2020年上海市青浦区高考数学二模卷（含解析）

这是一份2020年上海市青浦区高考数学二模卷（含解析），共21页。

上海市青浦区2020届高三二模数学试卷
2020.5
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果
1．已知全集，集合，则集合__________．
2．已知为虚数单位，复数的共轭复数__________．
3．已知函数，则方程的解__________．
4．若的展开式中的系数是，则实数的值是__________．
5．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．
6．用一平面去截球所得截面的面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的表面积是__________．
7．已知且，则的最小值为__________．
8．已知平面向量满足，，，则与的夹角为_________．
9．设，，则函数是减函数的概率为_________．
10．已知函数，若存在实数满足，则实数的取值范围是_______．
11．已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则△的三个顶点的横坐标之和为__________．
12．定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_______．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知，则“”是“”的………………………………………（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为……………………………………………… （ ）．
（A） （B） （C） （D）
15．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在，，上时，的最大值分别是，，，则…………………（ ）．
（A） （B） （C） （D）
16．已知函数，关于的方程有以下结论：
①当时，方程在内最多有个不等实根；
②当时，方程在内有两个不等实根；
③若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为．
④若方程在内根的个数为偶数，则所有根之和为．
其中所有正确结论的序号是……………………………………………………………（ ）．
（A）②④ （B）①④ （C）①③ （D）①②③

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在正四棱柱中，．
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求异面直线与所成角的大小．







18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数．
（1）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．







19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为．
（1）求的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？









20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知椭圆的左、右焦点分别是，，其长轴长是短轴长的2倍，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，的斜率分别为，，若，证明为定值，并求出这个定值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．







21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”．其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．














上海市青浦区2020届高三二模数学试卷
答案解析版
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．已知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），则集合∁UA＝　[2，+∞）　．
【分析】由补集的定义直接可以得出．
解：由题知全集U＝R，集合A＝（﹣∞，2），故∁UA＝[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题主要考查的是补集及其运算，是道基础题．
2．已知i为虚数单位，复数z＝2+i的共轭复数z=　2﹣i　．
【分析】复数z＝a+bi的共轭复数z=a﹣bi．
解：i为虚数单位，
复数z＝2+i的共轭复数z=2﹣i．
故答案为：2﹣i．
【点评】本题考查复数的共轭复数的求法，考查共轭复数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3．已知函数f(x)=1+1x，则方程f﹣1（x）＝2的解x＝　32　．
【分析】利用互为反函数的性质即可得出．
解：函数f(x)=1+1x，
则方程f﹣1（x）＝2的解x＝1+12=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．若（ax+1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是　2　．
【分析】由题意可得，Tr+1＝C5r（ax）5﹣r＝a5﹣rC5rx5﹣r，令5﹣r＝3可得r＝2，则有a3C52＝80，从而可求
解：由题意可得，Tr+1＝C5r（ax）5﹣r＝a5﹣rC5rx5﹣r
令5﹣r＝3可得r＝2
∴a3C52＝80∴a＝2
故答案为：2
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，属于基础试题．
5．双曲线x24−y24=1的一个焦点到一条渐近线的距离是　2　．
【分析】求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可．
解：双曲线x24−y24=1的一个焦点（22，0）到一条渐近线x+y＝0的距离：|22|12+12=222=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
6．用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是　16π　cm2．
【分析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．
解：用一平面去截球所得截面的面积为3πcm2，
∴小圆的半径为3cm；
已知球心到该截面的距离为1 cm，
∴球的半径为：12+(3)2=2cm，
∴该球的表面积是S＝4π×22＝16πcm2．
故答案为：16．

【点评】本题考查球的截面小于的半径、球心到球的截面的距离与球的半径之间的关系，是基础题．
7．已知x，y＞0且x+2y＝1，则1x+1y的最小值为　3+22　．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解：由已知：1x+1y=（1x+1y）（x+2y）＝1+2yx+xy+2≥3+22，
当且仅当2yx=xy时等号成立，则1x+1y的最小值为3+22，
故答案为：3+22．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
8．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，−1)，|b|→=1，|a→+2b→|=2，则a→与b→的夹角为　3π4　．
【分析】根据题意，设a→与b→的夹角为θ，由a→的坐标求出|a→|的值，进而由数量积的计算公式可得（a→+2b→）2=a→2+4a→•b→+4b→2＝6+4×1×2×cosθ＝2，计算可得cosθ的值，分析可得答案．
解：根据题意，设a→与b→的夹角为θ，
又由a→=(1，−1)，则|a→|=2，
若|a→+2b→|=2，则有（a→+2b→）2=a→2+4a→•b→+4b→2＝6+4×1×2×cosθ＝2，
解可得：cosθ=−22，
则θ=3π4；
故答案为：3π4．
【点评】本题考查数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
9．设a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，则函数f(x)=logba1x是减函数的概率为　23　．
【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，由函数f(x)=logba1x是减函数，得ba＞1，利用列举法求出函数f(x)=logba1x是减函数包含的基本事件（a，b）有6个，由此能求出函数f(x)=logba1x是减函数的概率．
解：∵a∈{1，3，5}，b∈{2，4，6}，
基本事件总数n＝3×3＝9，
∵函数f(x)=logba1x是减函数，∴ba＞1，
∴函数f(x)=logba1x是减函数包含的基本事件（a，b）有：
（1，2），（1，4），（1，6），（3，4），（3，6），（5，6），共6个，
∴函数f(x)=logba1x是减函数的概率p=69=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
10．已知函数f(x)=x−a，若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，则实数a的取值范围是　（﹣∞，14]　．
【分析】判断y＝f（x）在定义域内递增，结合条件可得y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，即方程x−a=x有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围．
解：函数f(x)=x−a在[a，+∞）递增，
若存在实数x0满足f[f（x0）]＝x0，可得y＝f（x）的图象与直线y＝x有交点，
即方程x−a=x有解．
由x−a=x（x≥0），可得x﹣a＝x2，即有a＝x﹣x2＝﹣（x−12）2+14，
而y＝﹣（x−12）2+14在[0，12）递增，（12，+∞）递减，
可得y＝﹣（x−12）2+14的最大值为14，此时x=12，
则a≤14，即a的取值范围是（﹣∞，14]．
故答案为：（﹣∞，14]．
【点评】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
11．已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线x2＝y上，其中一条边所在直线的斜率为2，则△ABC的三个顶点的横坐标之和为　−3210　．
【分析】设出点A，B，C的坐标，根据题意，利用两点之间斜率的关系表示出横坐标与斜率的关系，再由三角形为等边三角形，得到另外两边的斜率大小，进而表示出a+b+c，再由正切的和差角公式展开计算得答案．
解：设点A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），则kAB=a2−b2a−b=a+b，kBC=b2−c2b−c=b+c，kAC=a2−c2a−c=a+c，
不放设kAB=2，且直线AB的倾斜角为α，
又△ABC为等边三角形，则kBC=tan(α+π3)，kAC=tan(α−π3)，
∴a+b+c=12(kAB+kBC+kAC)=12[2+tan(α+π3)+tan(α−π3)]=22+12⋅tanα+tanπ31−tanαtanπ3+12⋅tanα−tanπ31+tanαtanπ3=−3210．
故答案为：−3210．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查直线斜率的求法以及正切和差角公式的运用，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
12．定义函数f（x）＝{x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{﹣2.3}＝﹣2，当x∈（0，n]（n∈N*）时，函数f（x）的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则an＝　n(n+1)2　．
【分析】当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，{x{x}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，则由此可求得an．
解：由题意得：当x∈（n﹣1，n]时，{x}＝n，所以x{x}所在的区间为（n（n﹣1），n2]，区间长度为n，
{x{x}}取到的整数为n2﹣n+1，n2﹣n+2，……，n2﹣n+n＝n2，共n个，
所以，当x∈（0，1]时，{x{x}}有1个；当x∈（1，2]时，{x{x}}有2个；当x∈（2，3]时，{x{x}}有3个；……，当x∈（n﹣1，n]时，{x{x}}有n个．
所以x∈（0，n]时，{x{x}}共有1+2+3+……+n=n(n+1)2个数．
故an=n(n+1)2．
故答案为：n(n+1)2．
【点评】本题考查新定义问题，注意分析x{x}所在的区间长度，从而确定{x{x}}的个数．考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．已知a，b∈R，则“b≥0”是“a2+b≥0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：当b≥0时，a2+b≥0成立．
当a＝3，b＝﹣1时，满足a2+b≥0成立，但b≥0不成立．
∴“b≥0”是“a2+b≥0”充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】将大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为An，Bn，令An+Bn＝8，求n即可．
【解答】解，设大鼠小鼠所打的厚度分别看作数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为An，Bn，
则，{an}，是以1为首项，2为公比的等比数列，
{bn}是以12为首项，12为公比的等比数列，
∴An=1−2n1−2=2n﹣1，Bn=12[1−(12)n]1−12=1−(12)n−1，
令An+Bn＝8，即2n﹣1+1−(12)n−1≥8，解得n≥4，
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和，属基础题．
15．记椭圆x24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn（n＝1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则limn→∞Mn=（　　）
A．2+5 B．4 C．3 D．22
【分析】先由椭圆x24+ny24n+1=1得到这个椭圆的参数方程为：x=2cosθy=4+1nsinθ（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．
解：椭圆x24+ny24n+1=1的参数方程为：x=2cosθy=4+1nsinθ（θ为参数），
∴x+y＝2cosθ+4+1nsinθ，
∴（x+y）max=22+4+1n=8+1n．
∴limn→∞Mn=limn→∞8+1n=22．
故选：D．
【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
16．已知函数f（x）＝sinx+2|sinx|，关于x的方程f2(x)−af(x)−1=0有以下结论：
①当a≥0时，方程f2(x)−af(x)−1=0在[0，2π]内最多有3个不等实根；
②当0≤a＜649时，方程f2(x)−af(x)−1=0在[0，2π]内有两个不等实根；
③若方程f2(x)−af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为15π．
④若方程f2(x)−af(x)−1=0在[0，6π]内根的个数为偶数，则所有根之和为36π．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．②④ B．①④ C．①③ D．①②③
【分析】先研究f（x）在[0，2π]内的图象，求其值域，进而研究方程f2(x)−af(x)−1=0两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．
解：由已知得f（x）＝sinx+2|sinx|=3sinx，x∈[0，π]−sinx，x∈(π，2π]，做出图象如下：

由f2(x)−af(x)−1=0得：f(x)=a+a+42或a−a+42.令t1=a+a+42，t2=a−a+42．显然a≥0，∴t1≥1，t2＜0（舍）．
原方程的根看成y＝t1与y＝f（x）的交点的横坐标．
对于①，如图所示：因为t1≥1，当a＝0时，t1＝1，y＝t与y＝f（x）恰好有三个交点；当a＞0时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；

对于②，结合①可知，a＝0时，有3个根，故②错误；
对于③，如图所示，由题意，只能满足：y＝t1只与y＝f（x）在[0，π]，[2π，3π]，[4π，5π]上的图象各有两个交点．

易知这六个零点分别关于x=π2，x=5π2，x=9π2对称，所以六个根的和为：2×π2+2×5π2+2×9π2=15π．
故③正确，④错误．
故正确命题的序号是①③．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．
三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°．
（1）求直线A1C与平面ABCD所成的角的大小；
（2）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小．

【分析】（1）由A1A⊥平面ABCD，A是垂足，得∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，由此能求出A1C与平面ABCD所成的角的大小．
（2）由A1C1∥AC，得∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，由此能求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小．
解：（1）设AB＝1，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠B1AB＝60°，
∴AB1＝2，BB1=3，AC=1+1=2，
∵A1A⊥平面ABCD，A是垂足，
∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，
∵tan∠A1CA=AA1AC=32=62，
∴∠A1CA＝arctan62．
∴A1C与平面ABCD所成的角的大小为62．
（2）∵A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线B1C与A1C1所成角，
∵AB1＝B1C＝2，AC=2，
∴cos∠B1CA=B1C2+AC2−AB122B1C⋅AC=4+2−42×2×2=24，
∴∠B1CA＝arccos24．
∴异面直线B1C与A1C1所成角的大小为arccos24．

【点评】本题考查线面角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18．已知函数f(x)=[2sin(x+π3)+sinx]cosx−3sin2x．
（1）若函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若存在x0∈[0，5π12]，使mf（x0）﹣2＝0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成2sin(2x+π3)，最后根据正弦函数的对称性求出对称轴，求出a的最小值即可；
（2）根据x0∈[0，512π]的范围求出2x0+π3的范围，再结合正弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出m的范围．
解：（1）因为f(x)=(2sinx+3cosx)cosx−3sin2x=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)
所以函数f（x）的图象的对称轴由下式确定：2x+π3=kπ+π2，k∈Z
从而x=k2π+π12，k∈Z．由题可知当k＝0时，a有最小值π12；
（2）当x0∈[0，512π]时，2x0+π3∈[π3，76π]，
从而sin(2x0+π3)∈[−12，1]，则f（x0）∈[﹣1，2]
由mf（x0）﹣2＝0可知：m≥1或m≤﹣2．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，以及正弦函数的值域，属于基础题．
19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈一、选择题*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【分析】（1）由题意知p（t）=1200−k(10−t)2，2≤t＜101200，10≤t≤20，t∈N，（k为常数），再由p（2）＝560求得k，则p（t）可求，进一步求得p（6）得答案；
（2）由Q=6p(t)−3360t−360，可得Q=6[1200−10(10−t)2−560t−60]，2≤t＜103840t−360，10≤t≤20，分段求最值得答案．
解：（1）由题意知p（t）=1200−k(10−t)2，2≤t＜101200，10≤t≤20，t∈N，（k为常数），
∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，
∴k＝10，
∴p（t）=1200−10(10−t)2，2≤t＜101200，10≤t≤20=−t2+200t+200，2≤t＜101200，10≤t≤20，
∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；
（2）由Q=6p(t)−3360t−360，可得
Q=6[1200−10(10−t)2−560t−60]，2≤t＜103840t−360，10≤t≤20，
当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（t+36t）]≤6（140﹣10×12）＝120，
当且仅当t＝6时等号成立；
当10≤t≤20时，Q=7200−3360t−360≤384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，
∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
20．（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值；
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k与P的横纵坐标的关系，再由P在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2与P的坐标的关系，进而可得1kk1+1kk2为定值﹣8；
（3）设P的坐标，由（1）可得焦点F1，F2的坐标，求出直线PF1，PF2的方程，由角平分线的性质，M到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m与P的横坐标的关系，再由P在椭圆上可得P的横坐标的取值范围求出m的范围．
解：（1）由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1，得y=±b2a．
由题意知2b2a=1，即a＝2b2．
又ba=12，a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝1．
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
联立得x24+y2=1y−y0=k(x−x0)，
整理得(1+4k2)x2+8(ky0−k2x0)x+4(y02−2kx0y0+k2x02−1)=0
由题意得△＝0，即(4−x02)k2+2x0y0k+1−y02=0．
又x024+y02=1，所以16y02k2+8x0y0k+x02=0，故k=−x04y0．
又知1k1+1k2=x0+3y0+x0−3y0=2x0y0，
所以1kk1+1kk2=1k(1k1+1k2)=(−4y0x0)⋅2x0y0=−8，
因此1kk1+1kk2为定值，这个定值为﹣8．
（3）设P（x0，y0）（y0≠0），又F1(−3，0)，F2(3，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x−(x0+3)y+3y0=0，
lPF2：y0x−(x0−3)y−3y0=0．
由题意知|my0+3y0|y02+(x0+3)2=|my0−3y0|y02+(x0−3)2．
由于点P在椭圆上，所以x024+y02=1．
所以|m+3|(32x0+2)2=|m−3|(32x0−2)2．
因为−3＜m＜3，﹣2＜x0＜2，可得m+332x0+2=3−m2−32x0，
所以m=34x0，
因此−32＜m＜32．
【点评】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合及角平分线的性质，属于中档题．
21．（18分）对于无穷数列{an}、{bn}，n∈N*，若bk＝max{a1，a2，…，ak}﹣min{a1，a2，…，ak}，k∈N*，则称数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”．其中max{a1，a2，…，ak}、min{a1，a2，…，ak}分别表示a1，a2，…，ak中的最大项和最小项．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是数列{an}的“收缩数列”．
（1）若an＝3n﹣1，求数列{bn}的前n项和；
（2）证明：数列{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；
（3）若S1+S2+…+Sn=n(n+1)2a1+n(n−1)2bn(n=1，2，3，⋯)，求所有满足该条件的数列{an}．
【分析】（1）判断{an}为递增数列，由“收缩数列”的定义求得bn＝3n﹣3，再由等差数列的求和公式，可得所求和；
（2）由题意可得max{a1，a2，…，an}≤max{a1，a2，…，an+1}（n＝1，2，3，…），min{a1，a2，…，an}≥min{a1，a2，…，an+1}（n＝1，2，3，…），推得bn+1≥bn（n＝1，2，3，…），结合“收缩数列”的定义，即可得证；
（3）由题意计算a1，a2，a3，猜想：满足S1+S2+⋯+Sn=n(n+1)2a1+n(n−1)2bn(n=1，2，3，⋯)的数列{an}是：an={a1，n=1#/DEL/#a2，n≥1#/DEL/#，a2≥a1．n∈N*，再由反证法，通过推理论证得到矛盾，即可得到结论．
解：（1）由an＝3n﹣1，可得{an}为递增数列，
所以bn＝max{a1，a2，…，an}﹣min{a1，a2，…，an}＝an﹣a1＝3n﹣1﹣2＝3n﹣3，
故{bn}的前n项和为n(0+3n−3)2=3n(n−1)2；
（2）证明：因为max{a1，a2，…，an}≤max{a1，a2，…，an+1}（n＝1，2，3，…），
min{a1，a2，…，an}≥min{a1，a2，…，an+1}（n＝1，2，3，…），
所以max{a1，a2，…，an+1}﹣min{a1，a2，…，an+1}≥max{a1，a2，…，an}﹣min{a1，a2，…，an}，
所以bn+1≥bn（n＝1，2，3，…），
又因为b1＝a1﹣a1＝0，所以max{b1，b2，…，bn}﹣min{b1，b2，…，bn}＝bn﹣b1＝bn，
所以{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；
（3）由S1+S2+⋯+Sn=n(n+1)2a1+n(n−1)2bn(n=1，2，3，⋯)，可得
当n＝1时，a1＝a1；
当n＝2时，2a1+a2＝3a1+b2，即b2＝a2﹣a1，所以a2≥a1；
当n＝3时，3a1+2a2+a3＝6a1+3b3，即3b3＝2（a2﹣a1）+（a3﹣a1）（*），
若a1≤a3＜a2，则b3＝a2﹣a1，所以由（*）可得a3＝a2，与a3＜a2矛盾；
若a3＜a1≤a2，则b3＝a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2＝3（a1﹣a3），
所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；
若a3≥a2，则b3＝a3﹣a1，由（*）可得a3＝a2．
猜想：满足S1+S2+⋯+Sn=n(n+1)2a1+n(n−1)2bn(n=1，2，3，⋯)的数列{an}是：an={a1，n=1#/DEL/#a2，n≥1#/DEL/#，a2≥a1．n∈N*，
经验证，左边=S1+S2+⋯+Sn=na1+[1+2+⋯+(n−1)]a2=na1+n(n−1)2a2，
右边=n(n+1)2a1+n(n−1)2bn=n(n+1)2a1+n(n−1)2(a2−a1)=na1+n(n−1)2a2．
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件．
由上述n≤3时的情况可知，n≤3时是成立的．
假设ak是首次不符合an={a1，n=1#/DEL/#a2，n≥2#/DEL/#，a2≥a1的项，则a1≤a2＝a3＝…＝ak﹣1≠ak，
由题设条件可得k2−k−22a2+ak=k(k+1)2a1+k(k−1)2bk（*），
若a1≤ak＜a2，则由（*）式化简可得ak＝a2与ak＜a2矛盾；
若ak＜a1≤a2，则bk＝a2﹣ak，所以由（*）可得ak−a2=k(k−1)2(a1−ak)，
所以ak﹣a2与a1﹣ak同号，这与ak＜a1≤a2矛盾；
所以ak≥a2，则bk＝ak﹣a1，所以由（*）化简可得ak＝a2．
这与假设ak≠a2矛盾．
所以，所有满足该条件的数列{an}的通项公式为an={a1，n=1，#/DEL/#a2，n≥2，#/DEL/#a2≥a1，n∈N*．
【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查列举法和反证法的运用，以及化简运算能力、推理能力，是一道难题．