上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末（一模）教学质量检测高三数学试卷

这是一份上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末（一模）教学质量检测高三数学试卷，共8页。试卷主要包含了12， 若集合，集合，则， 复数满足，则， 设是等差数列，且，，则， 在的二项展开式中，常数项为等内容，欢迎下载使用。


一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 若集合，集合，则
2.
3. 复数满足（为虚数单位），则
4. 若关于、的方程组为，则该方程组的增广矩阵为
5. 设是等差数列，且，，则
6. 在的二项展开式中，常数项为
7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为
8. 已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概
率为 （结果用数值表示）
9. 在△中，边、、满足，，则边的最小值为
10. 若函数存在零点，则实数的取值范围是
11. 已知数列，，，若对于任意的，，
不等式恒成立，则实数的取值范围为
12. 如果方程组有实数解，则正整数的最小值是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件
14. 已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数
的图像一定经过点（ ）
A. B. C. D.
15. 以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
16. 动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰
好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：
秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.
（1）求证：；
（2）试确定点的位置，使与平面
所成角的大小为30°.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△中，，若函数的图像经过点，求△的面积.
19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府
大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，
经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售
的农户平均每户年收入为万元.
（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？
（2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？
20. 已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.
（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；
（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；
（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由.
21. 定义（，）为有限实数列的波动强度.
（1）求数列1，4，2，3的波动强度；
（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；
（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求的最大值，并说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
11. ，累加可得，∴，即，
∵，∴
12. ∵，，∴从开始分析，当，
当，
当
时，
二. 选择题
13. A 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17．【解答】（1）证明：联结，因为四边形为正方形，
所以，，……………………………………………………2分
又因为⊥平面，平面，
所以．………………………………………………………4分
由平面．………………………………………6分
又因为平面，所以．……………………………………7分
（2）解法一：设，因为⊥平面，
所以与平面所成角为．……………………………2分
在中，由．……………6分
所以，当时，与平面所成角的大小为．………………7分
解法2：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系．
，，，．
设,则 ………………………………………………2分
则，……………………………4分
因为，
所以 …………………………………………………7分
（2）取平面的一个法向量为 ……………………………8分
因为，可知直线的一个方向向量为．
设与平面所成角为，由题意知．与所成的角为，则
，……………………………………10分
因为，所以，，…………………12分
解得，．……………………………………………………13分
当时，与平面所成角的大小为．……………………14分
18．【解答】（1） ……………………………3分
………………………………6分
（2） …………………………10分
……………………………………………12分
 ………………………………………14分
19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为………………2分
因而由题意，得 ……………………4分
由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分
（2）
……10分
对称轴， …………………………………………………11分
因而当时， ………………………………13分
可以达到万元． ……………………………………………14分
20．【解答】（1）曲线的焦点为，渐近线方程，……2分
由对称性，不妨计算到直线的距离，. ……4分
（2） 设，，从而7分
又因为点在第一象限，所以， ………………………8分
从而，……………………………………………9分
所以直线倾斜角的取值范围是 …………………10分
（3）当直线，直线
，
当直线，直线时，（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分
不妨设，与双曲线联立可得，…12分
由弦长公式， …14分
将替换成，可得 ……………………15分
由，可得，
解得，此时成立．
因此满足条件的集合为 ……………………………………16分
21．【解答】解：（1）………………4分
（2）是正确的…………………………………6分
解法1：，
，，
所以，即
并且当时，可以取等号，当时，若可以取等号，
所以等号可以取到…………………………………………10分
解法2：不妨设，分4种情况讨论
[1] 若，则，
…………………………………7分
[2] 若，则，
…………………………………………8分
[3] 若，则
， …………………………9分
[4] 若，则
， …………………………10分
（3）设，，是单调递增数列.
分是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分
，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.
当为偶数时，系数中有个和个，个和个.
当为奇数时，有两种情况（1）系数中有个和个，个.
（2）系数中有个和个，个.
[1] 是偶数，，
……………………13分
……………………………………15分
[2] 是奇数，，
因为，，可知

…………………………17分
…………………………………………………18分
综上，