如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（    ）

A．存在某一值．使得

B．存在某一值．使得

C．存在某一值．使得

D．存在某一值，使得

4．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ）

A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题

二、填空题

5．设集合，则___________．

6．函数的最小正周期为____________．

7．若函数的图像经过点与，则m的值为____________．

8．设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则______.

9．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为__________.

10．已知m是与4的等差中项，且，则的值为____________．

11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．

12．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________．

13．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则__________．

14．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．

15．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________．

16．已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为____________．

三、解答题

17．在中，．

(1)求的值；

(2)若，求的周长和面积．

18．如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．

(1)求证：；

(2)若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．

19．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．

(1)请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：

(2)若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．

附：．

20．己知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.

(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．

21．三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．

(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；

(2)求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；

(3)若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．

参考答案：

1．B

【分析】根据两条直线垂直的条件列出等量关系式，求得的值.

【详解】直线与直线垂直，

则，解得，

故选：B.

2．A

【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．

【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，

故选项A中事件互斥不对立，A正确，

选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误，

选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，

选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误，

故选：A．

3．D

【分析】利用反证法，结合线面垂直的判定地理和性质定理以及面面垂直的判定定理逐项判断.

【详解】如图所示：

在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则，

A. 假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误；

B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误；

C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误；

D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确，

故选：D

4．C

【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答.

【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，

当时，，

函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，

存在，使得，取不小于的正整数，则有，

即，不符合题意，综上得①为假命题；

等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，

，于是，

依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，

因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，

判断正确的是①为假命题，②为真命题.

故选：C

【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.

5．

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义得，

故答案为：.

6．

【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.

【详解】直接根据余弦函数周期公式得，

故答案为：.

7．81

【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.

【详解】由题意函数的图像经过点与，

则，则

故，

故答案为：81

8．

【详解】试题分析：由题意得：所以

考点：复数运算

9．

【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为：，

∴以抛物线的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，

∴圆的方程为；，

故答案为：.

【点睛】本题考查抛物线的性质及求圆的标准方程的方法，属于中档题.

10．40

【分析】首先根据等差中项的性质求出，再利用二项式的通项得到相应值，代入即可得到答案.

【详解】由题意得，解得，

则二项式的通项为，

令则有，故，

故答案为：.

11．

【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.

【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，

于是，解得，

所以实数a的值为.

故答案为：

12．

【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学具的表面积.

【详解】因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆雉的母线长为，半径为10，

则圆锥的侧面积为，

又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为,

所以学具的表面积为.

故答案为：

13．##

【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象平移变换得到的表达式，结合函数的单调性确定，即可求得答案.

【详解】由题意得，

则，

当时，，

函数在区间上是严格减函数，

故，即且，

则，而，故，

故答案为：

14．

【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.

【详解】设物品原价格为1，因为，，

，，

故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，

5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.

故答案为：.

15．4

【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.

【详解】由在直角梯形中．，

则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，

设，设，则，

故，

所以，故，

当且仅当即时取得等号，

即的最小值为4，

故答案为：4

16．

【分析】首先利用不等式求得，通过减少变量得，再利用导数求出其值域即可.

【详解】由題意得，

由得,得,所以,

令，

，

当时，，此时在和上单调递增，

当时，此时在单调递减，

所以的极大值为，的极小值为，

又因为，

则的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)；

(2)周长32，面积24.

【分析】（1）利用两角和的正弦公式即可求得的值；

（2）先利用正弦定理求得的的长，进而求得的周长和面积．

【详解】（1）在中，，又，

则，

则.

（2），又，，

则由正弦定理得，

则的周长为

的面积为．

18．(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）由题意，可得∥平面，由线面平行的性质定理可得，从而证得结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用点到平面的距离的空间向量公式及直线与平面所成角的空间向量公式求解即可.

【详解】（1）∵，且，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴∥平面，

又平面，平面平面，

∴，又，则.

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，则，取，

则点E到平面的距离为；

设与平面所成角为，

则，

则与平面所成角为.

19．(1)列联表见解析，没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；

(2).

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出80分及以上的频率即可完善列联表，再计算的观测值作答.

（2）利用（1）中信息，结合条件概率公式列出方程，求解作答.

【详解】（1）观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，

因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，

35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，

因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50，

所以列联表为：

提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，

的观测值，而，

所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.

（2）令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，

用样本估计总体知，，，，设，

则由，得，解得，

因此，

所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.

20．(1)

(2)，

(3)证明见解析

【分析】（1）根据离心率求出，即可求出渐近线方程；

（2）由（1）可得双曲线的方程为，设，，则利用基本不等式求出的最大值，此时可得，则轴且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出；

（3）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出，从而求出，再根据双曲线的定义得到，即可得证.

【详解】（1）设双曲线方程为，焦距为，

由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.

（2）由（1）可得，，所以双曲线的方程为，

设，，因为点、都在双曲线的右支上，

所以，

所以，当且仅当时取等号，即，

当时，所以，

所以轴且 ，

又双曲线的方程为，即，由，解得，

可知，又，所以，

.

（3）设直线的方程为，将它代入，可得，

设，，

可得，，

由，可得，

故，

又、同号，所以，即，

所以，解得，

此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，

又，所以，

则，它等于双曲线实轴长的倍，此时，

所以是等腰三角形.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为、；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．(1)是与在上的“分割函数”；

不是与在上的“分割函数”；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据题意可得当时恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；

（2）根据“分割函数”的性质，则对一切实数恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数恒成立，结合图形即可求解；

（3）利用导数求出函数的极值，则，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为恒成立，且恒成立，

所以当时，恒成立，

故是与在上的“分割函数”.

又因为，当与时，其值分别为与，

所以与在上都不恒成立，

故不是与在上的“分割函数”.

（2）设是与在上的“分割函数”，

则对一切实数恒成立,由,

当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，

它也是的图象在处的切线，

所以，可得

所以对一切实数恒成立，

即且对一切实数恒成立，

可得且，即，

又时与为相同函数，不合题意，

故所求的函数为.

（3）关于函数，令，可得，

当与时,；当与时,.

可知是函数极小值点，0是极大值点,

该函数与的图象如图所示.

由为与在区间,上的“分割函数”，

故存在使得且直线与的图象相切，

并且切点横坐标∪，此时切线方程为，

即，

设直线与的图象交于点，

则由可得，

所以

，

令，

(仅当时，),

所以严格减，故的最大值为,可知的最大值为，

所以的最大值为.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.