2023年北京市顺义区中考一模数学试卷

这是一份2023年北京市顺义区中考一模数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市顺义区中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．圆柱 B．三棱柱 C．长方体 D．圆锥
2．据国家统计局官网发布的“中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报”显示，我国企业研发投入继续保持两位数增长，2022年全年研究与试验发展经费支出30870亿元，比上年增长，将30870用科学记数法表示应为（  ）
A． B． C． D．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（  ）

A． B． C． D．
4．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（  ）

A．36° B．54° C．64° D．144°
5．不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是（  ）
A． B． C． D．
6．如图，要把角钢（1）变成夹角是的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口的度数为（  ）

A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（  ）
A． B． C． D．
8．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2所示，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（  ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________．
10．分解因式：________．
11．方程的解为_______．
12．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）．
13．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，，则的周长是________．

14．如图，是的直径，C，D是上两点，若，则的度数为_______．

15．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者出生年份分布扇形图和1990年后出生的互联网行业从业者岗位分布条形图．

根据该统计结果，估计1990年后出生的互联网行业从业者中，从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是___________．（精确到）
16．某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案__________；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是_________．

三、解答题
17．计算：．
18．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．已知，求代数式的值．
20．在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．已知：如图，在中，，求证：．

法一证明：如图，做的平分线交于点D．

法二证明：如图，取的中点D，连接．


21．如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与x轴交于点A．
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出n的取值范围．
23．北京市共青团团委为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动，为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从A、B两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取20名学生，在“志愿北京”上查到了他们参加志愿活动的时长，部分数据如下：
a.两校志愿活动时长（小时）如下：
A校：17  39  39  2  35  28  26  48  39  19
46  7  17  13  48  27  32  33  32  44
B校：30  21  31  42  25  18  26  35  30  28
12  40  30  29  33  46  39  16  33  27
b.两校志愿活动时长频数分布直方图（数据分成5组：，，，，）：

c.两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：
学校
平均数
众数
中位数
A校
29.55
m
32
B校
29.55
30
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全A校志愿活动时长频数分布直方图；
(2)直接写出表中m，n的值；
(3)根据北京市共青团团委要求，“志愿北京APP”上参加志愿活动时长不够20小时不能提出入团申请，若B校九年级未入团学生有180人，从志愿活动时长的角度看，估计B校有资格提出入团申请的人数．
24．如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
25．铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3)请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
26．已知：抛物线．
(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
(2)已知点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若，求a的取值范围．
27．已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接．

(1)设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”，例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”．

在平面直角坐标系中．
(1)已知点，在，，，中，_____是线段关于点O的“完美点”；
(2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长；
(3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．

参考答案：
1．A
【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆形，
故该几何体是一个圆柱，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2．B
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．
【详解】．
故选B．
【点睛】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可．
【详解】由题意得，
∴，，
故D选项符合题意，A，B，C选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和数轴，数形结合思想和排除法数解题的关键．
4．B
【分析】由已知条件和观察图形，结合垂直的定义，可知与互余，利用这一关系可解此题．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂直的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
5．A
【分析】根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：

白1
白2
黑
白1

白2、白1
黑、白1
白2
白1、白2

黑、白2
黑
白1、黑
白2、黑

一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种，
所以摸出的两枚棋子颜色相同的概率是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
6．B
【分析】本题是平角的定义及角的应用的考查．因为在截取之前的角是平角，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是，所以缺口角易求．
【详解】因为缺口角为，在截取之前的角是平角，所以缺口角等于，
故选：B．
【点睛】本题是实际应用题，截取弯成后的角与缺口角是互补的，理解这个问题是解题的关键．
7．A
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
8．C
【分析】小球从斜坡上滚下时，运动路程是的二次函数，图象开口向上，图象变化趋势是先缓后陡，由此即可判断得出结论．
【详解】解：由题意可知当小球在斜坡上滚下时，设，
则，
∴运动路程是的二次函数，图象开口向上，图象变化趋势是先缓后陡；
当小球在水平面滚动时，设，
则，
∴运动路程是的二次函数，图象开口向下，图象变化趋势是先陡后缓；
故选C
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，列出函数表达式，灵活运用所学知识解决问题．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
10．
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可．
【详解】解：


故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
11．
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．
12．
【分析】先根据函数解析式中的比例系数，确定函数图象所在的象限，再根据函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
∵，
∴点，在第一象限的图象上，随的增大而减小，
∴，
故答案是
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
13．
【分析】根据垂直平分线的性质求出，求出的周长即可．
【详解】解：是的垂直平分线，分别交，于点，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质求出是解答本题的关键．
14．/20度
【分析】先根据邻补角的性质求出，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：∵是的直径， ，
∴，
∴，
故答案为
【点睛】本题主要考查了圆周角的性质和邻补角的性质，解题的关键是熟知圆周角的性质定理;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
15．
【分析】将相关的两个百分比相乘即可．
【详解】解：由图得，整个互联网行业从业者中1990年后占，1990年后出生的互联网行业从业者中从事技术岗位的人数占，
∵，
即从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是．
故答案为：
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，解题关键是百分比的含义．
16． 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则
，
整理得：，
∵，，都为非负整数，
∴当时，，，
∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；
设住宿总费用为：元，而，则



，
∵，
∴当最大，有最小值，
∵，，，都为非负整数，
∴时最大，
此时，；
∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间．
故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键．
17．2
【分析】原式利用特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】原式
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练化简各项是解本题的关键．
18．，数轴见解析．
【分析】去分母，去括号再移项，合并最后系数化为1即可得到解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化1，得
解集在数轴上表示为：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．
【分析】将代数式整理变形为，再把变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：


=


原式

【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
20．见解析
【分析】方法一：根据“”证明即可得出结论；
方法二：根据“”证明即可得出结论．
【详解】方法一：
平分，
.
，，
，
.
方法二：
D为中点，
.
，，

.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
21．(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】（1）由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．
（2）根据四边形是平行四边形，得，，再根据，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，设与交于点．如图所示：

四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
（2）证明：由(1）知：四边形是平行四边形，
，，
∵
∴
∴四边形是矩形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．
22．(1)，；
(2)．

【分析】（1）将点，代入得到方程组，解方程组即可得到结论；
（2）求得时，函数的对应值，代入求得n的值，即可求得n的取值范围．
【详解】（1）将点，代入，得
，解得
所以该函数的解析式为：
令，，解得，所以点
（2）当时，
把，代入得，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
23．(1)见解析
(2)，
(3)153人

【分析】（1）求出A校中和的学生人数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数和众数的定义进行解答即可；
（3）用乘以B校时长大于等于20小时的学生百分比，即可求出结果．
【详解】（1）解：A校中的学生人数为4人，的学生人数为7人，则补全A校志愿活动时长频数分布直方图如下：

（2）解：A校中活动时长出现次数最多的是39小时，因此；
将B校学生的活动时长从小到大进行排序，排在第10和第11的都是30小时，因此中位数．
（3）解：（人），
答：B校有资格提出入团申请的人数为153人．
【点睛】本题主要考查了频数分步直方图，求中位数，众数，解题的关键是理解题意，数形结合，掌握中位数和众数的定义．
24．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）根据证出是的平分线，再利用平行证出即可．
（2）利用三角函数求出和，再用计算即可．
【详解】（1）连接、.

，，，
.

，
，
.
.
，
，

为的半径，
是的切线；
（2）连接.

，
.
，

，
为等边三角形，
.
，
，

【点睛】本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．
25．(1)6.05m；；
(2)见解析；
(3)20m．

【分析】对于（1），观察表格，根据抛物线的对称性可得最大高度，再设二次函数的顶点式，代入可求出关系式；
对于（2），根据表格，描出点，进而画出图像；
对于（3），观察图像可得答案．
【详解】（1）铅球竖直高度的最大值为6.05m．
根据表中数据可知，二次函数图象的顶点是，
函数关系式为．
二次函数图象经过点，
，
解之得．
函数关系式为；
（2）图象如图：

（3）观察图像可知当时，，

所以铅球运动员出手点的最远水平距离是20m．
【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求二次函数关系式，画二次函数的图像等，从表格中获取信息是解题的关键．
26．(1)交点坐标：，对称轴：直线；
(2)．

【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点的定义及对称轴定义计算即可；
（2）把，，代入函数表达式，再利用二次函数增减性判断即可．
【详解】（1）令可得
∴与y轴交点坐标：，
对称轴为直线
（2）把，，代入函数表达式得：
①当A、B两点在对称轴右侧，即时，
，
，
.
，
，
.
，

②当A、B两点在对称轴左侧，即，时，
，
，

，
，
.
，

综上所述，
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
27．(1)，
(2)，证明见解析．

【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）A、E关于直线对称，
，．
，
．
，
．
．
．
（2）线段，，之间的数量关系．
过C作于C交的延长线于点M．
A、E关于对称
．

．
．

．
又
．
．
．
，
．
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．
28．(1)
(2)
(3)，

【分析】（1）根据“完美点”的定义判断即可；
（2）根据“完美点”的定义计算即可；
（3）根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可．
【详解】（1）∵点
∴线段关于点O的“完美点”在第二象限，
∴是线段关于点O的“完美点”；其他点都不符合题意；
故答案为：；
（2）点恰好是线段关于点B的“完美点”，

是等边三角形.
过点O作于点M.
∴，
∴
在直线上，
∴直线与x轴交点为，与y轴交点为
，
.
.
（3）∵点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，
∴、是等边三角形，
∴，，，
当线段取得最大值时，此时在线段上，此时

∵，
∴，
∴；
当线段取得最小值时，此时在线段上，
过作于，则

∴，，
∴
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角函数，一次函数的性质等知识点，解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形．