2020年上海市嘉定区高考一模数学试卷
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- 已知集合 ，，则 ．
- 方程 的解为 ．
- 行列式 的值为 ．
- 计算 ．
- 若圆锥的侧面面积为 ，底面面积为 ，则该圆锥的母线长为 ．
- 已知向量 ，，则 ．
- 位女生 位男生排成一排，则 位女生不相邻的排法共有 种．
- 已知点 在角 终边上，且 ，则 ．
- 近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A，B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了 人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A，B两种支付方式都没有使用过的有 人；使用了A，B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取 名员工，则该员工在该月A，B两种支付方式都使用过的概率为 ．
- 已知非零向量 ，， 两两不平行，且 ，，设 ，，则 ．
- 已知数列 满足：，，记数列 的前 项和为 ,若对所有满足条件的 ， 的最大值为 ,最小值为 ,则 ．
- 已知函数 ，若对任意实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有解，则实数 的取值范围为 ．
- 已知 ，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
- 下列函数中，值域为 的是
A． B． C． D．
- 已知正方体 ，点 是棱 的中点，设直线 为 ，直线 为 ，对于下列两个命题：①过点 有且只有一条直线 与 ， 都相交；②过点 有且只有一条直线 与 ， 都成 角，以下判断正确的是
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
- 某港口某天 时至 时的水深 （米）随时间 （时）变化曲线近似满足如下函数模型：，若该港口在该天 时至 时内，有且只有 个时刻水深为 米，则该港口该天水最深的时刻不可能为
A． 时 B． 时 C． 时 D． 时
- 如图，底面为矩形的直棱柱 满足：，，．
(1) 求直线 与平面 所成角 的大小．
(2) 设 ， 分别为棱 ， 上的动点，求证：三棱锥 的体积 为定值，并求出该值．
- 在复平面内复数 ， 所对应的点为 ，， 为坐标原点， 是虚数单位．
(1) ，，计算 与 ．
(2) 设 ，（），求证：，并指出向量 ， 满足什么条件时该不等式取等号．
- 如图，某城市有一矩形街心广场 ，如图，其中 百米， 百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池 种植荷花，其中点 在 边上，点 在 边上，要求 ．
(1) 若 百米，判断 是否符合要求，并说明理由．
(2) 设 ，写出 面积的 关于 的表达式，并求 的最小值．
- 已知数列 各项均为正数， 为其前 项的和，且 ，， 成等差数列．
(1) 写出 ，， 的值，并猜想数列 的通项公式 ．
(2) 证明（）中的猜想．
(3) 设 ， 为数列 的前 项和，若对于任意 ，都有 ，求实数 的值．
- 已知函数 ，其中 为常数．
(1) 当 时，解不等式 ．
(2) 已知 是以 为周期的偶函数，且当 时，有 ，若 ，且 ，求函数 的反函数．
(3) 若在 上存在 个不同的点 ，，使得 ，求实数 的取值范围．
答案
1. 【答案】
【解析】因为集合 ，
，
所以 ．
2. 【答案】
【解析】 ，．
3. 【答案】
【解析】行列式
4. 【答案】
【解析】
5. 【答案】
【解析】设地面圆半径为 ，母线长为 ，则同圆锥的侧面面积为 ，底面面积为 可得：，解得 即该圆锥的母线长为 .
6. 【答案】
【解析】 ，
故 ．
7. 【答案】
【解析】先将 位男生全排列，有 种排法，再将 位女生插入 位男生形成的 个空中，有 种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法有 种．
8. 【答案】
【解析】因为点 在角 终边上，，
所以 ，
则 ，
9. 【答案】
【解析】由题中数据知，A，B两种支付方式都没有使用过的有 人，
使用A支付方式的有 人，使用B支付方式的有 人，
作出维恩图如下：
设A，B都使用的有 人，则 ，
解得 人，
故从该公司随机抽取 名员工，
则该员工在该月A，B两种支付方式都使用的概率为 ．
10. 【答案】
【解析】因为非零向量 ，， 两两不平行，且 ，，
所以 ，
，
所以
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
故答案为：．
11. 【答案】
【解析】根据题意，易知 ,
,
所以 ．
12. 【答案】
【解析】由题意， 在区间 上的图象如图所示：
根据题意，对任意实数 ，关于 的不等式 在区间 上总有解，
则只要找到其中一个实数 ，
使得函数 的最大值最小即可，
如图，函数 向下平移到一定程度时，
函数 的最大值最小．
此时只有当 时，才能保证函数 的最大值最小．
设函数 图象向下平移了 个单位，（）．
所以 ，
解得 ．
所以此时函数 的最大值为 ．
根据绝对值函数的特点，可知实数 的取值范围为：．
13. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以“”是“”的必要非充分条件．
14. 【答案】A
15. 【答案】B
【解析】直线 与 是两条互相垂直的异面直线，点 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取 的中点 ，则 ，且 ，设 与 交于 ，则点 ，，，， 共面，直线 必与 相交于某点 ，则过 点有且只有一条直线 与 ， 都相交，故①为真命题；分别平移 ， , 使 与 均经过 ，则有两条互相垂直的直线与 ， 都成 角，故②为假命题．
所以①为真命题，②为假命题．
16. 【答案】D
【解析】为方便运算，将该函数模型微调为：．（对于港口水深而言，记录时因为海水涌动，存在 厘米的误差也是正常的，所以调整 厘米，影响微乎其微，不微调的话，做法也是一样的，只是会有太多小数）
设 解为 ，，，且 ，，
所以 ，，即 ，，，
所以 ，即 ，
所以 ．
当 取最大值时，，，，
因为 ，
所以不可能为 时．
17. 【答案】
(1) 由直棱柱知 ，
所以 ．
又因为 ，
所以直线 ，
所以 即直线 与平面 的所成角 ．
由题意 ，，
所以 ，
所以直线 与平面 的所成角 ．
(2) 记点 到平面 的距离为 ，三角形 的面积为 ，则 ，
由已知 ，，
所以 为定值．
18. 【答案】
(1) ，
，，
所以 ．
(2) ，，
，，
，
，
所以 ，
当 时取“”，此时 ．
19. 【答案】
(1) 由题意 ，，，
所以 ，
所以 ， 不符合要求．
(2) ，，
，，
所以 ，
所以 ， 的最小值为 ．
20. 【答案】
(1) 由已知 ，
所以 ，，．
猜想 ．
(2) 当 时，，，
所以 ，
得 ．
因为 ，所以 ，
数列 为等差数列，又由（），，
所以 ．
(3) 由（）知 ，，
若 ，则 ．
因为 ， 都是整数，所以对于任意 ， 都是整数，进而 是整数，
所以 ，，此时 ．
设 ，则 ，所以 或 ．
①当 时，对于任意 ，；
①当 时，对于任意 ，，
所以实数 取值的集合为 ．
21. 【答案】
(1) 解不等式 ，
当 时，，
所以 ，
当 时，，
所以
综上，该不等式的解集为 ．
(2) 当 时，，
因为 是以 为周期的偶函数，
所以 ，
由 ，且 ，
得 ，
所以当 时，，
所以当 时，，
所以函数 的反函数为 ．
(3) ①当 时，在 上 ，是 上的增函数，
所以
所以 ，
得 ．
②当 时，
在 上 ，
是 上的增函数，
所以
所以 ，
得 ．
③当 时， 在 上不单调，
所以
，
在 上，．
不满足
综上， 的取值范围为 ．
④当 时，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
于是
令 ，
解得 或 ，不符合题意，
⑤当 时，
分别在 ， 上单调递增，
在 上单调递减，
令 ，
解得 或 不符合题意．
综上，所求实数 的取值范围为 ．
2023年上海市嘉定区高三上学期高考一模数学试卷含详解： 这是一份2023年上海市嘉定区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共21页。试卷主要包含了 如图为正六棱柱等内容，欢迎下载使用。
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