2020年北京市朝阳区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市朝阳区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 自 2020 年 1 月 23 日起，我国仅用 10 天左右就完成了总建筑面积约为 113800 平方米的雷神山医院和火神山医院的建设，彰显了“中国速度”．将 113800 用科学记数法表示应为
A. 1.138×105B. 11.38×104C. 1.138×104D. 0.1138×106

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 圆锥B. 球C. 长方体D. 圆柱

3. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是
A. aB. bC. cD. d

4. 一个不透明的袋中装有 8 个黄球，m 个红球，n 个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列 m 与 n 的关系一定正确的是
A. m=n=8B. n−m=8C. m+n=8D. m−n=8

5. 如果 a=3−1，那么代数式 1+1a−1÷aa2−1 的值为
A. 3B. 3C. 33D. 3−2

6. 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，CD=4，tanC=12，则 AB 的长为
A. 2.5B. 4C. 5D. 10

7. 如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1 上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1，l2 于 B，C 两点，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点 D（不与点 B 重合），连接 AC，AD，BC，CD，其中 AD 交 l2 于点 E．若 ∠ECA=40∘，则下列结论错误的是
A. ∠ABC=70∘B. ∠BAD=80∘C. CE=CDD. CE=AE

8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解 2019 年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市 2019 年第二季度的 m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量千吨1≤x<22≤x<33≤x<44≤x<55≤x≤6合计频数12b3m频率
表中 3≤x<4 组的频率 a 满足 0.20≤a≤0.30．
下面有四个推断：
① 表中 m 的值为 20；
② 表中 b 的值可以为 7；
③ 这 m 天的日均可回收物回收量的中位数在 4≤x<5 组；
④ 这 m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于 3．
所有合理推断的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 1x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

10. 分解因式：2x2+8x+8= ．

11. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，若 AD=1，AB=4，则 DEBC= ．

12. 如图所示的网格是正方形网格，则 ∠AOB ∠COD（填“>”，“=”或“<”）．

13. 如图，∠1∼∠6 是六边形 ABCDEF 的外角，则 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ∘．

14. 用一个 a 的值说明命题“若 a 为实数，则 a<2a”是错误的，这个值可以是 a= ．

15. 某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同路线匀速去追甲．乙刚岀发 2 分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2 分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．有下列三个说法：
① 甲出发 10 分钟后与乙相遇；
② 甲的速度是 400 米/分；
③ 乙返回办公室用时 4 分钟．
其中所有正确说法的序号是 ．

16. 某兴趣小组外出登山，乘坐缆车费用如下表所示：
乘坐缆车方式乘坐缆车费用单位:元/人往返180单程100
已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有 8 人乘坐缆车，返程时有 17 人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是 2400 元，该小组共有 人．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−3+2cs60∘−π−20200+13−1．

18. 解不等式组：2x−1
19. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E．求证：∠BAD=∠CDE．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2+m+1x+14m2=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个符合条件的 m 的值，并求出此时方程的根．

21. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE=DF．
（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）连接 EF 并延长，交 AD 的延长线于点 G，若 ∠CEG=30∘，AE=2，求 EG 的长．

22. 先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对 2019 年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的 30 个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成 6 组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x≤90）；
b．先进制造业城市发展指数得分在 70≤x<80 这一组的是：71.1，75.7，79.9；
c．30 个城市的 2019 年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：
d．北京的先进制造业城市发展指数得分为 79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这 30 个城市中，北京的先进制造业城市发展指数得分排名第 ；
（2）在 30 个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线 l 的上方．请在图中用“○”圈出代表北京的点；
（3）在这 30 个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为 亿件（结果保留整数）．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点 O 到 AB，AC，BC 的距离都等于 a（a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G．
（1）直接写出 a 的值；
（2）连接 BO 并延长，交 AC 于点 M，过点 M 作 MN⊥BC 于点 N．
①求证：∠BMA=∠BMN；
②求直线 MN 与图形G的公共点个数．

24. 有这样一个问题：探究函数 y=6∣x−2∣ 的图象与性质并解决问题．
小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）函数 y=6∣x−2∣ 的自变量 x 的取值范围是 x≠2；
取几组 y 与 x 的对应值，填写在下表中，
x⋯−4−2−⋯y⋯⋯m
的值为 ．
（2）在下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出该函数的图象；
（3）获得性质，解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数 y=6∣x−2∣ 的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；
②过点 P−1,n0
25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=1 与一次函数 y=−x+m 的图象交于点 P，与反比例函数 y=mx 的图象交于点 Q，点 A1,1 与点 B 关于 y 轴对称．
（1）直接写出点 B 的坐标；
（2）求点 P，Q 的坐标（用含 m 的式子表示）；
（3）若 P，Q 两点中只有一个点在线段 AB 上，直接写出 m 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−3ax+a+1 与 y 轴交于点 A．
（1）求点 A 的坐标（用含 a 的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 M−2,−a−2，N0,a．若抛物线与线段 MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 四边形 ABCD 是正方形，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 2α0∘<α<45∘，得到线段 CE，连接 DE，过点 B 作 BF⊥DE 交 DE 的延长线于点 F，连接 BE．
（1）依题意补全图；
（2）直接写出 ∠FBE 的度数；
（3）连接 AF，用等式表示线段 AF 与 DE 的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 At,0，Bt+2,0，Cn,1，若射线 OC 上存在点 P，使得 △ABP 是以 AB 为腰的等腰三角形，就称点 P 为线段 AB 关于射线 OC 的等腰点．
（1）如图，t=0．
①若 n=0，则线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的坐标是 ；
②若 n<0，且线段 AB 关于射线 OC 的等腰点的纵坐标小于 1，求 n 的取值范围．
（2）若 n=33，且射线 OC 上只存在一个线段 AB 关于射线 OC 的等腰点，则 t 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A
4. C
5. B
6. C
7. C
8. D
第二部分
9. x≠2
10. 2x+22
11. 14
12. <
13. 360
14. 0（答案不唯一）
15. ①②③
16. 20
第三部分
17. 原式=3+2×12−1+3=3+3.
18. 原不等式组为
2x−1解不等式 ① 得，
x<4.
解不等式 ② 得，
x>1.∴
原不等式组的解集为
119. ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∴∠BAD+∠B=90∘，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90∘，
∴∠CDE+∠C=90∘，
∴∠BAD=∠CDE．
20. （1） 由题意得，Δ=m+12−4×14m2>0．
解得 m>−12．
（2） 答案不唯一，如：m=0．
此时，方程为 x2+x=0．
解得 x1=0，x2=−1．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠ADC．
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90∘．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF．
∴AB=AD．
∴ 四边形 ABCD 是菱形．
（2） 由（1）知 AD∥BC．
∴∠EAG=90∘，∠G=∠CEG=30∘．
∴EG=2AE=4．
22. （1） 3
（2）
（3） 31
23. （1） a=1．
（2） ①由题意可知图形 G 是以 O 为圆心，a 为半径的圆，AB，AC，BC 与 ⊙O 相切．
∴∠ABM=∠NBM，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠A=90∘，
∵MN⊥BC，
∴∠A=∠BNM=90∘，
∴∠BMA=∠BMN．
②如图，设 ⊙O 与 AC 的切点为 D，连接 OD，作 OE⊥MN 于点 E，
∴OD⊥AC，
∴OD=OE，
∴OE 为 ⊙O 的半径，
∴MN 为 ⊙O 的切线，
∴ 直线 MN 与图形 G 的公共点个数为 1．
24. （1） 2
（2）
（3） ①直线 x=2
② 6
25. （1） B−1,1．
（2） 把 y=1 代入 y=−x+m，得 x=m−1．
把 y=1 代入 y=mx，得 x=m．
∴ Pm−1,1，Qm,1．
（3） −1≤m<0 或 126. （1） ∵ 抛物线 y=ax2−3ax+a+1 与 y 轴交于点 A，令 x=0，得 y=a+1，
∴A0,a+1．
（2） 由抛物线 y=ax2−3ax+a+1 可知 x=−−3a2a=32．
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=32．
（3） 对于任意的实数 a，都有 a+1>a．
可知点 A 总在点 N 的上方．
令抛物线上的点 C−2,yC．
∴yC=11a+1．
①如图 1，当 a>0 时，yC>−a−2．
∴ 点 C 在点 M 的上方．
结合函数图象，可知抛物线与线段 MN 没有公共点；
②当 a<0 时，
（i）如图 2，当抛物线经过点 M 时，yC=−a−2．
∴a=−14．
结合函数图象，可知抛物线与线段 MN 恰有一个公共点 M；
（ⅱ）当 −14（iii）如图 3，当 a<−14 时，yC<−a−2．
∴ 点 C 在点 M 的下方．
结合函数图象，可知抛物线与线段 MN 恰有一个公共点．
综上所述，a 的取值范围是 a≤−14．
27. （1） 补全图形，如图 1 所示．
（2） ∠FBE=45∘．
（3） DE=2AF．
证明：
如图 2，作 AH⊥AF，交 BF 的延长线于点 H，
设 DF 与 AB 交于点 G，
根据题意可知，CD=CE，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90∘．
∴∠EDC=90∘−α，CB=CE，∠BCE=90∘−2α，
∴∠CBE=45∘+α，∠ADF=α．
∴∠ABE=45∘−α，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=90∘，
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠FBG=α，
∴∠FBE=∠FEB=45∘，
∴FB=FE，
∵AH⊥AF，∠BAD=90∘，
∴∠HAB=∠FAD，
∴△HAB≌△FAD，
∴HB=FD，AH=AF，
∴HF=DE，∠H=45∘，
∴HF=2AF，
∴DE=2AF．
28. （1） ① 0,2
②如图，设以点 O 为圆心，AB 为半径的圆与直线 y=1 在第二象限的交点为 D，
作 DE 垂直 x 轴于点 E，
∴OD=2，DE=1，
在 Rt△ODE 中，根据勾股定理得 OE=3，
∴n 的取值范围是 n<−3．
（2） −4