2020年北京市房山区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市房山区中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2019 年 9 月 25 日正式通航的北京大兴国际机场，为 4F 级国际机场、大型国际枢纽机场．距北京大兴国际机场官方微博显示，2019 年北京大兴国际机场共完成旅客吞吐量 313.82 万人次，保障航班约 21000 架次，货邮吞吐量 7375.53 吨，航班放行正点率达 96% 以上．将 21000 用科学记数法表示应为
A. 2.1×104B. 21×103C. 0.21×105D. 2.1×103

2. 一副直角三角板有不同的摆放方式，下图中满足 ∠α 与 ∠β 相等的摆放方式是
A. B.
C. D.

3. 实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论有
A. a>bB. b>0C. ∣c∣>∣b∣D. b+d>0

4. 下列四种网络运营商的徽标中，符合轴对称图形特征的为
A. B.
C. D.

5. 如果 m−n=5，那么代数式 m2+n2mn−2⋅mnm−n 的值是
A. −15B. 15C. −5D. 5

6. 若一个多边形每个内角均为 120∘，则该多边形是
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形

7. 某景区乘坐缆车观光游览的价目表如下：
缆车类型两人车限乘2人四人车限乘4人六人车限乘6人往返费用80 元120 元150 元
某班 20 名同学一起来该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为
A. 530 元B. 540 元C. 580 元D. 590 元

8. 在关于 n 的函数 S=an2+bn 中，n 为自然数．当 n=9 时，S<0；当 n=10 时，S>0．则当 S 的值最小时，n 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若二次根式 x−1 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：m3−4m= ．

11. 举出一个 m 的值，说明命题“代数式 2m2−1 的值一定大于代数式 m2−1 的值”是错误的，那么这个 m 的值可以是 ．

12. 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠PAB−∠PCD= ∘（点 A，B，C，D，P 是网格线交点）．

13. 明代的程大位创作了《算法统宗》，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作．其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇?”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人；薄酒三瓶，可以醉倒 1 位客人，如今 33 位客人醉倒了，他们总共饮下 19 瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶?”设有好酒 x 瓶，薄酒 y 瓶．根据题意，可列方程组为 ．

14. 已知第一组数据：12，14，16，18 的方差为 S12；第二组数据：32，34，36，38 的方差为 S22；第三组数据：2020，2019，2018，2017 的方差为 S32，则 S12，S22，S32 的大小关系是 S12 S22 S32（填“>”，“=”或“<”）．

15. 如图，AC 是 ⊙O 的弦，AC=6，点 B 是 ⊙O 上的一个动点，且 ∠ABC=60∘，若点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 MN 的最大值是 ．

16. 平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O，E 是边 AB 上的一个动点（不与 A 、 B 重合）连接 EO 并延长，交 CD 于点 F，连接 AF，CE，下列四个结论中：
①对于动点 E，四边形 AECF 始终是平行四边形；
②若 ∠ABC<90∘，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是矩形；
③若 AB>AD，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是菱形；
④若 ∠BAC=45∘，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是正方形．
以上所有正确说法的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−8−π−30+2cs45∘+13−1．

18. 解不等式组：3x−1>x+1,x+52
19. 下面是小方设计的“作一个 30∘ 角”的尺规作图过程．
已知：直线 AB 及直线 AB 外一点 P．
求作：直线 AB 上一点 C，使得 ∠PCB=30∘．
作法：
① 在直线 AB 上取一点 M；
② 以点 P 为圆心，PM 为半径画弧，与直线 AB 交于点 M，N；
③ 分别以 M，N 为圆心，PM 为半径画弧，在直线 AB 下方两弧交于点 Q．
④ 选接 PQ，交 AB 于点 O．
⑤ 以点 P 为圆心，PQ 为半径画弧，交直线 AB 于点 C 且点 C 在点 O 的左侧．则 ∠PCB 就是所求作的角．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵PM=PN=QM=QN，
∴ 四边形 PMQN 是 ．
∴PQ⊥MN，PQ=2PO（ ）．（填写推理依据）
∵ 在 Rt△POC 中，sin∠PCB=POPC= ．（填写数值）
∴∠PCB=30∘．

20. 已知：关于 x 的方程 x2+4x+2m=0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值．

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kx 的图象与一次函数 y=2x−1 的图象交于 A，B 两点，已知 Am,−3．
（1）求 k 及点 B 的坐标；
（2）若点 C 是 y 轴上一点，且 S△ABC=5，直接写出点 C 的坐标．

22. 经过举国上下抗击新型冠状病毒的斗争，疫情得到了有效控制，国内各大企业在 2 月 9 日后纷纷进入复工状态．为了了解全国企业整体的复工情况，我们查找了截止到 2020 年 3 月 1 日全国部分省份的复工率，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了一些信息：
a．截止 3 月 1 日 20 时，全国已有 11 个省份工业企业复工率在 90% 以上，主要位于东南沿海地区，位居前三的分别是贵州（100%）、浙江（99.8%）、江苏（99%）．
b．各省份复工率数据的频数分布直方图如图 1（数据分成 6 组，分别是 40c．如图 2，在b的基础上，画出扇形统计图．
d．截止到 2020 年 3 月 1 日各省份的复工率在 80 81.3 83.9 84 87.6 89.4 90 90
e．截止到 2020 年 3 月 1 日各省份的复工率的平均数、中位数、众数如下：
日期平均数中位数众数截止到2020年3月1日80.79m50,90
请解答以下问题：
（1）依据题意，补全频数分布直方图．
（2）扇形统计图中 50（3）中位数 m 的值是 ．
（4）根据以上统计图表简述国内企业截止 3 月 1 日的复工率分布特征．

23. 如图，矩形 ABCD，过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E．过点 D 作 DH⊥BE 于 H，G 为 AC 中点，连接 GH．
（1）求证：BE=AC．
（2）判断 GH 与 BE 的数量关系并证明．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以 AC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D，线段 BC 上有一点 P．
（1）当点 P 在什么位置时，直线 DP 与 ⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由；
（2）在（1）的条件下，当 BP=102，AD=3 时，求 ⊙O 半径．

25. 如图 1，在弧 MN 和弦 MN 所组成的图形中，P 是弦 MN 上一动点，过点 P 作弦 MN 的垂线，交弧 MN 于点 Q，连接 MQ．已知 MN=6 cm，设 M，P 两点间的距离为 x cm，P，Q 两点间的距离为 y1 cm，M，Q 两点间的距离为 y2 cm
小轩根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：x/cm

上表中 m 的值为 ．（保留两位小数）
（2）在同一平面直角坐标系 xOy（图 2）中，函数 y1 的图象如图，请你描出补全后的表中 y2 各组数值所对应的点 x,y2，并画出函数 y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 △MPQ 有一个角是 30∘ 时，MP 的长度约为 cm．（保留两位小数）

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx−1 交 y 轴于点 P．
（1）过点 P 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 Q，PQ=4，求 ba 的值；
（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与 x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为 W．若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 如图 1，在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，点 M 为 BC 中点．点 P 为 AB 边上一动点，点 D 为 BC 边上一动点，连接 DP，以点 P 为旋转中心，将线段 PD 逆时针旋转 90∘，得到线段 PE，连接 EC．
（1）当点 P 与点 A 重合时，如图 2．
①根据题意在图 2 中完成作图；
②判断 EC 与 BC 的位置关系并证明．
（2）连接 EM，写出一个 BP 的值，使得对于任意的点 D 总有 EM=EC，并证明．

28. 如图 1，平面上存在点 P，点 M 与线段 AB．若线段 AB 上存在一点 Q，使得点 M 在以 PQ 为直径的圆上，则称点 M 为点 P 与线段 AB 的共圆点．已知点 P0,1，点 A−2,−1，点 B2,−1．
（1）在点 O0,0，C−2,1，D3,0 中，可以成为点 P 与线段 AB 的共圆点的是 ；
（2）点 K 为 x 轴上一点，若点 K 为点 P 与线段 AB 的共圆点，请求出点 K 横坐标 xK 的取值范围；
（3）已知点 Mm,−1，若直线 y=12x+3 上存在点 P 与线段 AM 的共圆点，请直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. D
4. D
5. D
6. B
7. A
8. C
第二部分
9. x≥1
10. mm+2m−2
11. 0
12. 45
13. x+y=19,3x+y3=33
14. =，>
15. 23
16. ①②③
第三部分
17. −8−π−30+2cs45∘+13−1=22−1+2×22+3=32+2.
18. 解不等式 ① 得
x>2.
解不等式 ② 得
x>5.
不等式组的解集是
x>5.
19. （1）
（2） 菱形；菱形对角线互相垂直平分；12．
20. （1） Δ=42−4×2m=16−8m，
由题意得 16−8m≥0，
∴m≤2．
（2） 由 m≤2，且 m 为正整数得，m 可取 1 或 2，
当 m=1 时，方程的根不为整数，舍去，
当 m=2 时，x1=x2=−2，符合题意，
∴m 的值为 2．
21. （1） 把 y=−3 代入 y=2x−1 得 x=−1，
∴A−1,−3，
又 y=kx 图象经过点 A−1,−3 可得 k=3，
解得 B32,2．
（2） 0,3；0,−5．
22. （1）
（2） 12.9
（3） 88.5
（4） 通过统计图表可以得到截至 3 月 1 日，全国 28 个省份中，复功率在 90% 以上所占比重最大，达到近 40%，其次是复工率在 8023. （1） ∵ 矩形 ABCD，
∴AB∥CD，
又 BE∥AC，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，
∴BE=AC．
（2） GH=12BE．
连接 BD，
∵ 矩形 ABCD，G 为 AC 中点，
∴G 为 BD 中点，且 AC=BD，
∵DH⊥BE，
∴GH=12BD，
又 ∵BE=AC，
∴GH=12BE．
24. （1） 补全图形．
情况一：
点 P 在过点 D 与 OD 垂直的直线与 BC 的交点处．
理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
情况二：
当 P 是 BC 中点时，直线 DP 与 ⊙O 有且只有一个公共点．
证明：连接 CD，OD．
∵AC 为 ⊙O 直径，
∴∠ADC=∠BDC=90∘．
在 Rt△BCD 中，
∴∠BDC=90∘，P 是 BC 中点，
∴DP=CP．
∴∠PDC=∠PCD．
∵∠ACB=90∘，
∴∠PCD+∠DCO=90∘．
∵OD=OC，
∴∠DCO=∠ODC．
∴∠PDC+∠ODC=90∘．
∴∠ODP=90∘．
∴DP⊥OD．
∴ 直线 DP 与 ⊙O 相切．
（2） 在 Rt△BCD 中，
∵∠BDC=90∘，P 是 BC 中点，
∴BC=2BP．
∵BP=102，
∴BC=10．
∵∠ACB=∠BDC=90∘，∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB．
∴ABBC=BCBD．
∴BC2=AB⋅BD．
设 AB=x，
∵AD=3，
∴BD=x−3．
∴xx−3=10，
∴x=5（舍负）．
∴AB=5．
在 Rt△ABC 中，
∵∠BDC=90∘，
∴AC=AB2−BC2=15．
∴OC=12AC=152．
25. （1） 4.90
（2）
（3） 1.50，4.50
26. （1） 因为抛物线 y=ax2+bx−1 交 y 轴于点 P，
所以 P0,−1，
因为 PQ=4，
所以 Q4,−1 或 Q−4,−1，
因为 P，Q 是抛物线上的对称点，
所以对称轴 −b2a=±2，
所以 ba=±4．
（2） ① a>0，
当抛物线过 2,−2 时，a=14，
当抛物线过 1,−2 时，a=13，
所以 14② a<0，
当抛物线过 2,2 时，a=−34，
当抛物线过 2,3 时，a=−1，
所以 −1≤a≤−34，
综上所述：1427. （1） ①如图．
②判断：EC⊥BC．
证明：
∵PD 绕点 P 逆时针旋转 90∘，得到 PE，
∴∠DPE=90∘，PD=PE，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠B=∠ACB=45∘，∠BPD=∠EPC，
∴△PBD≌△PCE，
∴∠PCE=∠B=45∘，
∴∠ECB=90∘，即 EC⊥BC．
（2） BP=32．
证明：如图，过点 P 作 PS⊥BC 于点 S，过 P 作 PS 的垂线 PN，并使 PN=PS，连接 NE 并延长交 BC 于点 Q，
∵PD=PE，∠DPE=90∘，
∴∠DPS=∠NPE，
∴△DPS≌△EPN，
∴PN=PS，∠N=90∘，∠SPN=90∘，
∴ 四边形 PSQN 是正方形，
∵BP=32，∠B=45∘，AB=2，
∴BS=PS=342，BC=22，
∴BQ=2BS=322，QC=22，
又 ∵M 为 BC 中点，
∴MQ=QC=22，
∴NQ 是 MC 的垂直平分线，
∴ 对于任意点 D，总有 EM=EC．
28. （1） C
（2） 由题可得 AP=BP=22．
分别以 PA，PB 为直径作圆，交 x 轴于点 K1，K2，K3，K4．
K1−1−2,0，K21−2,0，K3−1+2,0，K41+2,0．
结合图象得 1−2≤xK≤1−2 或 −1+2≤xK≤1+2．
（3） m≤3−210 或 m≥3+210．
【解析】由题可得点 C−6,0，
当 M1 在点 A 左侧，以 PM1 为直径的圆与直线相切于点 Q1 时，
因为 OQ1=O1P，设 O1Q=x，
所以 x+5⋅x2+1=6 得 x=−32+10，
所以 M13−210,−1，
同理，当 M2 点 A 左侧，以 PM2 为直径的圆与直线相切点 Q2 时，得 M23+210,−1，
若直线上存在 E，使得 E 成为点 P 与线段 AM 的共圆点，结合图象得 m≤3−210 或 m≥3+210．