2023年上海市黄浦区高三二模数学试卷含答案

黄浦区2023年高考模拟考

数 学 试 卷

2023年4月

（完卷时间：120分钟   满分：150分）

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共21道试卷，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．设集合，，则__________．

2．函数的最小正周期为__________.

3．若函数的图像经过点与，则的值为_________．

4．已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且(i为虚数单位)，则________．

5．以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为__________．

6．已知是与4的等差中项，且，则的值为__________．

7．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若－4，则实数的值为__________．

8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心，底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________cm2．

9．若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，

且函数在区间上是严格减函数，则__________．

10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为，变为原来的0.98倍的概率也为，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．

11．如图，在直角梯形中，∥，，，，点是腰上的动点，则的最小值为__________．

12．已知实数满足：与，则的取值范围为__________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．

13．若直线与直线垂直，则实数a的值为 （     ）．

A．     B．     C．     D．

14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 （     ）．

A．“恰好有一个白球”与“都是红球”  B．“至多有一个白球”与“都是红球”

C．“至多有一个白球”与“都是白球”  D．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”

15．如图，与都是等腰直角三角形，其底边分别为与，点、分别为线段、的中点，设二面角的大小为，当在区间内变化时，下列结论正确的是              （     ）．

A．存在某一值，使得   

B．存在某一值，使得

C．存在某一值，使得   

D．存在某一值，使得

16．设数列的前项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“数列”. 关于命题：①存在等差数列，使得它是“数列”；②若是首项为正数、公比为的等比数列，则是为“数列”的充要条件．下列判断正确的是              （     ）．

A．①和②都为真命题      B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题    D．①和②都为假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在中，，．

（1）求的值；

（2）若，求的周长和面积．

18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，多面体是由棱长为的正方体沿平面截去一角所得到．在棱上取一点，过点的平面交棱于点．

（1）求证：∥；

（2）若，求点到平面的距离以及与平面所成角的大小．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．

（1）请列出列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；

（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．

附：．

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，过点的动直线与双曲线C交于点A、B，设．

（1）求双曲线C的渐近线方程；

（2）若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值）

（3）若点A在双曲线C的左支上（点A不是该双曲线的顶点）,且，求证：是等腰三角形，且边的长等于双曲线C的实轴长的2倍．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

三个互不相同的函数,与在区间上恒有或恒有    ≤≤,则称为与在区间上的“分割函数”．

（1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；

（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；

（3）若，且存在实数，使得为与在区间,上的“分割函数”，求的最大值．

参考答案和评分标准

说明：

    1．本解答仅列出试卷的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

一、填空题（本大题满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）

1. ； 2. ；            3. ；   4. ；   5. ；6. ；     

7. ；   8. ；9.；   10. ；  11. 4；           12. .

二、选择题（本大题共4小题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）

13. B     14. A      15. D     16. C

三、解答题（本大题共有5题，满分78分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）在中，由，可得，

同理可得，                                   …………………………2分

所以 …………………4分

.                                …………………………6分

（2）设的角所对的边的长分别为，外接圆半径为，

则，可得，              …………………………8分

故，同理可得，          …………………………11分

所以的周长.         …………………………12分

的面积.          …………………………14分

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）在多面体中，因为棱与平行且相等，

且棱与平行且相等，可得棱与平行且相等，

故四边形是平行四边形，所以∥.            ………………………2分

又在平面上，不在平面上，所以∥平面， …………4分

又平面经过且与平面交于，所以∥.         …………6分

（2）以点为坐标原点, 分别作为轴, 建立空间

直角坐标系, 连.

因为平面,在平面上, 所以，

又四边形是正方形, 所以, 因为是平面

内两条相交直线，故可得平面.   ………8分

点的坐标分别为,, 由, 可

知点的坐标为, 故,，     ……………………10分

所以点到平面的距离,      …………………12分

设与平面所成角为，则，

所以与平面所成角为.                  ……………………14分

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）根据统计图, 可得如下列联表:

提出原假设: 是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关, 确定显著性水平，

可得,                         …………………4分

由，且，

因此没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关. …………………6分

（2）设事件表示“在35周岁以下组”, 表示“是生产标兵”, 用样本估计总体, 可知

，，                              …………………8分

设，则，          

所以，可得.                  …………………11分

.                     …………………13分

所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比、该厂生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为、.                                  …………………14分

20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解:（1）设双曲线C的方程为, 焦距为,

由, 可得,                         ………………………2分

所以该双曲线的渐近线方程为.                    ………………………4分  

（2）设，，因为点A、B都在双曲线C的右支上，所以，

(当且仅当时,).故的最大值为. 当取最大

值时，,,所以轴且, ……7分

双曲线C的方程为,即,由

解得, 可知,又,所以

，.  ……10分

（3）设直线的方程为，将它代入，可得

,设的坐标分别为,，

可得，，               ……12分

由, 可得,

故,

又同号, 可知，即，

即，解得，…14分

此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交.

又，所以

，即，                               ……………16分       

它等于双曲线实轴长的2倍，此时

，所以是等腰三角形.                   ……………18分

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解：（1）因为恒成立，且恒成立，

所以当时，恒成立，

故是与在上的“分割函数”.  ……………2分

又因为,当与时，其值分别为与，

所以与在上都不恒成立，

故不是与在上的“分割函数”. ……………4分

（2）设是与在上的“分割函数”，则对一切实数恒成立,由,

当时，它的值为，可知的图像在处的切线

为直线，它也是的图像在处的切线，

所以 可得           ……………7分

所以对一切实数恒成立，

即且对一切实数恒成立，

可得且，即，        ……………8分

又时与为相同函数，不合题意，

故所求的函数为.                      ………10分

（3）关于函数，令，可得，

当与时,；当与时,.

可知是函数极小值点，0是极大值点, 该函数与的

图像如图所示.                                                  …………12分

由为与在区间,上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图像相切，并且切点横坐标∪，此时切线方程为，即，   ………14分

设直线与的图像交于点，

则由可得，

所以

    ………16分

，令，

(仅当时，),所以

严格减，故的最大值为,可知的最大值为，

所以的最大值为.              …………………………………………18分