2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷

这是一份2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷，共20页。

2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．
1．（4分）行列式的值为 　 　．
2．（4分）若全集U＝{1，2，3}，集合A＝{2，3}，则∁UA＝　 　．
3．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，若用向量、、表示向量，则＝　 　．
4．（4分）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 　 　名．
5．（4分）已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣2|的最大值为 　 　．
6．（4分）设t∈R，直线（t为参数）的倾斜角的大小为 　 　．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α＝　 　．
8．（5分）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为 　 　．
9．（5分）已知等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a1＝1，公比为3，则＝　 　．
10．（5分）设a，b∈R，c∈[0，4π）．若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 　 　．
11．（5分）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 　 　．
12．（5分）对于给定的正整数n（n≥2），定义在区间[0，n]上的函数y＝f（x）满足：当0≤x≤1时，f（x）＝﹣x2+2x，且对任意的x∈[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，则关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）若a、b均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（　　）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．ab＜0 D．ab≤0
14．（5分）如图，已知P、Q、R分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC和C1D1的中点，由点P、Q、R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
15．（5分）记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（　　）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
16．（5分）将曲线（x≥0）与曲线（x≤0）合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A，B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．
19．某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设∠BAO＝α（）．
（1）当AB＝4，时，求AC的长；（结果精确到0.1米）
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．

20．已知双曲线Γ：，F为左焦点，P为直线x＝1上一动点，Q为线段PF与Γ的交点．定义：．
（1）若点Q的纵坐标为，求d（P）的值；
（2）设d（P）＝λ，点P的纵坐标为t，试将t2表示成λ的函数并求其定义域；
（3）证明：存在常数m、n，使得md（P）＝|PF|+n．
21．已知数列{an}满足以下两个条件：①a1＝1，当n≥2时，|an﹣1|＝|an﹣1+1|；②若存在某一项am≤﹣3，则存在k∈{1，2，⋯，m﹣1}，使得ak＝am+2（m≥2且m∈N*）．
（1）若a2＞0，求a2，a3，a4；
（2）若对一切正整数n，an+T＝an均成立的T的最小值为6，求该数列的前9项之和；
（3）在所有的数列{an}中，求满足am＝﹣2021的m的最小值．

2022年上海市黄浦区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．
1．（4分）行列式的值为 　22　．
【分析】根据行列式的定义计算即可．
【解答】解：依题意得，题中的行列式的值等于4×6﹣2×1＝22，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查行列式的计算，属于基础题．
2．（4分）若全集U＝{1，2，3}，集合A＝{2，3}，则∁UA＝　{1}　．
【分析】利用补集定义直接求解．
【解答】解：全集U＝{1，2，3}，集合A＝{2，3}，
则∁UA＝{1}．
故答案为：{1}．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，若用向量、、表示向量，则＝　++　．
【分析】由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解．
【解答】解：如图，

∵，，，
则＝++＝++＝++．
故答案为：++．
【点评】本题考查空间向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想，是基础题．
4．（4分）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 　1050　名．
【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数．
【解答】解：依题意可得样本中高三年级抽取了150﹣40﹣50＝60名学生，所以该高中共有学生420+150﹣1050名学生．
故答案为：1050．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
5．（4分）已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣2|的最大值为 　3　．
【分析】z＝a+bi，则a2+b2＝1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，从而|z﹣2|＝＝＝，由此能求出结果．
【解答】解：∵复数z满足|z|＝1，设z＝a+bi，
∴a2+b2＝1，∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
∴|z﹣2|＝＝＝∈[1，3]．
∴|z﹣2|的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查复数的模的取值范围的求法，考查复数的模的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（4分）设t∈R，直线（t为参数）的倾斜角的大小为 　　．
【分析】消去参数t，即可求解直线的一般方程，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：直线（t为参数），
则消去参数x+y＝1，直线的斜率为﹣1，
故所求倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，属于基础题．
7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α＝　﹣2　．
【分析】利用幂函数的性质直接求解．
【解答】解：．
若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，
则α＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为 　[﹣3，5]　．
【分析】设、所成角为θ，计算出向量+2在方向上的投影，即可求出1+4cosθ的范围，即可求出答案．
【解答】解：因为＝1，＝2，设、所成角为θ，
向量+2在方向上的投影为：
＝＝1+4cosθ，
因为0∈[0，π]，所以cosθ∈[﹣1，1]，所以1+4cosθ∈[﹣3，5]．
故答案为：[﹣3，5]．
【点评】本题考查向量的投影的问题，是基础题．
9．（5分）已知等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a1＝1，公比为3，则＝　　．
【分析】先求解{an}的通项公式，再求解Sn，进而求解极限即可．
【解答】解：由题意，an＝3n﹣1，Sn＝＝，则＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了极限的运算法则、数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
10．（5分）设a，b∈R，c∈[0，4π）．若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 　8　．
【分析】由恒成立的等式可确定|a|＝1，|b|＝2；结合三角函数诱导公式的知识，分别讨论a，b不同取值时对应的c的取值，结合c的范围可得结果．
【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（2x﹣）＝asin（bx+c），∴y＝asin（bx+c）与y＝sin（2x﹣）的最值和最小正周期相同，
∴|a|＝1，|b|＝2，即a＝±1，b＝±2，
①当a＝1，b＝2时，sin（2x﹣）＝sin（2x+c），∴c＝﹣+2kπ，（k∈Z），
又c∈[0，4π），∴c＝或c＝，则（a，b，c）＝（1，2，）或（1，2，）；
②当a＝1，b＝﹣2时，sin（2x﹣）＝sin（﹣2x+c），∴c＝+（2k+1）π，（k∈Z），
又c∈[0，4π），∴c＝或c＝，则（a，b，c）＝（1，﹣2，）或（1，﹣2，）；
③当a＝﹣1，b＝2时，sin（2x﹣）＝﹣sin（2x+c），∴c＝﹣+（2k+1）π，（k∈Z），
又c∈[0，4π），∴c＝或c＝，则（a，b，c）＝（﹣1，2，）或（﹣1，2，）；
④当a＝﹣1，b＝﹣2时，sin（2x﹣）＝﹣sin（﹣2x+c），∴c＝+2kπ，（k∈Z），
又c∈[0，4π），∴c＝或c＝，则（a，b，c）＝（﹣1，﹣2，）或（﹣1，﹣2，）；
综上所述：满足条件的有序实数组（a，b，c）共有8组．
故答案为：8．
【点评】本题考查三角函数诱导公式，属于中档题，分类讨论是关键．
11．（5分）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 　（10，15），（6，10）　．
【分析】利用概率列出关于m，n的等式，能求出结果．
【解答】解：由题意，取出的两球颜色相同的概率等于两球颜色不同的概率等于，
∴＝，即＝，
∴4mn＝（m+n）（m+n﹣1）＝（m+n）2﹣（m+n），
整理得（n﹣m）2＝m+n，即m+n为平方数，
又4≤m＜n，m+n≤30，∴m+n＝25，m+n＝16或m+n＝9，
当m+n＝25时，n﹣m＝5，解得（m，n）＝（10，15），
当m+n＝16时，n﹣m＝4，解得（m，n）＝（6，10），
当m+n＝9时，n﹣m＝3，解得（m，n）＝（3，6），不合题意，
∴（m，n）＝（10，15）或（m，n）＝（6，10）．
故答案为：（10，15），（6，10）．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）对于给定的正整数n（n≥2），定义在区间[0，n]上的函数y＝f（x）满足：当0≤x≤1时，f（x）＝﹣x2+2x，且对任意的x∈[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，则关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为 　2n﹣1　．
【分析】数形结合，画出y＝f（x）在区间[0，n]上的图象，根据y＝knx与y＝f（x）的图象交点分析即可．
【解答】解：由题意，画出y＝f（x）在区间[0，1]上的图象，又对任意的[1，n]，都成立f（x）＝f（x﹣1）+1．
可理解为区间[n﹣1，n]的图象由区间[n﹣2，n﹣1]的图象向右平移一个单位所得，
即可画出y＝f（x）在区间[0，n]上的图象，如图所示，

故若与n有关的实数kn使得方程f（x）＝knx在区间[n﹣1，n]上有且仅有一个实数解，
则y＝knx与y＝f（x）在区间[n﹣1，n]上的图象相切，
且易得y＝f（x）的图象在y＝x与区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n﹣1，n]上的公切线之间，
故y＝knx与y＝f（x）在区间[0，1]，[1，2]，[2，3]，⋯[n﹣1，n]上均有2个交点，
故关于x的方程f（x）＝knx的实数解的个数为2（n﹣1）+1＝2n﹣1个．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查方程的解的个数与函数图的交点，考查数形结合思想的应用，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（5分）若a、b均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（　　）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．ab＜0 D．ab≤0
【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为a、b均为非零实数且，所以≥2，
因为b2＞0，a2＞0，所以b2+a2＞0，所以ab＞0，由ab＞0，可得，0，所以＝2，当且仅当，即a＝b时取等号，
所以不等式成立的一个充要条件为ab＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
14．（5分）如图，已知P、Q、R分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC和C1D1的中点，由点P、Q、R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据题意，作RT平行PQ，交A1D1于点T，取AA1的中点M，CC1的S，连接PM、TM、RS、QS，可得过PQR的截面图形．
【解答】解：作RT平行PQ，交A1D1于点T，
取AA1的中点M，CC1的S，连接PM、TM、RS、QS，
可得过PQR的截面为六边形PQSRTM．
故选：D．

【点评】本题考查了线面、面面的位置关系应用问题，也考查推理与判断能力，是基础题．
15．（5分）记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（　　）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【分析】根据题意用a1，a2表示出a3，由方程③有两个不相等的实根时得出﹣16＞0，再找出满足该条件时方程①、②是否有实根即可．
【解答】解：因为a1，a2，a3是正实数，且a1，a2，a3成等比数列，所以a22＝a1a3，
即a3＝；
当方程③有两个不相等的实根时，﹣16＞0，
所以﹣16＞0，解得＞4；
当方程②有实根，且方程①无实根时，△1＝a12﹣4＜0，△2＝a22﹣8≥0，
化简得0＜a1＜2，≥8；
所以＞，＞4．
此时方程③的判别式△3＝a32﹣16＞0，方程③有两个不相等的实根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程根存在性与判别式之间的关系，以及等比数列的定义和性质应用问题，是中档题．
16．（5分）将曲线（x≥0）与曲线（x≤0）合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A，B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【分析】对①分析k＝0，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；
对②设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，P（x0，y0），则x0＝，y0＝，利用点差法化简可得y0＝，故若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，则y0＝k0x0（k0＝∈R）为常数，再化简分析推出无解即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，P（x0，y0），则x0＝，y0＝，
对于①当k＝0时，+＝1，+＝1，易得y1＝y2，故两式相减得﹣＝0，易得x1＜0＜x2，
故x1＝﹣x2，所以x0＝，y0＝y1，即x2＝x0，y2＝y0，代入+＝1，可得+＝1，
所以+＝1，故存在k＝0，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；故①正确；
对于②P（x0，y0），则x0＝，y0＝，由题意，若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，
则+＝1，+＝1，﹣+﹣＝0，﹣+＝0，又＝k，
故﹣+＝0，即y0＝，又x0＝，故若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，
则y0＝k0x0（k0＝∈R）为常数，即﹣k0＝﹣
＝＝为定值，因为分子分母x1，x2次数不同，
故若为定值，则分子恒为0，即+k0k＝+k0k＝0，此方程无解，
即不存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，故②不正确．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，探求符合条件的曲线是否存在的问题，属中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．
17．如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【分析】（1）所形成几何体是圆锥，求出圆锥的侧面积即可．
（2）∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，求出BM，利用反三角函数表示∠BMC的值即可．
【解答】解：（1）将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角边BC旋转一周，
所形成几何体是底面半径为r＝1，母线长为l＝的圆锥，
所以该圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×1×＝π．
（2）由题意知，CB⊥平面ABA1，连接OM，则∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，
因为AC＝A1C，M为AA1的中点，所以CM⊥AA1，所以BM⊥AA1，
所以BM＝AA1＝，且BC＝1，
所以tan∠BMC＝＝＝，
所以∠BMC＝arctan，即CM与平面AA1B所成角的大小为arctan．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征与线面角的计算问题，是中档题．
18．设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）利用y把x表示出来即可求得结果；
（2）对a分情况讨论，利用函数奇偶性的定义判断即可得出结论．
【解答】解：（1）由，得，于是，且y≠0．
因此，所求反函数为．
（2）当a＝﹣1时，，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
，故函数y＝f（x）是奇函数；
当a≤0且a≠﹣1时，函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣a，+∞），函数y＝f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
【点评】本题考查了反函数的求解以及函数奇偶性的判断，属于中档题．
19．某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且∠BAO＝∠BCO．设∠BAO＝α（）．
（1）当AB＝4，时，求AC的长；（结果精确到0.1米）
（2）当AB＝6时，求OABC面积S的最大值及此时α的值．

【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC可求AC；
（2）当AB＝6时，S＝2×OB×BA×sin（﹣α），计算可求OABC面积S的最大值及此时α的值．
【解答】解：（1）连接BC，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝2π﹣﹣﹣＝，
由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC＝80+32，
故AC＝≈11.6；
（2）连接OB，由题意AB＝BC＝6，∠ABO＝∠CBO＝π﹣﹣α＝﹣α，
在△OBC中，由正弦定理得＝，得OB＝6sinα，
于是S＝2×OB×BA×sin（﹣α）＝36sinαsin（﹣α）＝36sinα（cosα+sinα）
＝36sinαcosα+36sin2α＝18sin2α﹣18cos2α+18＝18sin（2α﹣）+18，（0＜α＜），
当2α﹣＝时，即α＝时，S取最大值18+18．
因此当α＝时，OABC面积的最大值为18+18．
【点评】本题考查正余弦定理在实际生活中的应用，属中档题．
20．已知双曲线Γ：，F为左焦点，P为直线x＝1上一动点，Q为线段PF与Γ的交点．定义：．
（1）若点Q的纵坐标为，求d（P）的值；
（2）设d（P）＝λ，点P的纵坐标为t，试将t2表示成λ的函数并求其定义域；
（3）证明：存在常数m、n，使得md（P）＝|PF|+n．
【分析】（1）首先求出Q点的坐标，即可得到直线PF的方程，从而求出P点坐标，即可得解；
（2）设点Q的坐标为（xQ，yQ），由，即可得到xQ、yQ，代入椭圆方程整理可得；
（3）当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q′，设直线x＝1与x轴的交点为P′，点Q的坐标为（xQ，yQ）．依题意可得n＝d（P）（m﹣|QF|）又，再由距离公式求出|QF|，即可得到，从而求出m、n的值，再计算点P在x轴上时的情形，即可得证；
【解答】（1）解：由题意，点F的坐标为（﹣4，0），
将代入双曲线中，可得，
所以x＝±3，不妨取Q的坐标为，
于是直线PF的方程为，
将x＝1代入直线PF的方程，得点P的坐标为，
因此；
（2）解：由题意，点F的坐标为（﹣4，0），点P的坐标为（1，t），
设点Q的坐标为（xQ，yQ），由，
又，
即（5，t）＝λ（xQ+4，yQ），
所以，代入双曲线方程，得，
整理得t2＝36λ2﹣120λ+75，
由t2≥0，即36λ2﹣120λ+75≥0，结合λ＞0，解得或．
又xQ≤﹣2，即，结合λ＞0，解得．
因此；
（3）证明：点F的坐标为（﹣4，0），
当点P不在x轴上时，过Q作x轴的垂线，垂足为Q′，

设直线x＝1与x轴的交点为P，点Q的坐标为（xQ，yQ），
md（P）＝|PF|+n，即n＝md（P）﹣|PF|＝d（P）（m﹣|QF|），
，
由Q为线段PF与Γ的交点，得点Q的坐标（xQ，yQ）满足方程，即，
于是，
又xQ＜﹣2，故|QF|＝﹣2（xQ+1），
于是，
故存在常数m＝6、n＝10，使得md（P）＝|PF|+n，
当点P在x轴上时，P（1，0），Q（﹣2，0），F（﹣4，0），
所以|FP|＝5，|FQ|＝2，即，
所以6×d（P）＝|PF|+10，即上述结论亦成立．
【点评】本题考查了双曲线的性质以及双曲线中的定值问题，属于较难题．
21．已知数列{an}满足以下两个条件：①a1＝1，当n≥2时，|an﹣1|＝|an﹣1+1|；②若存在某一项am≤﹣3，则存在k∈{1，2，⋯，m﹣1}，使得ak＝am+2（m≥2且m∈N*）．
（1）若a2＞0，求a2，a3，a4；
（2）若对一切正整数n，an+T＝an均成立的T的最小值为6，求该数列的前9项之和；
（3）在所有的数列{an}中，求满足am＝﹣2021的m的最小值．
【分析】（1）先根据条件①取绝对值可得an＝﹣an﹣1或an＝an﹣1+2，得a2＝a1+2＝3，a3＝﹣3或a3＝5．再根据条件②逐个分析是否满足题意即可；
（2）根据条件①结合周期性得a5＝﹣a6＝1或a5＝a6﹣2＝﹣3，再逐个分析是否满足条件即可；
（3）先根据条件②可得bn＝﹣2n+1（1≤n≤1011）必为数列{an}中的项，再结合条件①可得a3n﹣1＝bn分析即可．
【解答】解：条件①即：当n≥2时，an＝﹣an﹣1或an＝an﹣1+2．
（1）由a2＞0，得a2＝a1+2＝3，于是a3＝﹣3或a3＝5，
当a3＝﹣3时，由条件②，得a1＝a3+2＝﹣1，不满足条件①，舍去，故a3＝5．
同理可得a4＝7．因此，a2＝3，a3＝5，a4＝7．
（2）由题意，a7＝a1＝1，由条件①，得a6＝﹣1，于是a5＝﹣a6＝1或a5＝a6﹣2＝﹣3．
当a5＝1时，由条件①，得a4＝﹣1，此时该数列的前6项为1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，不合题意，舍去；
当a5＝﹣3时，由条件①，得a4＝3或﹣5，结合条件②，得a2，a3中必有一项为﹣1，因为a1＝1，所以只有a2＝﹣1，此时a3＝1，a4＝3，
故数列{an}的前6项为1，﹣1，1，3，﹣3，﹣1，这前6项的和为0．
因此，该数列的前9项之和为1．
（3）由am＝﹣2021及条件②，可得﹣1，﹣3，﹣5，…，﹣2019，﹣2021必为数列{{an}中的项，记该数列为{bn}，有bn＝﹣2n+1（1≤n≤1011），
以下考虑{bn}在数列{an}中依次是哪些项，不妨令bn＝aj，
由条件①，aj+1＝﹣aj＝2n﹣1或aj+1＝aj+2＝﹣2n+3，均不为bn+1＝﹣2n﹣1；
此时aj+2＝﹣2n+1或2n+1或2n﹣3或﹣2n+5，均不为bn+1＝﹣2n﹣1．
上述情况中，当aj+1＝2n﹣1，aj+2＝2n+1时，aj+3＝﹣aj+2＝﹣2n﹣1＝bn+1，结合a1＝1，有a3n﹣1＝bn．
由b1011＝﹣2021，得m＝3×1011﹣1＝3032即为所求．
【点评】本题主要考查由数列的递推关系研究数列的性质，属于难题．
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