2020年北京市顺义区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市顺义区中考二模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，l1∥l2，则平行线 l1 与 l2 间的距离是
A. 线段 AB 的长度B. 线段 BC 的长度
C. 线段 CD 的长度D. 线段 DE 的长度

2. −5 的倒数是
A. −5B. 5C. −15D. 15

3. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，有 A，B，C，D 四点．若有一直线 l 经过点 −1,3 且与 y 轴垂直，则 l 也会经过的点是
A. 点 AB. 点 BC. 点 CD. 点 D

4. 如果 a2+4a−4=0，那么代数式 a−22+42a−3+1 的值为
A. 13B. −11C. 3D. −3

5. 如图，四边形 ABCD 中，过点 A 的直线 l 将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 α 和 β，则 α+β 的度数是
A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘

6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何?译文：今有若干人合伙买鸡，每人出 9 钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱．问人数、买鸡的钱数各是多少?设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为
A. 9x+11=y,6x+16=yB. 9x−11=y,6x−16=yC. 9x+11=y,6x−16=yD. 9x−11=y,6x+16=y

7. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每个品种的 10 棵产量的平均数 x（单位：千克）及方差 S2（单位：千克 2）如下表所示：
甲乙丙丁
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

8. 正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D．设 AE=x，矩形 ECFG 的面积为 y，则 y 与 x 之间的关系描述正确的是
A. y 与 x 之间是函数关系，且当 x 增大时，y 先增大再减小
B. y 与 x 之间是函数关系，且当 x 增大时，y 先减小再增大
C. y 与 x 之间是函数关系，且当 x 增大时，y 一直保持不变
D. y 与 x 之间不是函数关系

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式：2mn2−2m= ．

10. 下图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： ．

11. 比较大小：5−12 0.5（填“>”或“<”）．

12. 如图，在每个小正方形的边长为 1 cm 的网格中，画出了一个过格点 A，B 的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm（结果保留一位小数）．

13. 如图，∠MAN=30∘，点 B 在射线 AM 上，且 AB=2，则点 B 到射线 AN 的距离是 ．

14. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，在 △ABC 外取点 D，E，使 AD=AB，AE=AC，且 α+β=∠B，连接 DE．若 AB=4，AC=3，则 DE= ．

15. 数学活动课上，老师拿来一个不透明的袋子，告诉学生里面装有 4 个除颜色外均相同的小球，并且球的颜色为红色和白色，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的次数，由此估计袋中红球和白球的个数．下面是全班分成的三个小组各摸球 20 次的结果，请你估计袋中有 个红球．
摸到红球的次数摸到白球的次数一组137二组146三组155

16. 对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12 、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n．
甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n=14．
乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n=14．
丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 22 倍时就可移转过去；结果取 n=13．
甲、乙、丙的思路和结果均正确的是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−20+12−cs45∘−3−2．

18. 解不等式：x−13≥x−22+1，并把解集在数轴上表示出来．

19. 已知：关于 x 的方程 mx2−4x+1=0m≠0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若方程的根为有理数，求正整数 m 的值．

20. 下面是小东设计的“以线段 AB 为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．
已知：线段 AB．
求作：菱形 ACBD．
作法：如图，
① 以点 A 为圆心，以 AB 长为半径作 ⊙A；
② 以点 B 为圆心，以 AB 长为半径作 ⊙B，交 ⊙A 于 C，D 两点；
③ 连接 AC，BC，BD，AD．
所以四边形 ACBD 就是所求作的菱形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 点 B，C，D 在 ⊙A 上，
∴AB=AC=AD（ ）（填推理的依据）．
同理 ∵ 点 A，C，D 在 ⊙B 上，
∴AB=BC=BD．
∴ = = = ．
∴ 四边形 ACBD 是菱形．（ ）（填推理的依据）．

21. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC=∠ACD=90∘，AB=12CD，点 E 是 CD 的中点．
（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；
（2）若 AC=4，AD=42，求四边形 ABCE 的面积．

22. 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药，12 周后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者；
同时记录了服药患者在 4 周、 8 周、 12 周后的指标 z 的改善情况，并绘制成条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 x 的值大于 1.7 的概率；
（2）设这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差为 s12，未服药者指标 y 数据的方差为 s22，则 s12 s22（填“>”、“=”或“<”）；
（3）对于指标 z 的改善情况，下列推断合理的是 ．
①服药 4 周后，超过一半的患者指标 z 没有改善，说明此药对指标 z 没有太大作用；
②在服药的 12 周内，随着服药时间的增长，对指标 z 的改善效果越来越明显．

23. 已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，△ABC 内接于 ⊙O．点 D 在 ⊙O 上，AD 平分 ∠CAB 交 BC 于点 E，DF 是 ⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F．
（1）求证：DF⊥AF；
（2）若 ⊙O 的半径是 5，AD=8，求 DF 的长．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5 cm，BC=6 cm，点 D 为 BC 的中点，点 E 为 AB 的中点．点 M 为 AB 边上一动点，从点 B 出发，运动到点 A 停止，将射线 DM 绕点 D 顺时针旋转 α 度（其中 α=∠BDE），得到射线 DN，DN 与边 AB 或 AC 交于点 N．设 B，M 两点间的距离为 x cm，M，N 两点间的距离为 y cm．
小涛根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值：
请你通过测量或计算，补全表格；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表格中各组数值所对应的点 x,y，并画出函数 y 关于 x 的图象．
（3）结合函数图象，解决问题：当 MN=BD 时，BM 的长度大约是 cm．（结果保留一位小数）

25. 已知：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−1,2 在函数 y=mx（x<0）的图象上．
（1）求 m 的值；
（2）过点 A 作 y 轴的平行线 l，直线 y=−2x+b 与直线 l 交于点 B，与函数 y=mx（x<0）的图象交于点 C，与 y 轴交于点 D．
① 当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；
② 当 BC
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=mx2−3m−1x+2m−1m≠0．
（1）当 m=3 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点 A1,2，试说明抛物线总经过点 A；
（3）已知点 B0,2，将点 B 向右平移 3 个单位长度，得到点 C，若抛物线与线段 BC 只有一个公共点，求 m 的取值范围．

27. 已知：在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC，点 D 为线段 BC 上一动点（点 D 不与点 B，C 重合），点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，作射线 DE，过点 C 作 BC 的垂线，交射线 DE 于点 F，连接 AE．
（1）依题意补全图形；
（2）AE 与 DF 的位置关系是 ；
（3）连接 AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点 D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想 ∠DAF= ∘．通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
想法 1：过点 A 作 AG⊥CF 于点 G，构造正方形 ABCG，然后可证 △AFG≌△AFE；
想法 2：过点 B 作 BG∥AF，交直线 FC 于点 G，构造平行四边形 ABGF，然后可证 △AFE≌△BGC．
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．

28. 已知：如图，⊙O 的半径为 r，在射线 OM 上任取一点 P（不与点 O 重合），如果射线 OM 上的点 Pʹ，满足 OP⋅OPʹ=r2，则称点 Pʹ 为点 P 关于 ⊙O 的反演点．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ⊙O 的半径为 2．
（1）已知点 A4,0，求点 A 关于 ⊙O 的反演点 Aʹ 的坐标；
（2）若点 B 关于 ⊙O 的反演点 Bʹ 恰好为直线 y=3x 与直线 x=4 的交点，求点 B 的坐标；
（3）若点 C 为直线 y=3x 上一动点，且点 C 关于 ⊙O 的反演点 Cʹ 在 ⊙O 的内部，求点 C 的横坐标 m 的范围；
（4）若点 D 为直线 x=4 上一动点，直接写出点 D 关于 ⊙O 的反演点 Dʹ 的横坐标 t 的范围．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. D
5. B
6. D
7. A
8. C
第二部分
9. 2mn+1n−1
10. x+px+q=x2+px+qx+pq
11. >
12. 8.9（8.7∼9.0 之间都算对）
13. 1
14. 5
15. 3
16. 甲、乙
第三部分
17. 原式=1+22−22−19=89.
18. 去分母得
2x−1≥3x−2+6.
去括号得
2x−2≥3x−6+6.
移项并合并同类项得
−x≥2.
系数化为 1 得
x≤−2.
解集在数轴上表示为
19. （1） 原方程为一元二次方程．
Δ=b2−4ac=−42−4×m×1=16−4m．
∵ 原方程有实数根，
∴16−4m≥0．
∴m≤4．
∴m 的取值范围是 m≤4 且 m≠0．
（2） ∵m 为正整数，
∴m 可取 1，2，3，4．
当 m=1 时，Δ=16−4m=12；
当 m=2 时，Δ=16−4m=8；
当 m=3 时，Δ=16−4m=4；
当 m=4 时，Δ=16−4m=0．
∵ 方程为有理根，
∴m=3 或 m=4．
20. （1） 补全图如图所示．
（2） 同圆半径相等或圆的定义；AC；BC；BD；AD；四条边相等的四边形是菱形
21. （1） ∵∠BAC=∠ACD=90∘，
∴AB∥EC，
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴EC=12CD，
∵AB=12CD，
∴AB=EC，
∴ 四边形 ABCE 是平行四边形．
（2） ∵∠ACD=90∘，AC=4，AD=42，
∴CD=AD2−AC2=4，
∵AB=12CD，
∴AB=2，
∴S平行四边形ABCE=AB⋅AC=2×4=8．
22. （1） 指标 x 的值大于 1.7 的概率 =3÷50=350 或 6%．
（2） >
（3） ②
23. （1） 连接 OD．
∵DF 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥DF．
∴∠ODF=90∘．
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB．
又 ∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO．
∴∠CAD=∠ADO．
∴AF∥OD．
∴∠F+∠ODF=180∘．
∴∠F=180∘−∠ODF=90∘．
∴DF⊥AF．
（2） 连接 DB．
∵AB 是直径，⊙O 的半径是 5，AD=8，
∴∠ADB=90∘，AB=10．
∴BD=6．
∵∠F=∠ADB=90∘，∠FAD=∠DAB，
∴△FAD∽△DAB．
∴DFBD=ADAB．
∴DF=AD⋅BDAB=8×610=245．
24. （1） 3.2
（2）
（3） 1.7，1.9，4.7
25. （1） 把 A−1,2 代入函数 y=mx（x<0）中，
∴m=−2．
（2） ① 过点 C 作 EF⊥y 轴于 F，交直线 l 于 E，
∵ 直线 l∥y 轴，
∴EF⊥直线l，
∴∠BEC=∠DFC=90∘．
∵ 点 A 到 y 轴的距离为 1，
∴EF=1．
∵ 直线 l∥y 轴，
∴∠EBC=∠FDC．
∵ 点 C 是 BD 的中点，
∴CB=CD．
∴△EBC≌△FDC（AAS）．
∴EC=CF 即 CE=CF=12．
∴ 点 C 的横坐标为 −12．
把 x=−12 代入函数 y=−2x 中，得 y=4．
∴ 点 C 的坐标为 −12,4．
把点 C 的坐标为 −12,4 代入函数 y=−2x+b 中，
得 b=3．
②b>−3．
26. （1） 把 m=3 代入 y=mx2−3m−1x+2m−1 中，得 y=3x2−6x+5=3x−12+2，
∴ 抛物线的顶点坐标是 1,2．
（2） 当 x=1 时，y=m−3m−1+2m−1=m−3m+3+2m−1=2，
∵ 点 A1,2，
∴ 抛物线总经过点 A．
（3） ∵ 点 B0,2，由平移得 C3,2．
①当抛物线的顶点是点 A1,2 时，抛物线与线段 BC 只有一个公共点．
由（1）知，此时，m=3．
②当抛物线过点 B0,2 时，将点 B0,2 代入抛物线表达式，得 2m−1=2．
∴m=32>0．
此时抛物线开口向上（如图 1），
∴ 当 0③当抛物线过点 C3,2 时，将点 C3,2 代入抛物线表达式，得 9m−9m−1+2m−1=2，
∴m=−3<0，
此时抛物线开口向下（如图 2），
∴ 当 −3综上，m 的取值范围是 m=3 或 027. （1） 补全图形如下．
（2） 互相垂直
（3） 45
想法 1 图形：
证明如下：过点 A 作 AG⊥CF 于点 G．
依题意可知：∠B=∠BCG=∠CGA=90∘．
∵AB=BC，
∴ 四边形 ABCG 是正方形．
∴AG=AB，∠BAG=90∘．
∵ 点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，
∴AB=AE，∠B=∠AED=90∘，∠BAD=∠EAD．
∴AG=AE．
∵AF=AF，
∴Rt△AFG≌Rt△AFEHL．
∴∠GAF=∠EAF．
∵∠BAG=90∘，
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF=90∘．
∵∠BAD=∠EAD，∠EAF=∠GAF，
∴∠EAD+∠EAF=45∘，即 ∠DAF=45∘．
【解析】想法 2 图形：
证明如下：过点 B 作 BG∥AF，交直线 FC 于点 G．
依题意可知：∠ABC=∠BCF=90∘．
∴AB∥FG．
∵AF∥BG，
∴ 四边形 ABGF 是平行四边形．
∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．
∵ 点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，
∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90∘，∠BAD=∠EAD．
∵AB=BC，
∴AE=BC．
∴Rt△AEF≌Rt△BCGHL．
∴∠EAF=∠CBG．
∵∠BCG=90∘，
∴∠BGC+∠CBG=90∘．
∴∠BAF+∠EAF=90∘．
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90∘．
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD+∠EAF=45∘，即 ∠DAF=45∘．
28. （1） 依题意得：OA=4，
∵OA⋅OAʹ=22=4，
∴OAʹ=1，则 Aʹ1,0．
（2） ∵Bʹ 恰好为直线 y=3x 与直线 x=4 的交点，y=3x 与 x 轴夹角为 60∘，
∴Bʹ 点坐标为 4,43．
∴OBʹ=8．
∵OB⋅OBʹ=22=4，
∴OB=12．
∴B14,34．
（3） ∵ 点 C 为直线 y=3x 上一动点，且点 C 关于 ⊙O 的反演点 Cʹ 在 ⊙O 的内部，
∴ 点 C 在 ⊙O 的外部，直线 y=3x 与 ⊙O 的两个交点坐标的横坐标为 ±1，
∴m 的取值范围是 m>1 或 m<−1．
（4） t 的取值范围是 0