2020年北京市顺义区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市顺义区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长 55000 米．数字 55000 用科学记数法表示为
A. 5.5×104B. 55×104C. 5.5×105D. 0.55×106

2. 下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则 ∠1 的度数为
A. 60∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘

4. 在数轴上，点 A 表示数 a，将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B，点 B 表示数 b．若 ∣a∣=∣b∣，则 a 的值为
A. −3B. −2C. −1D. 1

5. 箱子内装有除颜色外均相同的 28 个白球及 2 个红球，小芬打算从箱子内摸球，以毎次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸 28 次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前 27 次中摸到白球 26 次及红球 1 次，则第 28 次摸球时，小芬摸到红球的概率是
A. 12B. 114C. 115D. 127

6. 已知直线 l 及直线 l 外一点 P．如图，
（1）在直线 l 上取一点 A，连接 PA；
（2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O；
（3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q；
（4）作直线 PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A. △OPQ≌△OABB. PQ∥AB
C. AP=12BQD. 若 PQ=PA，则 ∠APQ=60∘

7. 用三个不等式 a>b，c>d，a+c>b+d 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
A. 0B. 1C. 2D. 3

8. 小明、小聪参加了 100 m 跑的 5 期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：
①这 5 期的集训共有 56 天；
②小明 5 次测试的平均成绩是 11.68 秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第 4 期出现，建议集训时间定为 14 天．
所有合理推断的序号是
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若式子 2x−6 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 如图，在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点 A 处观测，当量角器的 0 刻度线 AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是 50∘，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是 ．

11. 在如图所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 （写出所有正确答案的序号）．

12. 化简分式 2x+y−x−3yx2−y2÷1x−y 的结果为 ．

13. 如图，将一矩形纸片 ABCD 沿着虚线 EF 剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边 AE 的长是 ．

14. 已知点 A2,−3 关于 x 轴的对称点 Aʹ 在反比例函数 k=kx 的图象上，则实数 k 的值为 ．

15. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；
②去图书馆收集学生借阅图书的记录；
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表．
正确统计步骤的顺序是 ．

16. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，E，F 是对角线 AC 上的两个动点，且 EF=2，P 是正方形四边上的任意一点．若 △PEF 是等边三角形，符合条件的 P 点共有 个，此时 AE 的长为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−5+tan30∘−20−3−1．

18. 解方程组：2x+3y=1,x−y=3.

19. 已知：关于 x 的方程 x2+m−2x−2m=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于 2，求 m 的取值范围．

20. 如图，AM∥BC，且 AC 平分 ∠BAM．
（1）用尺规作 ∠ABC 的平分线 BD 交 AM 于点 D，连接 CD（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形 ABCD 是菱形．

21. 小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如图为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为 10 份盖饭，x 杯饮料，y 份凉拌菜．
A套餐:一份盖饭加一杯饮料B套餐:一份盖饭加一份凉拌菜C套餐:一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜
（1）他们点了 份A套餐， 份B套餐， 份C套餐（均用含 x 或 y 的代数式表示）；
（2）若 x=6，且A，B，C套餐均至少点了 1 份，则最多有 种点餐方案．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=45∘，点 C 恰好在以 AB 为直径的 ⊙O 上．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BD，若 AB=8，求 BD 的长．

23. 2019 年 11 月，胡润研究院携手知识产权与科创云平台汇桔，联合发布《 IP 助燃 AI 新纪元—— 2019 中国人工智能产业知识产权发展白皮书》，白皮书公布了 2019 中国人工智能企业知识产权竞争力百强榜，对 500 余家中国人工智能主流企业进行定量评估（满分 100 分），前三名分别为：华为、腾讯、百度．对得分由高到低的前 41 家企业的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．得分的频数分布直方图（数据分成 8 组：60≤x<65，65≤x<70，70≤x<75，75≤x<80，80≤x<85，85≤x<90，90≤x<95，95≤x≤100）；
b．知识产权竞争力得分在 70≤x<75 这一组的是：
．41 家企业注册所在城市分布图（不完整）如下：（结果保留一位小数）
d．汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分是 70.3．
（以上数据来源于《 IP 助燃 AI 新纪元—— 2019 中国人工智能产业知识产权发展白皮书》）
根据以上信息，回答下列问题．
（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第 ；
（2）百度在人工智能领域取得诸多成果，尤其在智能家居、自动驾驶与服务于企业的智能云领域，百度都已进行前瞻布局，请你估计百度在本次排行榜中的得分大概是 ；
（3）在 41 家企业注册所在城市分布图中，m= ，请用阴影标出代表上海的区域；
（4）下列推断合理的是 （只填序号）．
①前 41 家企业的知识产权竞争力得分的中位数应在 65≤x<70 这一组中，众数在 65≤x<70 这一组的可能性最大；
②前 41 家企业分布于我国 8 个城市．人工智能产业的发展聚集于经济、科技、教育相对发达的城市，一线城市中，北京的优势尤其突出，贡献榜单过半的企业，充分体现北京在人工智能领域的产业集群优势．

24. 如图，D 是直径 AB 上一定点，E，F 分别是 AD，BD 的中点，P 是 AB 上一动点，连接 PA，PE，PF．已知 AB=6 cm，设 A，P 两点间的距离为 x cm，P，E 两点间的距离为 y1 cm，P，F 两点间的距离为 y2 cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 △PEF 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm．

25. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=nxn≠0,x>0 的图象过点 A3,2，与直线 l：y=kx+b 交于点 C，直线 l 与 y 轴交于点 B0,−1．
（1）求 n，b 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数 y=nxn≠0,x>0 的图象在点 A，C 之间的部分与线段 BA，BC 围成的区域（不含边界）为 W．
① 当直线 l 过点 2,0 时，直接写出区域 W 内的整点个数，并写出区域 W 内的整点的坐标；
② 若区域 W 内的整点不少于 5 个，结合函数图象，求 k 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A0,−4 和 B−2,2．
（1）求 c 的值，并用含 a 的式子表示 b；
（2）当 −2（3）直线 AB 上有一点 Cm,5，将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点 D，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点，求 a 的取值范围．

27. 已知，如图，△ABC 是等边三角形．
（1）如图 1，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 90∘，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线交 BD 于点 E，连接 CE．
①求 ∠AED 的度数；
②用等式表示线段 AE，CE，BD 之间的数量关系（直接写出结果）．
（2）如图 2，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转 90∘，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线交 DB 的延长线于点 E，连接 CE．
①依题意补全图 2；
②用等式表示线段 AE，CE，BD 之间的数量关系，并证明．

28. 已知：点 P 为图形 M 上任意一点，点 Q 为图形 N 上任意一点，若点 P 与点 Q 之间的距离 PQ 始终满足 PQ>0，则称图形 M 与图形 N 相离．
（1）已知点 A1,2，B0,−5，C2,−1，D3,4．
① 与直线 y=3x−5 相离的点是 ；
② 若直线 y=3x+b 与 △ABC 相离，求 b 的取值范围；
（2）设直线 y=3x+3 、直线 y=−3x+3 及直线 y=−2 围成的图形为 W，⊙T 的半径为 1，圆心 T 的坐标为 t,0，直接写出 ⊙T 与图形 W 相离的 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. B
5. C
6. C
7. B
8. A
第二部分
9. x≥3
10. 40∘
11. ①③
12. 1
13. 3
14. 6
15. ②④③①
16. 4，3−1 或 42−3−1
第三部分
17. 原式=5+33−25−33=−5.
18. 解一：
2x+3y=1, ⋯⋯①x−y=3. ⋯⋯②②×3
得
3x−3y=9, ⋯⋯③①+③
得
5x=10.
所以
x=2.
把 x=2 代入 ② 得
y=−1.
所以原方程组的解是
x=2,y=−1.
【解析】解二：由 ② 得：x=3+y. ⋯⋯③
把 ③ 代入 ① 得 23+y+3y=1．
解得 y=−1．
把 y=−1 代入 ② 得 x=2，
所以原方程组的解是 x=2,y=−1.
19. （1） b2−4ac=m−22−4×1⋅−2m=m2+4m+4=m+22．
∵m+22≥0，
∴ 方程总有实数根．
（2） ∵x=−b±b2−4ac2a=2−m±m+22，
∴x1=2−m+m+22=2，x2=2−m−m−22=−m．
∵ 方程有一根小于 2，
∴−m<2．
∴m>−2．
20. （1） 作图如图所示．
（2） ∵AC 平分 ∠BAM，
∴∠1=∠2．
∵AM∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AB=BC．
同理可证：AB=AD．
∴AD=BC．
又 ∵AD∥BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
∵AB=BC，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形．
21. （1） 10−y；10−x；x+y−10
（2） 5
22. （1） 连接 OC．
∵OB=OC，∠B=45∘，
∴∠BCO=∠B=45∘．
∴∠BOC=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠OCD=∠BOC=90∘，
∵OC 是 ⊙O 的半径，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 AC，交 BD 于点 E．
∵AB 是直径，AB=8，
∴∠ACB=90∘．
∴BC=AC=42．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CE=12AC=22．
∴BE=BC2+CE2=40=210．
∴BD=2BE=410．
23. （1） 16
（2） 94（在 90≤x<95 范围内都对）
（3） 5
在下图中用阴影标出代表上海的区域：
（4） ①②
24. （1） 1.9
（2）
（3） 3.5，3.8，4.6
25. （1） ∵ 点 A3,2 在函数 y=nx 的图象上，
∴n=6．
∵ 点 B0,−1 在直线 l：y=kx+b 上，
∴b=−1．
（2） ① 区域 W 内的整点个数为 1，区域 W 内的整点的坐标为 3,1；
②（i）当直线 l 在 BA 下方时，若直线 l 与 x 轴交于点 3,0，结合图象，区域 W 内有 4 个整点，此时：3k−1=0，
∴k=13．
当直线 l 与 x 轴的交点在 3,0 右侧时，区域 W 内整点个数不少于 5 个，
∴0（ⅱ）当直线 l 在 BA 上方时，若直线 l 过点 1,4，结合图象，区域 W 内有 4 个整点，此时 k−1=4，解得 k=5．
结合图象，可得 k>5 时，区域 W 内整点个数不少于 5 个，
综上，k 的取值范围是 05．
26. （1） 把点 A0,−4 和 B−2,2 分别代入 y=ax2+bx+c 中，
得 c=−4，4a−2b+c=2．
∴b=2a−3．
（2） 当 a<0 时，依题意抛物线的对称轴需满足 −2a−32a≤−2，解得 −32≤a<0；
当 a>0 时，依题意抛物线的对称轴需满足 −2a−32a≥0，解得 0 ∴a 的取值范围是 −32≤a<0 或 0 （3） 可求直线 AB 表达式为 y=−3x−4，把 Cm,5 代入得 m=−3．
∴C−3,5，由平移得 D1,5．
①当 a>0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点（如图 1），
则抛物线上的点 1,a+2a−3−4 在 D 点的下方．
∴a+2a−3−4<5，解得 a<4．
∴0②当 a<0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上，
则抛物线与线段只有一个公共点（如图 2）．
∴4ac−b24a=5，即 4a×−4−2a−324a=5．
解得 a=−3+323（舍去）或 a=−3−323．
综上，a 的取值范围是 027. （1） ① ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘．
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=30∘．
由旋转可知：AD=AC，∠CAD=90∘．
∴AB=AD，∠BAD=150∘．
∴∠ABD=∠D=15∘．
∴∠AED=∠ABD+∠BAE=45∘．
② BD=2CE+2AE．
（2） ①依题意补全图 2．
② BD=2AE−2CE．
证明：过点 A 作 AF⊥AE，交 ED 的延长线于点 F（如图 3）．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘．
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠1=12∠BAC=30∘．
由旋转可知：AD=AC，∠CAD=90∘．
∴AB=AD，∠2=∠CAD−∠BAC=30∘．
∴∠3=∠4=75∘．
∴∠5=∠4−∠1=45∘．
∵AF⊥AE，
∴∠F=45∘=∠5．
∴AF=AE．
∴EF=2AE．
∵∠6=∠EAF−∠1−∠2=30∘，
∴∠6=∠1=30∘．
又 ∵∠F=∠5=45∘，AD=AB，
∴△ADF≌△ABE．
∴DF=BE．
∵AB=AC，AE 平分 ∠BAC，
∴AE 垂直平分 BC．
∴CE=BE．
∵BD=EF−DF−BE，
∴BD=2AE−2CE．
28. （1） ①A，C；
② 当直线 y=3x+b 过点 A1,2 时，3+b=2．
∴b=−1．
当直线 y=3x+b 过点 C2,−1 时，6+b=−1．
∴b=−7．
∴b 的取值范围是 b>−1 或 b<−7．
（2） t 的取值范围是：t<−533 或 t>533 或 −33