2021年上海市黄浦区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市黄浦区高考数学二模试卷，共21页。

2021年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＞0}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝　 　．
2．（4分）方程2log4x+1＝3的解x＝　 　．
3．（4分）已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是　 　．
4．（4分）已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）+2x，若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝　 　．
5．（4分）已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝　 　．
6．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 　 　.（结果用反三角函数值表示）

7．（5分）已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），则P（B）＝　 　．
8．（5分）无穷等比数列{an}（n∈N*，an∈R）的前n项和为Sn，且＝2，则首项a1的取值范围是　 　．
9．（5分）已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素﹣1的代数余子式的值是　 　．
10．（5分）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z＝2x+5y的最大值是　 　．
11．（5分）某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是　 　.（结果用数值作答）
12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　 　．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．（5分）某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：21、22、23、25、28、29、30、30；
乙：14、16、23、26、28、30、33、38．
则下列描述合理的是（　　）
A．甲队员每场比赛得分的平均值大
B．乙队员每场比赛得分的平均值大
C．甲队员比赛成绩比较稳定
D．乙队员比赛成绩比较稳定
15．（5分）已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（　　）
A．3x﹣4y﹣28＝0 B．3x+4y﹣28＝0 C．3x﹣y﹣13＝0 D．x﹣3y﹣16＝0
16．（5分）已知x、y是正实数，△ABC的三边长为CA＝3，CB＝4，AB＝5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且．若不等式2x+3y≥m•x•y恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．m≤3
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝2，AA1＝3，点E是棱AD的中点．
（1）联结CE，求三棱锥D1﹣EBC的体积V；
（2）求直线CD1和平面D1EB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（14分）已知△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且b＝1，asinA＝3sinB．
（1）求正实数a的值；
（2）若函数f（x）＝asin2x+cos2x（x∈R），求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间．
19．（14分）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且y＞0，奖金金额不超过20万元．
（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）
（2）若该企业采用函数y＝作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围．
20．（16分）椭圆的右顶点为A（a，0），焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别为F1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点．
（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；
（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；
（3）在满足（2）的条件下，若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．
21．（18分）定义：符号max{x1，x2，x3}表示实数x1、x2、x3中最大的一个数；min{x1，x2，x3}表示x1、x2、x3中最小的一个数．如，max{﹣2，2，1.2}＝2，min{﹣2，2}＝﹣2．
设K是一个给定的正整数（K≥3），数列{an}共有K项，记Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}，Bi＝max{ai+1，ai+2，⋯，aK﹣1，aK}，di＝Ai﹣Bi（i＝1，2，3，4，⋯，K﹣1）．由di的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论．比如，若d2＞0，则a2＞a3.理由：d2＞0，则A2＞B2.又a2≥A2，B2≥a3，于是，有a2＞a3.试解答下列问题：
（1）若数列{an}的通项公式为，求数列{di}（i＝1，2，3，⋯，K﹣1）的通项公式；
（2）若数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），求通项公式an；
（3）试构造项数为K的数列{an}，满足an＝bn+cn，其中{bn}是等比数列，{cn}是公差不为零的等差数列，且数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列，并说明理由．（答案不唯一）

2021年上海市黄浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.
1．（4分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＞0}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝　（1，2）　．
【分析】先利用二次不等式和绝对值不等式的解法化简集合，再利用交集的定义求交集．
【解答】A＝{x|x2+2x﹣3}＝{x|（x+3）（x﹣1）＞0}＝{x|x＜﹣3或x＞1}，
B＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，A∩B＝{x|1＜x＜2}，
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法和交集的概念，属于基础题．
2．（4分）方程2log4x+1＝3的解x＝　4　．
【分析】由题意利用对数的性质，求得x的值．
【解答】解：方程2log4x+1＝3，即方程log4x＝1，∴x＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对数的性质，属于基础题．
3．（4分）已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是　36π　．
【分析】设出球的半径，由表面积求得半径，再代入体积公式求解．
【解答】解：设球的半径为R，则4πR2＝36π，即R＝3．
∴该球的体积为V＝．
故答案为：36π．
【点评】本题考查球的表面积与体积，是基础的计算题．
4．（4分）已知函数f（x）的定义域为R，函数g（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）+2x，若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝　　．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得g（1）、g（﹣1）的表达式，由奇函数的性质可得g（1）+g（﹣1）＝0，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）+2x，则g（1）＝f（1）+2，g（﹣1）＝f（﹣1）+，
又由g（x）是奇函数，则g（1）+g（﹣1）＝f（1）+f（﹣1）+＝f（1）+＝0，
解可得：f（﹣1）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
5．（4分）已知复数z的共轭复数为，若（其中i为虚数单位），则|z|＝　5　．
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
【解答】解：因为，
所以＝＝﹣4﹣3i，故|z|＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查复数模和复数的运算性质，比较基础．
6．（4分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 　　.（结果用反三角函数值表示）

【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出两向量的夹角，从而求出异面直线AB1与CD1所成角的大小．
【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示：

由长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，CC1＝4，
所以A（3，0，0），B1（3，3，4），C（0，3，0），D1（0，0，4），
所以＝（0，3，4），＝（0，﹣3，4），
计算cos＜，＞＝＝＝，
所以异面直线AB1与CD1所成角的大小是arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题．
7．（5分）已知随机事件A和B相互独立，若P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），则P（B）＝　0.9　．
【分析】由对立事件概率计算公式先求出P（A）＝1﹣0.6＝0.4，再由相互独立事件概率计算公式得P（B）＝，由此能求出结果．
【解答】解：随机事件A和B相互独立，P（AB）＝0.36，（表示事件A的对立事件），
∴P（A）＝1﹣0.6＝0.4，
∴P（B）＝＝＝0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8．（5分）无穷等比数列{an}（n∈N*，an∈R）的前n项和为Sn，且＝2，则首项a1的取值范围是　（0，2）∪（2，4）　．
【分析】利用无穷等比数列的求和公式，结合公比的范围，即可求得首项的范围．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n项的和是Sn，且＝2，
∴，即a1＝2（1﹣q），
由题意可得﹣1＜q＜1，且q≠0，
∴0＜1﹣q＜2，且1﹣q≠1，
∴0＜a1＜4，且a1≠2，
∴首项a1的取值范围是（0，2）∪（2，4）．
故答案为：（0，2）∪（2，4）．
【点评】本题考查数列的极限，考查无穷等比数列的求和公式，正确运用公比的范围是解题的关键，是中档题．
9．（5分）已知（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式中元素﹣1的代数余子式的值是　5　．
【分析】由二项展开式的通项公式可求得n的值，再由代数余子式的定义求解即可．
【解答】解：因为（1+2x）n的二项展开式中第三项的系数是112，
所以•22＝112，解得n＝8，
所以行列式中元素﹣1的代数余子式为﹣＝﹣（3×1﹣1×8）＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查二项式定理，代数余子式的定义，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（5分）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z＝2x+5y的最大值是　　．
【分析】画出可行域，利用简单线性规划知识求解．
【解答】解：画出可行域，如图所示：

当直线z＝2x+5y过点B时，z取得最大值，
联立方程，解得，
∴点B（，），
∴zmax＝2×+5×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划求最值问题，是基础题．
11．（5分）某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用0、1、2、3、⋯、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数．若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是　　.（结果用数值作答）
【分析】基本事件总数n＝9×9×8＝648，满足条件的三个奇数可能为（1，3，5），（1，5，9），（3，5，7），（5，7，9），从而一等奖号码包含的基本事件个数m＝＝24，由此能求出结果．
【解答】解：获奖号码从用0、1、2、3、…、9这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，
基本事件总数n＝9×9×8＝648，
一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数，
满足条件的三个奇数可能为（1，3，5），（1，5，9），（3，5，7），（5，7，9），
∴一等奖号码包含的基本事件个数m＝＝24，
∴某位职工在知识抢答过程中抢答成功，
则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是P＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
12．（5分）已知a∈R，函数f（x）＝的最小值为2a，则由满足条件的a的值组成的集合是　　．
【分析】分类讨论a的值，求出二次函数的单调性和最值，从而得到分段函数的最值．
【解答】解：①若a＜0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝，
∴当x＜0时，f（x）min＝f（）＝﹣++1，
又∵当x≥0时，f（x）≥0＞2a，
∴﹣++1＝2a，∴a2+6a﹣4＝0，∴a＝﹣﹣3或a＝﹣3（舍去），
②若a＝0时，则f（x）＝，∴f（x）＞1＞2a，∴a≠0，
③若a＞0时，
则f（x）＝x2﹣ax+a+1的对称轴为 x＝＞0，
∴当x＜0时，f（x）＝x2﹣ax+a+1单调递减，∴f（x）＞f（0）＝+1，
当x≥0时，f（x）＝，
∴f（x）≥a+2，∴a+2＝2a，∴a＝2，
又∵+1＞2a，∴0＜a＜，∴a≠2，
综上所述：a∈{﹣﹣3}．
故答案为：{﹣﹣3}．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性和最值，考查分类讨论思想，是中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）已知空间直线l和平面α，则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【分析】直接利用线面平行的判定和性质，根据充要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若直线l在平面α外，则l∥α或l与α相交，
故“直线l在平面α外”推不出“直线l∥平面α”，
由“直线l∥平面α”则推出“直线l在平面α外”，
故“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的判定和性质，充要条件的判断，属于基础题．
14．（5分）某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：21、22、23、25、28、29、30、30；
乙：14、16、23、26、28、30、33、38．
则下列描述合理的是（　　）
A．甲队员每场比赛得分的平均值大
B．乙队员每场比赛得分的平均值大
C．甲队员比赛成绩比较稳定
D．乙队员比赛成绩比较稳定
【分析】由题中的数据，分别计算甲队员和乙队员的平均值以及方差，由此判断选项即可．
【解答】解：甲队员得分的平均值为（21+22+23+25+28+29+30+30）＝26，
乙队员得分的平均值为（14+16+23+26+28+30+33+38）＝26，
故甲队员和乙队员每场比赛得分的平均值相等，故选项A，B错误；
甲队员得分的方差为[（21﹣26）2+（22﹣26）2+（23﹣26）2+（25﹣26）2+（28﹣26）2+（29﹣26）2+（30﹣26）2+（30﹣26）2]＝12，
甲队员得分的方差为[（14﹣26）2+（16﹣26）2+（23﹣26）2+（26﹣26）2+（28﹣26）2+（30﹣26）2+（33﹣26）2+（38﹣26）2]＝48.25，
所以甲队员的成绩比较稳定，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了特征数的求解，主要考查了平均数以及方差的计算公式的运用，考查了运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知点P（4，m）是直线l：（t∈R，t是参数）和圆C：（θ∈R，θ是参数）的公共点，过点P作圆C的切线l1，则切线l1的方程是（　　）
A．3x﹣4y﹣28＝0 B．3x+4y﹣28＝0 C．3x﹣y﹣13＝0 D．x﹣3y﹣16＝0
【分析】首先把参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用和直线的方程的求法的应用求出结果．
【解答】解：直线l：（t∈R，t是参数）转换为直角坐标方程为x﹣3y﹣16＝0．
由于点P（4，m）在直线上，
故m＝﹣3，
所以P（4，﹣4），
设圆C的切线l1的方程为y+4＝k（x﹣4），整理得kx﹣y﹣4k﹣4＝0．
由于直线与圆相切，故圆心（1，0）到直线kx﹣y﹣4k﹣4＝0的距离d，
整理得12k2﹣24k+9＝0，
解得k＝．
所以切线的方程为3x﹣4y﹣28＝0．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16．（5分）已知x、y是正实数，△ABC的三边长为CA＝3，CB＝4，AB＝5，点P是边AB（P与点A、B不重合）上任一点，且．若不等式2x+3y≥m•x•y恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．m≤3
【分析】由已知建立直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示可得x，y的关系，然后由已知不等式分离参数，转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
因为，分别为，方向上的单位向量，
则为＝（0，1），＝（1，0），
则＝（0，x）+（y，0）＝（y，x），
故P（y，x），
因为AB所在的直线方程为，即x＝﹣+3，（0＜x＜3，0＜y＜4），
因为2x+3y≥m•x•y恒成立，
所以m＝，
令f（y）＝，则，
易得，当0＜y﹣4时，函数单调递减，当4时，函数单调递增，
故当y＝4时f（y）取得最小值，
故m．
法二：m＝＝＝，
因为0＜y＜4，
所以4＜4+y＜8，
由基本不等式可得y+4+＝8，
所以≥＝+．
故m．
故选：A．

【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，分离法的应用是求解问题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB＝BC＝2，AA1＝3，点E是棱AD的中点．
（1）联结CE，求三棱锥D1﹣EBC的体积V；
（2）求直线CD1和平面D1EB所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【分析】（1）利用锥体的体积公式求解计算即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面EBD1的法向量，由线面角的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且棱AB＝BC＝2，AA1＝3，
所以AA1⊥平面ABCD，即三棱锥D1﹣EBC的高等于AA1，
所以，
故；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则E（1，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），D1（0，0，3），
所以，，，
设平面EBD1的法向量，
则，即，
令x＝6，得，故平面EBD1的一个法向量为，
设直线CD1和平面EBD1所成的角为θ，
则，
所以直线CD1和平面EBD1所成角的大小为．

【点评】本题考查了锥体体积的求解以及线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．（14分）已知△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，且b＝1，asinA＝3sinB．
（1）求正实数a的值；
（2）若函数f（x）＝asin2x+cos2x（x∈R），求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间．
【分析】（1）由已知结合正弦定理，求出a的值；
（2）先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质，求出函数f（x）的最小正周期、单调递增区间．
【解答】解 （1）∵在△ABC中，b＝1，asinA＝3sinB，
根据正弦定理，
得（a＞0），
∴．
（2）由（1）知，，
∴f（x）＝asin2x+cos2x＝＝2sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期为．
由（k∈Z），
得．
∴函数f（x）的递增区间是（k∈Z）．
【点评】本题主要考查了正弦定理，辅助角公式和正弦函数的性质，属于中档题．
19．（14分）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益．企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且y＞0，奖金金额不超过20万元．
（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；（答案不唯一）
（2）若该企业采用函数y＝作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围．
【分析】（1）答案不唯一． 构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，如，，由反比例函数的性质可知符合题意．
（2）由反比例函数的性质可知当50≤x≤500时，符合企业奖励要求，又因为当500＜x≤1500时，函数是增函数，所以a＞1，再由，得a≤9501，即当1＜a≤9501时，函数符合奖金y＞0且金额不超过20万的要求，由分段函数在连接点出也单调递增可得a≤4001，从而求出实数a的取值范围．
【解答】解 （1）答案不唯一． 构造出一个函数，说明是单调增函数且函数的取值满足要求，
如，，就是符合企业奖励的一个函数模型，
理由：
根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数，
当x＝50时，，
当x＝1500时，，
即奖金金额y＞0且不超过20万元，
故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型．
（2）当50≤x≤500时，易知是增函数，
且当x＝50时，；当x＝500时，，即满足奖金y＞0且不超过20万的要求，
故当50≤x≤500时，符合企业奖励要求，
当500＜x≤1500时，函数是增函数，
即对任意x1、x2∈（500，1500]，且x1＜x2时，成立，
故当且仅当1﹣a＜0，即a＞1时，此时函数在（500，1500]上是增函数，
由，得a≤9501，
进一步可知，，故成立，
即当1＜a≤9501时，函数符合奖金y＞0且金额不超过20万的要求，
依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，
于是，有，
解得a≤4001．
综上，所求实数a的取值范围是1＜a≤4001．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了反比例函数的性质，考查了分段函数的单调性，是中档题．
20．（16分）椭圆的右顶点为A（a，0），焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别为F1、F2，P（x0，y0）为椭圆C上的任一点．
（1）试写出向量、的坐标（用含x0、y0、c的字母表示）；
（2）若的最大值为3，最小值为2，求实数a、b的值；
（3）在满足（2）的条件下，若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于M、N两点（M、N与椭圆的左、右顶点不重合），且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定点的坐标．
【分析】（1）根据向量的坐标表示即可求解；（2）表示出向量PF1，PF2的数量积的关系式，然后根据椭圆的范围即可求解；（3）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及圆的性质表示出向量AM，AN的数量积的关系式，化简即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，可知F1（﹣c，0）、F2（c，0），
于是，，
（2）由（1）可知，．∵P（x0，y0）在椭圆上，
∴，则．∴．
依据椭圆的性质，可知﹣a≤x0≤a．
∴当且仅当x0＝±a时，，
当且仅当x0＝0时，．
又∵a2﹣b2＝c2，的最大值为3，最小值为2，
∴解得即为所求．
（3）证明：由（2）知，椭圆．又l：y＝kx+m，
联立方程组
得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2）是直线l：y＝kx+m与椭圆C的两个交点，于是，有，
∵以线段MN为直径的圆经过点A（2，0），∴，即（x1﹣2，y1）⋅（x2﹣2，y2）＝0，
进一步得（y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）），化简得7m2+16km+4k2＝0．
解得．（经检验，都满足Δ＞0），
当m＝﹣2k时，直线l过点A（2，0）不满足M、N与椭圆的左右顶点不重合要求，故m＝﹣2k舍去．
∴，即．
∴直线l必经过定点，且定点的坐标为．
【点评】本题考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
21．（18分）定义：符号max{x1，x2，x3}表示实数x1、x2、x3中最大的一个数；min{x1，x2，x3}表示x1、x2、x3中最小的一个数．如，max{﹣2，2，1.2}＝2，min{﹣2，2}＝﹣2．
设K是一个给定的正整数（K≥3），数列{an}共有K项，记Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}，Bi＝max{ai+1，ai+2，⋯，aK﹣1，aK}，di＝Ai﹣Bi（i＝1，2，3，4，⋯，K﹣1）．由di的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论．比如，若d2＞0，则a2＞a3.理由：d2＞0，则A2＞B2.又a2≥A2，B2≥a3，于是，有a2＞a3.试解答下列问题：
（1）若数列{an}的通项公式为，求数列{di}（i＝1，2，3，⋯，K﹣1）的通项公式；
（2）若数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），求通项公式an；
（3）试构造项数为K的数列{an}，满足an＝bn+cn，其中{bn}是等比数列，{cn}是公差不为零的等差数列，且数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列，并说明理由．（答案不唯一）
【分析】根据题中定义求解得到所求结论，利用等比数列和等差数列的性质即可求解得出结论．
【解答】解 （1）∵数列{an}的通项公式为，
根据指数函数的图像与性质，可知数列{an}是单调递减数列，
即an＞an+1（n＝1，2，⋯，K﹣1）．
∴，．
∴（i＝1，2，⋯，K﹣1）为所求的通项公式．
（2）∵数列{an}（n＝1，2，⋯，K）满足a1＝3，di＝1（i＝1，2，⋯，K﹣1），
依据题意，由d1＝1＞0，知a1＞a2；由d2＝1＞0，知a2＞a3；依此类推，有aK﹣1＞aK，即a1＞a2＞⋯＞aK﹣1＞aK，
于是，数列{an}（n＝1，2，⋯，K）是单调递减数列．
∴Ai＝min{a1，a2，⋯，ai﹣1，ai}＝ai，Bi＝max{ai+1，ai+2，⋯，aK﹣1，aK}＝ai+1（i＝1，2，⋯，K﹣1）．
∵di＝1，∴ai﹣ai+1＝1，即ai+1﹣ai＝﹣1．
∴数列{an}是首项a1＝3，公差为﹣1的等差数列．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝4﹣n（n＝1，2，⋯，K）．
（3）构造数列{bn}：，数列{cn}：cn＝b⋅n（b＜0），n＝1，2，⋯，K，
设an＝bn+cn，则数列{an}满足题设要求．理由如下：
构造数列{bn}：，数列{cn}：cn＝b⋅n（b＜0），n＝1，2，⋯，K，
易知，数列{bn}是等比数列，数列{cn}是等差数列．
由指数函数y＝ax（x∈R，0＜a＜1）的性质，知an＞an+1，即数列{bn}是单调递减数列；
由函数y＝kx（x∈R，k＜0）的性质，知数列{cn}是单调递减数列．
∴an+bn＞an+1+b（n+1），即an＞an+1（n＝1，2，3，⋯，K﹣1）．
∴数列{an}是单调递减数列．∴．
∴，即数列{di}（i＝1，2，⋯，K﹣1）是单调递减数列．
∴数列{an}是满足条件的数列．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质，以及学生逻辑推理能力，属于中档题．
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